Sujet 1 – Le sujet Pas à pas

(1)

Sujet 1, Sujet national, juin 2011, Exercice 4

L’espace est muni d’un repère orthonormal(O;~i, ~j, ~k).

Partie A

On désigne parP le plan d’équationax+by+cz+d= 0et par M0le point de coordonnées (x0;y0;z0). On appelle H le projeté orthogonal du point M0sur le planP.

On suppose connue la propriété suivante.

Propriété :Le vecteur~n=a~i+b~j+c~kest un vecteur normal au planP.

Le but de cette partie est de démontrer que la distanced(M0,P)du point M0au planP, c’est-à- dire la distance M0H, est telle que :d(M0,P) =^|ax^√⁰^+by⁰^+cz⁰^+d|

a²+b²+c² . 1 Justifier que|~n·−−→

M0H|=M0H√

a²+b²+c². 2 Démontrer que~n·−−→

M0H=−ax0−by0−cz0−d.

3 Conclure.

Partie B

On désigne par A, B, C et F les points de coordonnées respectives (4 ; 1 ; 5), (−3 ; 2 ; 0), (1 ; 3 ; 6) et (−7 ; 0 ; 4).

1 a)Démontrer que les points A, B et C définissent un planP et que ce plan a pour équation cartésiennex+ 2y−z−1 = 0.

b)Déterminer la distanceddu point F au planP.

2 Le but de cette question est de calculer la distancedpar une autre méthode.

On appelle∆la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au planP. a)Déterminer une représentation paramétrique de la droite∆.

b)Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le planP. c)Retrouver le résultat de la question1. b).

3 SoitSla sphère de centre F et de rayon 6.

a)Justifier que le point B appartient à la sphèreS.

b)Préciser le centre et déterminer le rayon du cercleC, intersection de la sphèreSet du planP.

(2)

Maths Term S Le sujet Pas à pas

äMobiliser ses connaissances

Thèmes du programme

Produit scalaire dans l’espace, représentation paramétrique d’une droite, définition d’une sphère, équation cartésienne d’un plan, théorème de Pythagore.

Produit scalaire :

• Le produit scalaire de deux vecteurs~uet~vest le nombre réel noté~u·~vdéfini par :

~u·~v=¹₂

k~u+~vk²− k~uk²− k~vk²

~u·~v=k~uk × k~vkcosα

ou, siαest une mesure de l’angle géométrique associé à~uet~v, par :

~u·~v=k~uk × k~vkcos(~u, ~v).

• Dans un repère orthonormal du plan, si~uet~vont pour coordonnées respectives (x;y) et (x⁰;y⁰), alors~u·~v=xx⁰+yy⁰.

Dans un repère orthonormal de l’espace, si~uet~vont pour coordonnées respectives (x;y;z) et (x⁰;y⁰;z⁰), alors~u·~v=xx⁰+yy⁰+zz⁰.

Si~u= −→

AB et~v = −→

CD et si les points C et D se projettent orthogonalement en C’ et D’ sur la droite (AB), alors :~u·~v=AB×C⁰D⁰.

Vecteur normal :

• On appelle vecteur normal à unedroiteDde vecteur directeur~u, tout vecteur non nul~northo- gonal à~u.

• On appelle vecteur normal à unplanP, tout vecteur directeur d’une droite orthogonale àP.

Équation cartésienne :Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal

O;~i, ~j, ~k

, un plan admet une équation de la formeax+by+cz+d= 0avec(a, b, c)6= (0, 0, 0).

Cette équation est appelée équation cartésienne du plan.

Sphère :

• Soit O un point de l’espace etrun réel strictement positif, la sphère de centre O et de rayonr est l’ensemble des points M de l’espace tel que OM =r.

• Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, la sphère de centre O et de rayonra pour équation x²+y²+z²=r².

äNos conseils

Partie A

1

Se rappeler que :

−

→u · −→v =||−→u|| · ||−→v|| ×cos(−→u ,−→v).

Traduire le fait que si les vecteurs−→u et−→v sont colinéaires alors|cos(−→u ,−→v)|= 1.D’où le résultat demandé.

(3)

Sujet 1 – Le sujet Pas à pas

2

Après avoir utilisé au1.la définition du produit scalaire avec le cosinus, on utilise ici la définition analytique du produit scalaire : si−→u(x; y; z)et−→v(x⁰ ; y⁰ ; z⁰)alors :−→u·−→v =xx⁰+yy⁰+zz⁰. Ensuite utiliser le fait qu’un point M appartient à un plan si et seulement si ses coordonnées véri- fient l’équation du plan.

3

On utilise les résultats du1.et du2.pout exprimer M₀H.

partie B 1

a)Méthode classique : on démontre d’abord qu’il existe deux vecteurs constitués des trois points qui sont non colinéaires ce qui entraîne que A, B et C forment un plan. Puis on vérifie que les coordonnées de chacun des points A, B et C vérifient l’équation cartésienne donnée dans l’énoncé.

b)Utiliser le résultat de la partieA.

2

a)Une représentation paramétrique d’une droite est déterminée dès que l’on connaît un point de la droite ainsi qu’un de ses vecteurs directeurs.

Or, la droite∆étant perpendiculaire au plan, un vecteur normal de ce plan est donc un vecteur directeur de∆.

b)Le point recherché appartient à∆et àP, il s’agit donc du point d’intersection de∆etP. Pour déterminer H, on remplace dans l’équation cartésienne deP,x, yetzen fonction du para- mètret. On en déduit les coordonnées de H.

c)La distance recherchée est FH, or nous savons d’après le cours que dans l’espace, pour les points A(x;y;z) et B(x⁰; ; ) alors AB=p

(x−x⁰)²+ (y−y⁰)²+ (z−z⁰)². 3

a)Rappel sur la sphère : dire qu’un point M appartient à une sphère de centre O et de rayonR, cela signifie, par définition de la sphère, que OM =R. Ici, il suffit de calculer la distance BF.

b)Cette question exige une approche géométrique : faire un dessin à main levée pour bien visua- liser le planPcoupant la sphère de centre F.

(4)

Maths Term S Le corrigé

Partie A

1 Les vecteurs~net−−→

M0H sont colinéaires donc :

~n·−−→

M0H=± |~n| × |−−→

M0H|, d’où|~n·−−→

M0H|=√

a²+b²+c²×M0H.

2 On a~n(a;b;c)et−−→

M0H(xH−x0;y_H−y0;z_H−z0), d’où :

~n·−−→

M0H=a(x_H−x0) +b(y_H−y0) +c(z_H−z0)

~n·−−→

M0H=ax_H+by_H+cz_H−(ax0+by0+cz0).

Or H∈ Pdoncax_H+by_H+cz_H+d= 0.

Donc~n·−−→

M0H=−(ax0+by0+cz0+d).

3 D’après les deux questions précédentes on a :

√a²+b²+c²×M0H=| −(ax0+by0+cz0+d)|, d’où M0H=^|ax^√⁰^+by⁰^+cz⁰^+d|

a²+b²+c² . Doncd(M0,P) = ^|ax^√⁰^+by⁰^+cz⁰^+d|

a²+b²+c² .

Partie B 1 a)On a−→

AB(−7 ; 1 ;−5)et−→

AC(−3 ; 2 ; 1).

Comme⁻⁷₋₃ 6= ¹₂, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C définissent un planP.

On considère l’équation :x+ 2y−z−1 = 0.

Les coordonnées du point A vérifient cette équation, en effet : 4 + 2×1−5−1 = 0.

De même pour les points B et C.

Donc une équation du planP est :x+ 2y−z−1 = 0 b)D’après la partieA, on sait que :

d(F, P) = ^|ax^√^F^+by_a₂_+b^F^+cz₂_+c^F₂^+d|. D’oùd(F,P) =^|x^F^+2y^√₁₊₄₊₁^F^−z^F^−1|, soitd(F,P) =^√¹²

6 = 2√ 6.

2 a)Un vecteur normal au planP a pour coordonnées (1 ; 2 ;−1), c’est un vecteur directeur de la droite∆.

Le point F appartient à la droite∆, ses coordonnées doivent donc vérifier l’équation de∆.

Soittun nombre réel, une représentation paramétrique de la droite∆est donc :

(5)

Sujet 1 – Le corrigé











x=x_F+ 1×t y=y_F+ 2×t z=z_F+ (−1)×t Soit :











x=−7 +t y= 0 + 2t z= 4−t

b)Le point H appartient à la droite∆et au planP.

Les coordonnées du point H doivent donc vérifier les deux équations.

On remplace respectivementx,yetzdans l’équation dePpar−7 +t,2tet4−t; on obtient :

−7 +t+ 2×2t−(4−t)−1 = 0.

Soitt= 2.

Donc H a pour coordonnées (−5 ; 4 ; 2).

c)La distance entre le point F et le planPest égale à FH.

On a FH=p

(x_H−x_F)²+ (y_H−y_F)²+ (z_H−z_F)², d’où FH=p

2²+ 4²+ (−2)²=√

24 = 2√ 6.

3 a)On a BF=p

(x_F−x_B)²+ (y_F−y_B)²+ (z_F−z_B)²,

soit BF = 6, donc le point B appartient à la sphère de centre F et de rayon 6.

b)Le centre du cercle est le point H.

Le rayon est égal à HB avec HB= 2√ 3.

(6)

Sujet 2, Polynésie, juin 2010, Exercice 4

Partie A

1 On considère la fonctiongdéfinie sur[1 ; +∞[par :g(x) =ln(2x) + 1−x.

a) Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.

Démontrer que l’équationg(x) = 0 admet sur[1 ; +∞[une unique solution notéeα.

b)Démontrer que ln(2α) + 1 =α.

2 Soit la suite (un) définie paru₀= 1 et pour tout entier natureln,u_n+1 =ln(2un) + 1. On désigne parΓla courbe d’équationy=ln(2x) + 1dans un repère orthonormal(O;~i, ~j). Cette courbe est donnée ci-dessous.

–1 O 1 2 3 4 5 6 7x

–3 –2 –1 1 2 3 4y

i j

Γ

C

a)En utilisant la courbeΓ, construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.

b)Démontrer que pour tout entier natureln, 16un6u_n+163.

c)Démontrer que la suite (un) converge versα.

Partie B

On considère la fonctionfdéfinie sur[0 ; +∞[par :f(x) = (x−1)e^1−x.

On désigne parCla courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal(O;~i, ~j).

Cette courbe est donnée partieA.

(7)

Sujet 2 – Le sujet

1 Pour tout nombre réelxsupérieur ou égal à 1, on pose : F(x) =Rx

1 f(t)dt=Rx

1(t−1)e^1−tdt.

a)Démontrer que la fonctionF est croissante sur[1 ; +∞[.

b)Montrer à l’aide d’une intégration par parties que pour tout réel xappartenant à [1 ; +∞[, F(x) =−xe^1−x+ 1.

c)Démontrer que sur[1 ; +∞[, l’équationF(x) =¹₂est équivalente à l’équation ln(2x) + 1 =x.

2 Soit un réelasupérieur ou égal à 1. On considère la partieD_adu plan limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx= 1 etx=a.

Détermineratel que l’aire, en unités d’aire, deDasoit égale à¹₂et hachurerDasur le graphique.

(8)

Maths Term S Le sujet Pas à pas

Théorème des valeurs intermédiaires, lien entre primitive et intégrale, démonstration par récur- rence, critère de convergence d’une suite monotone, fonctions exponentielle et logarithme.

Théorème des valeurs intermédiaires :

• Soitfune fonction définie et continue sur un intervalleIetaetbdeux réels de cet intervalle. Pour tout réelkcompris entref(a) etf(b), il existe au moins un réelccompris entreaetb tel que f(c)=k.

Graphiquement, le nombre de solutions de l’équationf(c) =kcorrespond au nombre de points d’intersection de la courbe représentative def avec la droite d’équationy=k.• Le théorème des valeurs intermédiaires admet uncorollairetrès utile pour prouver l’existence etl’unicité de la solution d’une équationsans la résoudre.

Soitf une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalleI etaetbdeux réels dansI. Pour tout réelkcompris entref(a) etf(b), l’équationf(x) =kadmet une unique solutionccomprise entreaetb.

Primitive :On appelle primitive de la fonctionf sur l’intervalleItoute fonction F dérivable surIet dont la dérivée surIest la fonctionf.

Intégrale :

• Soitfune fonction continue sur un intervalle Ietaetbdeux réels appartenant à I. L’intégrale deaàbde la fonction fest le réel F(b) − F(a), oùFest une primitive quelconque defsur I.

• Lorsqu’une fonction f est continue et positive sur un intervalle [a ;b], l’intégraleRb

a f(x)dx correspond à« l’aire sous la courbe » ;elle est égale à l’aire de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, les droites d’équationsx = aetx = bet la courbe représentative de f.

(9)

Sujet 2 – Le sujet Pas à pas

Récurrence :

• L’axiome de récurrence sert de base auraisonnement par récurrence. Si une propriété est vraie pour un entiermet s’il est prouvé que lorsqu’elle est vraie pour un entierp, elle est aussi vraie pour l’entierp+ 1, alors elle est vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal àm.

• Une suite est définie par récurrence lorsqu’un terme se calcule à l’aide du ou des terme(s) pré- cédent(s).

Convergente, divergente (suite) :

• On dit qu’une suite (un) estconvergentevers le réelalorsque tout intervalle ouvert contenant acontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim

x→∞u_n=a.

• Une suite qui n’est pas convergente estdivergente.

Dire qu’une suite est divergente peut signifier :

– qu’elle n’a pas de limite, comme pour la suite de terme généralu_n= cosn;

– que son terme général tend vers l’infini quandntend vers l’infini, comme pour la suite de terme généralu_n=n+ 1.

Théorème de convergence monotone :

• Toute suite croissante majorée est convergente.

• Toute suite décroissante minorée est convergente.

Suite :

• Une suite est une fonction définie sur l’ensembleNou sur une partie deN.

• L’image du naturel npar la suite use noteu(n) ou plus souvent un. Exponentielle (fonction) :

• La fonction exponentielle de base e est laréciproquede la fonctionlogarithme népérien.

• La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable surRvérifiant les deux conditions suivantes :

– pour tout réelx, exp’(x) = exp (x) ; – exp (0) = 1.

Logarithme népérien :

• La fonction logarithme népérien est laprimitivede lafonction inversesur ]0 ;+∞[ qui prend la valeur 0 en 1.

• Pour tout réelastrictement positif, il existe un unique réelxtel que e^x=a. Ce nombre s’appelle le logarithme népérien deaet on le notex= lna.

(10)

Maths Term S Le sujet Pas à pas

äNos conseils

Partie A

1

a)Le fait qu’il est demandé de démontrer que l’équation admet une solution unique induit l’uti- lisation du théorème des valeurs intermédiaires, sinon, on résoudrait tout simplement l’équation donnée.

On calcule donc la dérivée deg, puis on détermine sa variation puis on constate que sur[1; +∞[

gest strictement monotone et change de signe, donc 0 admet un antécédent uniqueα.

b)Par définition deα,g(α) = 0...

2

a)On trace la première bissectrice∆:y=x.

u1 est l’ordonnée du point d’abscisseu0 deΓ, puis on utilise∆ pour placeru1 sur l’axe des abscisses, puis on recommence l’opération pour trouveru₂, etc.

b)On montre la propriété par récurrence en posantf(x) = ln(2x) + 1, et en utilisant le fait que la fonctionfest croissante.

c)La suite (un) est croissante et majorée donc convergente. Pour déduire la limite on fait tendren vers+∞, dans l’équationun+1=f(un)et par unicité de la limite on déduit que la limite estα.

partie B

1

a)PuisqueFest une primitive def,F⁰=fet il suffit alors d’étudier le signe defpour en déduire les variations deF.

b)L’intégration par partie n’est plus au programme, on peut admettre ce résultat pour la suite de l’exercice.

c)RemplacerF(x)par son expression, isoler e^1−x, appliquer le logarithme népérien et conclure.

2

Utiliser les questionsB 1. c)puis laA 1. a)etA 1. b)pour déduire quea=α.

(11)

Sujet 2 – Le corrigé

Partie A

1 a)La fonctionx7→2xest dérivable et strictement positive sur[1 ; +∞[.

Elle prend ses valeurs dans l’intervalle[2 ; +∞[.

Sur cet intervalle, la fonction ln est dérivable.

Donc la fonction x 7→ ln(2x)est dérivable sur[1 ; +∞[ comme composée de deux fonctions dérivables.

De plus la fonctionx7→1−xest dérivable sur[1 ; +∞[.

Par conséquent la fonctiongest dérivable sur[1 ; +∞[comme somme de fonctions dérivables.

Pour toutx∈[1 ; +∞[, on a :g⁰(x) =_2x² −1 = ^1−x_x . Sur[1 ; +∞[, on ax >0et1−x60, doncg⁰(x)60.

La fonctiongest donc décroissante sur l’intervalle[1 ; +∞[.

Enfing(1) =ln2 + 1−1 =ln2>0.

Lorsquex→+∞,2x→+∞et ln(2x)→+∞.

On a donc une forme indéterminée du type :+∞ − ∞.

Sur l’intervalle[1 ; +∞[, on a : g(x) =ln(2x) + 1−x=x

ln(2x)

x +¹_x−1 . Soitg(x) =x

2^ln(2x)_2x +_x¹−1 .

Ainsi limx→+∞2^ln(2x)_2x = 0et limx→+∞1 x = 0.

Donc limx→+∞2^ln(2x)_2x +¹_x−1 =−1.

En utilisant la règle des signes : limx→+∞g(x) =−∞<0.

Donc la fonctiongest dérivable, continue sur[1 ; +∞[à valeurs dans]− ∞;ln2]. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, puisque0∈]− ∞;ln2], l’équationg(x) = 0admet une unique solutionα.

b)D’après la question précédente, on sait queg(α) = 0.

Donc, ln(2α) + 1−α= 0, soit ln(2α) + 1 =α.

(12)

Maths Term S Le corrigé

2 a)

O x

y

i j

Γ

C u₀ u₁u₂u₃α

b)On va démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a :16un6un+163.

Initialisation :on au0= 1etu1=ln(2) + 1≈1,69.

Donc16u₀6u₁63.

La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité :on suppose que jusqu’au rangn, on a :16u_k 6u_k+163.

On posef(x) =ln(2x) + 1. f est dérivable sur ]0 ;+∞[ etf⁰(x) = ¹_x, donc f est croissante sur ]0 ;+∞[.

On obtient :f(1)6f(u_n)6f(u_n+1)6f(3).

Orf(1)>1,f(3)63,f(un) =un+1etun+2=f(un+1), donc16u_n+16u_n+263.

La propriété est vraie au rangn+ 1.

Conclusion :la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, pour tout entier natureln,16 un6un+163.

c)D’après la question précédente, la suite(un)est croissante et majorée par 3.

Donc elle est convergente vers une limite`qui vérifie`=ln(2`) + 1, d’où`=α.

Partie B

1 a)D’après la consigne on sait queF est une primitive def définie sur l’intervalle[1 ; +∞[.

Par conséquent, pour toutxappartenant à[1 ; +∞[, on a : F⁰(x) =f(x)etF(1) = 0.

(13)

Sujet 2 – Le corrigé

Or sur l’intervalle[1 ; +∞[on ax−1>0et e^1−x>0.

Donc pour toutxappartenant à[1 ; +∞[, on af(x)>0.

Par conséquent, la fonctionFest croissante sur l’intervalle[1 ; +∞[.

b)On pose, pour tout réelt,u(t) =t−1, doncu⁰(t) = 1, etv⁰(t) =e^1−t, soitv(t) =−e^1−t.

D’oùF(x) =

−(t−1)e^1−t^x

1−Rx

1 −e^1−tdt F(x) =

−(t−1)e^1−tx 1−

e^1−tx 1

F(x) =−(x−1)e^1−x+ (1−1)e¹⁻¹−(e^1−x−e¹⁻¹) = 1−xe^1−x. c)Sur l’intervalle[1 ; +∞[, on a :

F(x) = ¹₂ ⇔1−xe^1−x=¹₂

⇔ −xe^1−x=−¹₂ ⇔xe^1−x=¹₂

⇔e^1−x= _2x¹ ⇔ln(e^1−x) =ln(_2x¹)

⇔1−x=−ln(2x)⇔ln(2x) + 1 =x.

2 On vient de voir que résoudre l’équationF(x) =¹₂revenait à résoudre l’équation : ln(2x)+1 = x.

D’après la question1. b), l’unique solution de cette équation estα.

Voir le graphique de la questionA 2. a).

(14)

Sujet 3, Liban, juin 2010, Exercice 1

Partie A

Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : – e⁰= 1 ;

– pour tous réelsxety, e^x×e^y=e^x+y. 1 Démontrer que pour tout réelx, e^−x= _e¹x.

2 Démontrer que pour tout réelxet pour tout entier natureln: (e^x)ⁿ =e^nx.

Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar : un=R1

0 e^−nx 1+e^−xdx.

1 a)Montrer queu₀+u₁= 1.

b)Calculeru₁. En déduireu₀.

2 Montrer que pour tout entier natureln,un60.

3 a)Montrer que pour tout entier naturelnnon nul : un+1+un= ^1−e_n⁻ⁿ.

b)En déduire que pour tout entier naturelnnon nul,un6 ^1−en⁻ⁿ. 4 Déterminer la limite de la suite (un).

(15)

Sujet 3 – Le sujet Pas à pas

Fonctions exponentielle et logarithme, démonstration par récurrence, suites, théorème des gendarmes.

Primitive : On appelle primitive de la fonctionf sur l’intervalleItoute fonctionF dérivable surIet dont la dérivée surIest la fonctionf.

Intégrale :

• Soitfune fonction continue sur un intervalle Ietaetbdeux réels appartenant à I. L’intégrale deaàbde la fonction f est le réel F(b) − F(a), oùFest une primitive quelconque defsur I.

• Lorsqu’une fonction f est continue et positive sur un intervalle [a ;b], l’intégraleRb

a f(x)dx correspond à« l’aire sous la courbe » ;elle est égale à l’aire de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, les droites d’équationsx = aetx = bet la courbe représentative de f.

Récurrence :

Convergente :

Suite :

• Une suite est une fonction définie sur l’ensembleNou sur une partie deN.

(16)

Maths Term S Le sujet Pas à pas

• L’image du naturel npar la suite use noteu(n) ou plus souvent un. Exponentielle (fonction) :

Logarithme népérien :

Théorème des gendarmes :

• Soit (un), (vn) et (wn) trois suites réelles. Siun 6wn 6 vnet lim

n→+∞vn = lim

n→+∞un =L, alors lim

n→+∞wn=L.

• Le théorème des gendarmes est aussi appeléthéorème des limites par encadrementpuisqu’il permet de déterminer la limite d’une suite à partir d’un encadrement du terme général de cette suite.

• Ce même théorème peut aussi s’appliquer aux fonctions.

äNos conseils

Partie A

1

Utiliser la propriété de l’exponentielle : e^a×e^b=e^a+b.

2

Démontrer la propriété par récurrence.

partie B 1

a)Utiliser la définition de la suite puis la linéarité de l’intégrale.

(17)

Sujet 3 – Le sujet Pas à pas

b)Remarquer que pour une fonction de la forme ^u_u⁰, oùuest une fonction à valeurs strictement positive, une primitive est la fonction ln(u).

2

Déterminer le signe de la fonction intégrée dans la définition deu_n. 3

a)Méthode analogue à celle utilisée au1. a).

b)Utiliser l’inégalité trouvée précédemment pour obtenir la majoration demandée.

4

Utiliser la majoration précédente et le théorème des gendarmes, conclure.

(18)

Maths Term S Le corrigé

Partie A

1 Pour tout réelx, on a : e^−x×e^x=e^−x+x=e⁰= 1.

Donc, pour tout réelx, e^−x= _e¹_x.

2 On va démontrer par récurrence que pour tout réelxet pour tout entier natureln, on a :(e^x)ⁿ= e^nx.

Initialisation :on a(e^x)⁰= 1et e^0×x= 1 Donc, pour tout réelx,(e^x)⁰=e^0×x. La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité :on suppose la propriété vraie à un rangndonné.

Pour tout réelx, on a :(e^x)ⁿ =e^nx.

Au rangn+ 1, on a :(e^x)ⁿ⁺¹= (e^x)ⁿ×e^x=e^nx×e^x=e^(n+1)x. La propriété est vraie au rangn+ 1.

Conclusion :la propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entiern.

Donc, pour tout réelxet pour tout entier natureln, on a :(e^x)ⁿ=e^nx.

Partie B

1 On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar :u_n =R1 0

e^−nx 1+e^−xdx.

a)On a : u₀+u₁=R1

0 e^−0×x

1+e^−xdx+R1 0

e^−1×x 1+e^−xdx u0+u1=R1

0 1

1+e^−xdx+R1 0

e^−x 1+e^−xdx.

Par linéarité de l’intégrale, on a : u0+u1=R1

0 1+e^−x

1+e^−xdx=R1

0 1 dx= [x]¹₀= 1.

Doncu0+u1= 1.

b)On au1=R1 0

e^−x 1+e^−xdx.

On pose, pout tout réelx,u(x) = 1 +e^−x, d’oùu⁰(x) =−e^−x. Par conséquent_1+e^e^−x−x =−^u_u(x)⁰^(x).

Or une primitive dex7→ ^u_u(x)⁰^(x)estx7→ln(u(x)).

Donc, une primitive dex7→ _1+e^e^−x−x estx7→ −ln(1 +e^−x).

D’oùu₁= [−ln(1 +e^−x)]¹₀=−ln(1 +e⁻¹) +ln(1 +e⁰), soitu₁=−ln(1 +¹_e) +ln2.

On sait, d’après lea), queu0+u1= 1.

Doncu0= 1 +ln(1 + ¹_e)−ln2.

(19)

Sujet 3 – Le corrigé

2 Pour tout entier naturelnet pour tout réelx, e^−nx>0et1 +e^−x>0,

donc _1+e^e^−nx−x >0.

Par conséquent :u_n =R1 0

e^−nx

1+e^−xdx>0.

3 a)Pour tout entiernnon nul, on a : u_n+u_n+1=R1

0 e^−nx

1+e^−xdx+R1 0

e^−(n+1)x 1+e^−x dx.

Par linéarité de l’intégrale, on a : un+un+1=R1

0

e^−nx+e^−(n+1)x

1+e^−x dx=R1 0

e^−nx+e^−nxe^−x 1+e^−x dx un+un+1=R1

0

e^−nx(1+e^−x)

1+e^−x dx=R1

0 e^−nxdx.

D’oùu_n+u_n+1= [−_n¹e^−nx]¹₀=−_n¹e⁻ⁿ+¹_ne^−n×0. Conclusion : pour tout entiernnon nul,un+un+1= ^1−e_n⁻ⁿ. b)D’après le2., pour tout entier natureln,u_n>0, doncu_n+1>0.

Orun+un+1=^1−e_n⁻ⁿ, d’oùun= ^1−e_n⁻ⁿ−un+1. Donc, pour tout entier naturelnnon nul :u_n 6^1−en⁻ⁿ.

4 Pour tout entiernnon nul, on a : 06u_n 6^1−en⁻ⁿ.

Or ^1−e_n⁻ⁿ = ¹_n×(1−e⁻ⁿ).

Lorsquen→+∞on a :_n¹ →0et e⁻ⁿ →0.

Donc limn→+∞(1−e⁻ⁿ) = 1et par produit, limn→+∞ 1

n ×(1−e⁻ⁿ) = 0.

D’après le théorème des gendarmes, limn→+∞un= 0.

(20)

Sujet 4, Liban, mai 2013, Exercice 3

Étant donné un nombre réelk, on considère la fonctionfkdéfinie sur IR parfk(x) = _{1 +}¹_e−kx. Le plan est muni d’un repère orthonormé

O;~i, ~j .

Partie A

Dans cette partie on choisitk= l. On a donc, pour tout réelx,f₁(x) = _{1 +}¹

e^−x. La représentation graphiqueC₁de la fonctionf₁dans le repère

O;~i, ~j

est donnée en annexe.

1 Déterminer les limites def₁ (x) en+∞et en−∞et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2 Démontrer que, pour tout réelx, f1(x) = _{1 +}^e^x_ex.

3 On appellef⁰₁la fonction dérivée def₁sur IR. Calculer, pour tout réelx,f⁰₁(x).

En déduire les variations de la fonctionf₁sur IR.

4 On définit le nombreI = R1

0 f₁(x)dx.

Montrer queI = ln ^{1 +}₂^e

. Donner une interprétation graphique deI.

Partie B

Dans cette partie, on choisitk=−1 et on souhaite tracer la courbeC₋₁ représentant la fonction f₋₁.

Pour tout réelx, on appelle P le point deC₁d’abscissexet M le point deC₋₁d’abscissex.

On note K le milieu du segment [MP].

1 Montrer que, pour tout réelx, f₁(x) + f₋₁(x) = 1.

2 En déduire que le point K appartient à la droite d’équationy = ¹₂. 3 Tracer la courbeC−1sur l’annexe, à rendre avec la copie.

4 En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les courbes C₁,C₋₁, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx= 1.

Partie C

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètrek.

(21)

Sujet 4 – Le sujet

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1 Quelle que soit la valeur du nombre réelk, la représentation graphique de la fonctionfk est strictement comprise entre les droites d’équationsy= 0 ety= 1.

2 Quelle que soit la valeur du réelk, la fonctionfkest strictement croissante.

3 Pour tout réelk>10,f_k ¹₂

>0,99.

Annexe

Représentation graphiqueC₁de la fonctionf₁

(22)

Maths Term S Le sujet Pas à pas

Asymptote, limite, fonction exponentielle, primitives, dérivées.

Asymptote :

• Si lim

x→af(x) =∞, aveca, alors la courbe représentative de la fonctionf admet uneasymptote verticaled’équationx=a.

y

j x

→

→i O

Ꮿ_f

x= a

• Si lim

x→∞f(x) =b, avecb∈R, alors la courbe représentative de la fonctionfadmet uneasymp- tote horizontaled’équationy=b, à l’infini.

y

x

→j

→i O

Ꮿ_f y= b

(23)

Sujet 4 – Le sujet Pas à pas

y

x

→j

→i O

Ꮿ_f

y= mx+ p

Limite :

• Si lasuite

(un) admet comme limite le réel a, cela signifie que tout intervalle ouvert centré en acontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On dit alors que la suite (un) converge vers a.

• Soitf unefonctiondéfinie au voisinage de α : – la limite defenαest+∞et on note lim

x→αf(x) = +∞, si tout intervalle de la forme]M; +∞[, où M ∈ R, contient tous les réelsf(x) dès quexest suffisamment proche de α ;

– la limite def en αest − ∞et on note lim

x→αf(x) = −∞, si tout intervalle de la forme ]− ∞; M[, où M ∈ R, contient tous les réelsf(x) dès quexest suffisamment proche de α; – la limite defen αest leréel l et on note lim

x→αf(x) =l, si tout intervalle de la forme ]l − r ; l + r[, oùr > 0, contient tous les réelsf(x) dès quexest suffisamment proche de α.

Exponentielle (fonction) :

Primitive : On appelle primitive de la fonctionf sur l’intervalleItoute fonctionF dérivable surIet dont la dérivée surIest la fonctionf.

Dérivée (fonction) :

• Une fonctionfest dérivable sur un intervalleIsi et seulement si elle est dérivable en tout point deI.

(24)

Maths Term S Le sujet Pas à pas

• Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI. La fonction qui, à tout réelxdeI associe le nombre dérivé def enx, est appeléefonction dérivéedef. Elle est notéef⁰.

äNos conseils

Partie A

1

Pour la recherche des limites, penser à les ramener à des limites usuelles. Quant à l’interprétation graphique, penser aux asymptotes.

2

Deux méthodes possibles : soit remplacer e^−xpar _e¹x soit multiplier la fraction par e^x, au numé- rateur et au dénominateur.

3

Deux méthodes : soit on prend la première forme def₁, en utilisant la formule donnant la dérivée de_u¹, soit la seconde forme def₁, en utilisant la formule donnant la dérivée de ^u_v.

4

Utiliser la forme def₁de la question2., en remarquant qu’elle peut s’écrire sous la forme^u_u⁰ pour déterminer une primitive def₁.

Partie B

1

Prendre la seconde forme def₁pour effectuer le calcul plus facilement.

2

Calculer l’ordonnée du point K.

3

Constater que les deux courbes sont symétrique afin de tracerC₋₁. 4

Utiliser la symétrie de la question précédente et la valeur deIcalculée précédemment.

Partie C 1

Établir une double inégalité stricte.

(25)

Sujet 4 – Le sujet Pas à pas

2

Dériverf_ket conclure.

3

Partir de l’inéquationk610, puis par inégalités successives, conclure.

(26)

Maths Term S Le corrigé

Partie A

1 Puisque lim

x→+∞e^−x= lim

u→−∞e^u= 0, alors par somme et passage à l’inverse lim

x→+∞f1(x) = 1.

Puisque lim

x→−∞e^−x= lim

u→+∞e^u= +∞, alors par somme et passage à l’inverse lim

x→+∞f₁(x) = 0.

Graphiquement, cela revient à dire que les droites d’équationsy= 0 ety= 1 sont deux asymptotes horizontales àC1, respectivement en moins l’infini et en plus l’infini.

2 L’exponentielle ne s’annule pas surR, doncf1(x) =_ex(1+eê^x^×1^−x)= _exê+1^x = _1+eê^xx. 3 La fonctionf₁est de la forme _u¹, avecu(x) = 1 + e^−x. On af₁⁰ =−û_u⁰2, soit : f₁⁰(x) =−_(1+e^−e^−x−x)² = ê^−x

(1+e^−x)².

f₁⁰(x)>0sur IR, la fonctionf₁est donc strictement croissante sur IR.

4 On définie la fonctionvsur IR parv(x) = 1 + e^x.vest strictement positive et dérivable sur IR.

Alors, d’après le2.,f₁(x) = ^e^x

1+e^x = ^v_v(x)⁰^(x).

Une primitive def₁sur IR est la fonctionx7→ln(1 +e^x).

D’oùI=R1

0 f1(x)dx=R1 0

e^x 1+e^xdx I= [ln(1 +e^x)]¹₀

I=ln(1 +e)−ln2 I=ln ^1+e₂

.

Icorrespond à l’aire du domaine limité parC1, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx= 0 etx= 1. C’est l’aire du rectangle de côté 1 et de longueur ln ^1+e₂

qui vaut à peu près 0,62 unité d’aire.

Partie B

1 f1(x) +f₋₁(x) = _ex^e+1^x +_ex¹+1

f1(x) +f−1(x) =^e_e^xx⁺¹+1 = 1.

2 Or K est le milieu de [MP], où P a pour coordonnées(x; f₁(x))et M(x; f₋₁(x))donc : y_K= ^y^M^+y₂ ^P = ^f¹^(x)+f₂⁻¹^(x) =¹₂.

Le point K appartient donc à la droite d’équationy= ¹₂.

3 De la question précédente on déduit que les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=¹₂, d’où la construction demandée.

(27)

Sujet 4 – Le corrigé

4 SoitAl’aire du domaine considéré. Par symétrie entre les deux courbes, on obtient : A= 2R1

0(f₁(x)−¹₂)dx A= 2R1

0 f1(x)dx−R1 0 1dx A= 2I−1 = 2ln ^1+e₂

−1≈0,24.

Partie C

1 Vrai.Quels que soient les réelsxetk: e^−kx> 0⇒1 +e^−kx> 1⇒0 <_1+e¹−kx < 1.

2 Faux.Par exemple, pour tout réelx,f₋₁⁰ (x) =−_(1+e^e^xx)², doncf₋₁⁰ (x)< 0. La fonctionf₋₁ est donc strictement décroissante sur IR.

3 Vrai.Sik > 10alors−¹₂k 6 −5 puis e⁻¹²^k 6 e⁻⁵ puisque la fonction exponentielle est strictement croissante et enfin :

1 +e⁻¹²^k61 +e⁻⁵. Finalement :

0,99 < 0,99336_1+e¹⁻⁵ 6 ¹

1+e⁻¹²^k =fk 1 2

.

(28)

Sujet 5, Liban, mai 2013, Exercice 4

On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturelnpar







v₀ = 1 vn+1 = ₆₋⁹_v

n

Partie A

l. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturelndonné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rangn.

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

2 Pourn= 10 on obtient l’affichage suivant :

1 1,800 2,143 2,333 2,455

2,538 2,600 2,647 2,684 2,714

Pourn= 100, les derniers termes affichés sont : 2,967 2,968 2,968 2,968 2,969

2,969 2,969 2,970 2,970 2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn) ?

3 a)Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 0 <vn< 3.

b)Démontrer que, pour tout entier natureln,v_n+1 −v_n = ⁽³₆⁻₋^v_vⁿ⁾²

n . La suite (vn) est-elle monotone ?

c)Démontrer que la suite (vn) est convergente.

(29)

Sujet 5 – Le sujet

Partie B

On considère la suite (wn) définie pour toutnentier naturel parw_n = _v ¹

n−3. 1 Démontrer que (wn) est une suite arithmétique de raison−¹₃

2 En déduire l’expression de (wn), puis celle de (vn) en fonction den.

3 Déterminer la limite de la suite (vn).

(30)

Maths Term S Le sujet Pas à pas

Suite arithmétique, démonstration par récurrence, algorithme, variation d’une suite, convergence.

Suite :

• Une suite est une fonction définie sur l’ensemble IN ou sur une partie deN.

• L’image du naturelnpar la suiteuse noteu(n) ou plus souventu_n. Théorème de convergence monotone :

Suite convergente, divergente :

• On dit qu’une suite (un) estconvergentevers le réelalorsque tout intervalle ouvert contenant acontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim

x→∞un=a.

• Une suite qui n’est pas convergente estdivergente.

Dire qu’une suite est divergente peut signifier :

– qu’elle n’a pas de limite, comme pour la suite de terme généralun= cosn;

– que son terme général tend vers l’infini quandntend vers l’infini, comme pour la suite de terme généralu_n=n+ 1.

Récurrence :

äNos conseils

Partie A

1

Deux méthodes : par élimination on déduit la bonne réponse, ou l’on trouve directement le bon algorithme.

2

Les deux tableaux permettent de conjecturer la variation de la suite, le deuxième tableau, sa convergence.

(31)

Sujet 5 – Le sujet Pas à pas

3

a)Pour la récurrence, déterminer la fonctionf telle quev_n+1=f(v_n)et étudier ses variations.

b)Penser à utiliser l’inégalité précédente pour conclure sur la variation de (vn).

c)Appliquer un théorème de convergence.

Partie B

1

Calculerw_n+1−wn. 2

Puisque la suite (wn) est arithmétique, exprimerwnen fonction den, puisvnen fonction denen utilisant la relation entrev_netw_n.

3

Deux méthodes possibles : on recherche d’abord la limite dew_npuis celle dev_n, ou on fait tendre nvers+∞dansvn.

(32)

Maths Term S Le corrigé

Partie A

1 L’algorithme n° 1 calcule tous les termes dev₀àv_nmais n’affiche pas chaque terme, seulement le dernier termevn.

L’algorithme n° 2 calculenfois de suitev₁à partir dev₀et affichenfoisv₀: il ne calcule pas chaque terme dev₀àvn.

L’algorithme n° 3 calcule tous les termes dev₀àvnet les affiche tous.

Seul l’algorithme n° 3 convient donc.

2 D’après les tables de valeurs de la suite, il semble que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 2,97.

3 a)Montrons par récurrence la propriétéPn: 0 <vn< 3 pour tout entier natureln.

Initialisation :n= 0, on a bien 0 <v₀< 3 vrai, puisquev₀= 1 ; ainsiP₀est vraie.

Hérédité : soitnun entier naturel, supposonsPnvraie, montrons alors queP_n+1est vraie.vn+1= f(v_n)avecf(x) =_6−x⁹ .

f⁰(x) = _(6−x)⁹ 2 > 0,f est donc strictement croissante sur ]0 ; 6[.

On suppose donc que 0 < vn < 3. Puisque f est strictement croissante sur ]0 ; 6[, on a f(0) <f(vn) <f(3), puis 0 < ³₂ <v_n+1< 3.

L’hérédité est établie puisqueP_n+1est vraie.

D’après le principe de récurrence,P_n: 0 <v_n< 3 est vraie pour tout entier natureln.

b)vn+1−vn=_6−v⁹

n−vn =^9−v_6−vⁿ^(6−vⁿ⁾

n

vn+1−vn=^(v_6−vⁿ⁻³⁾²

n .

Or, d’après la question précédente, 0 <vn< 3 pour toutnentier naturel, donc6−vn> 0,vn+1− vn= ^(v_6−vⁿ⁻³⁾²

n > 0 et la suite (vn) est croissante.

c)D’après le théorème de convergence, la suite (vn) est croissante et majorée par 3, elle converge donc vers une limite inférieure ou égale à 3.

Partie B

1 wn+1−wn =_v ¹

n+1−3−_v ¹

n−3

wn+1−wn = 9¹

6−vn−3−_v¹

n−3

w_n+1−w_n =_3v^6−vⁿ

n−9−_v¹

n−3

wn+1−wn =^6−v_3vⁿ⁻³

n−9 = _3v^3−vⁿ

n−9 =−¹₃.

Ainsi la suite (wn) est arithmétique de raisonr=−¹₃.

(33)

Sujet 5 – Le corrigé

2 Pour tout entier natureln,

w_n=w₀+nr= ₁₋₃¹ −¹₃n=−¹₂−¹₃n.

wn= _v¹

n−3, on a donc : v_n=_w¹

n + 3 vn=₋1¹

2−¹₃n + 3 vn=_−3−2n⁶ + 3.

3 lim

n→+∞−3−2n=−∞, donc par passage à l’inverse lim

n→+∞

6

−3−2n = 0, soit :

n→+∞lim vn = 3.

(34)

Sujet 6, Inde, avril 2013, Exercice 1

Partie A

On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : h(t) = _{1 +}_be^a−0,04t

oùaetbsont des constantes réelles positives,test la variable temps exprimée en jours eth(t) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.

On sait qu’initialement, pourt= 0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.

Déterminer les constantesaetbafin que la fonctionhcorresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie B

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonctionf définie sur [0 ; 250] parf(t) = _{1 + 19e}²−0,04t.

1 Déterminerf⁰(t) en fonction det(f⁰désignant la fonction dérivée de la fonctionf).

En déduire les variations de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 250].

2 Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m.

3 a)Vérifier que pour tout réeltappartenant à l’intervalle [0 ; 250] on af(t) = _e0,04t^2e^0,04t+ 19. Montrer que la fonctionF définie sur l’intervalle [0 ; 250] parF(t) = 50ln e^0,04t + 19

est une primitive de la fonctionf.

b)Déterminer la valeur moyenne def sur l’intervalle [50 ; 100].

En donner une valeur approchée à 10⁻²près et interpréter ce résultat.

4 On s’intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonctionf.

La vitesse de croissance est maximale pour une valeur det.

En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci.

Estimer alors la hauteur du plant.

(35)

Sujet 6 – Le sujet

Annexe

(36)

Maths Term S Le sujet Pas à pas

Limites, fonction exponentielle, dérivées, fonction logarithme, primitive.

Logarithme népérien (fonction) :

Limite :

• Si lasuite

(un) admet comme limite le réel a, cela signifie que tout intervalle ouvert centré en acontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On dit alors que la suite (un) converge vers a.

• Soitf unefonctiondéfinie au voisinage de α : – la limite defenαest+∞et on note lim

x→αf(x) = +∞, si tout intervalle de la forme]M; +∞[, où M ∈ R, contient tous les réelsf(x) dès quexest suffisamment proche de α ;

– la limite def en αest − ∞et on note lim

x→αf(x) = −∞, si tout intervalle de la forme ]− ∞; M[, où M ∈ R, contient tous les réelsf(x) dès quexest suffisamment proche de α ; – la limite def en αest leréel l et on note lim

x→αf(x) =l, si tout intervalle de la forme ]l − r ; l + r[, oùr > 0, contient tous les réelsf(x) dès quexest suffisamment proche de α.

Exponentielle (fonction) :

Primitive :On appelle primitive de la fonctionf sur l’intervalleItoute fonction F dérivable surIet dont la dérivée surIest la fonctionf.

Dérivée (fonction) :

• Une fonctionfest dérivable sur un intervalleIsi et seulement si elle est dérivable en tout point deI.

• Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI. La fonction qui, à tout réelxdeI associe le nombre dérivé def enx, est appeléefonction dérivéedef. Elle est notéef⁰.

(37)

Sujet 6 – Le sujet Pas à pas

äNos conseils

Partie A

Interpréter la limite de la fonctionf en+∞par rapport à la situation concrète, ce qui permettra, avec la valeur en 0 de déduire les coefficientsaetb.

Partie B

1

Vérifier que la fonction proposée est la même que celle déterminée précédemment puis utiliser les formules sur les dérivées.

2

Traduire l’énoncé sous la forme d’une inéquation puis utiliser les propriétés des fonctions exponentielle et logarithme pour résoudre cette équation et répondre au problème.

3

a)Multiplier le numérateur et le dénominateur de l’expression initiale def(t) par e^0,04t. DériverFet conclure.

b)Utiliser la formule de la valeur moyenne d’une fonctionf sur un intervalle [a;b]. Utiliser la primitive déterminée à la question3. b)pour calculer l’intégrale.

4

En utilisant le fait que la pente de la tangente en un point M de la courbe représentative def est égale au nombre dérivé en ce point, lire sur le graphique le point en lequel la pente semble être maximale.