Soit la suite numérique (un) définie surNpar : u0= 2 et pour tout entier natureln:
un+1 = 23un + 13n+ 1.
1 a.Calculeru1,u2,u3etu4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2près.
b.Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2 a.Démontrer que pour tout entier natureln,un 6 n + 3.
b.Démontrer que pour tout entier natureln,un+1 −un = 13(n + 3− un).
c.En déduire une validation de la conjecture précédente.
3 On désigne par (vn) la suite définie surNparvn=un−n.
a.Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 23. b.En déduire que pour tout entier natureln,un = 2 23n
+n.
c.Déterminer la limite de la suite (un).
4 Pour tout entier naturel non nul n, on pose :Sn = Σnk=0uk = u0 + u1 + · · · + un et Tn + Snn2.
a)ExprimerSnen fonction den.
b)Déterminer la limite de la suite (Tn).
Maths Term S Le sujet Pas à pas
äMobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Raisonnement par récurrence, suite géométrique, limite d’une suite, somme de termes d’une suite géométrique ou arithmétique, convergence d’une suite.
Suite :
• Une suite est une fonction définie sur l’ensembleNou sur une partie deN.
• L’image du naturel npar la suite use noteu(n) ou plus souvent un. Raisonnement par récurrence :
• On utilise un raisonnement par récurrence chaque fois qu’une propriété à démontrer dépend d’un entier natureln, surtout lorsqu’il semble y avoir unliensimple entre ce qui se passe aurangnet ce qui se passe aurangn+ 1.
• Un raisonnement par récurrence se rédige en quatre étapes :
– on commence par énoncer la propriété à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie ;
– on vérifie que la propriété est vraie au rang initial (qui est souvent 0 ou 1) ;
– on prouve le caractère héréditaire de la propriété ; on suppose que la propriété est vraie pour un entiernarbitrairement fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rangn+ 1 ; – on conclut en invoquant le principe de récurrence.
Récurrence :
• L’axiome de récurrence sert de base auraisonnement par récurrence. Si une propriété est vraie pour un entiermet s’il est prouvé que lorsqu’elle est vraie pour un entierp, elle est aussi vraie pour l’entierp+ 1, alors elle est vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal àm.
• Une suite est définie par récurrence lorsqu’un terme se calcule à l’aide du ou des terme(s) pré-cédent(s).
Suite géométrique :Une suite (un) est géométrique si et seulement s’il existe un réelq(appelé la raison de la suite) tel que, pour tout entier natureln,un+1=un×q.La suite (un) de terme général un= 5n est une suite géométrique de raison 5.
Suite arithmétique :Une suite (un) est arithmétique si et seulement s’il existe un réelr(appelé la raison de la suite) tel que, pour tout entier natureln,un+1=un+r.
Exemple
La suite (un) de terme généralun= 5n+ 3 est une suite arithmétique de raison 5.
Sujet 22 – Le sujet Pas à pas
Raison :
• Dans unesuite arithmétique, on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours un même nombrer, appelé raison de la suite arithmétique.
• Dans une suite géométrique, on passe toujours d’un terme au suivant en multipliant par un même nombreq, appelé raison de la suite géométrique.
Limite :
• Si lasuite
(un) admet comme limite le réel a, cela signifie que tout intervalle ouvert centré en acontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On dit alors que la suite (un) converge vers a.
• Soitf unefonctiondéfinie au voisinage de α : – la limite defenαest+∞et on note lim
x→αf(x) = +∞, si tout intervalle de la forme]M; +∞[, où M ∈ R, contient tous les réelsf(x) dès quexest suffisamment proche de α ;
– la limite def en αest − ∞et on note lim
x→αf(x) = −∞, si tout intervalle de la forme ]− ∞; M[, où M ∈ R, contient tous les réelsf(x) dès quexest suffisamment proche de α; – la limite defen αest leréel l et on note lim
x→αf(x) =l, si tout intervalle de la forme ]l − r ; l + r[, oùr > 0, contient tous les réelsf(x) dès quexest suffisamment proche de α.
Convergente :
• On dit qu’une suite (un) estconvergentevers le réelalorsque tout intervalle ouvert contenant acontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim
x→∞un=a.
• Une suite qui n’est pas convergente estdivergente.
Dire qu’une suite est divergente peut signifier :
– qu’elle n’a pas de limite, comme pour la suite de terme généralun= cosn;
– que son terme général tend vers l’infini quandntend vers l’infini, comme pour la suite de terme généralun=n+ 1.
äNos conseils 1
a)On remplacenpar 0 dans la relation de récurrence de l’énoncé pour déduireu1, puisnpar 1 pour obteniru2, etc.
b)Ordonner les termes successifs de la suite et conclure.
Maths Term S Le sujet Pas à pas
2
a)Démontrer la propriété par récurrence.
b)Remplacerun+1par l’expression donnée dans l’énoncé en fonction deun. c)Utiliser le résultat du2. b)et l’inégalité du2. a).
3
a)Exprimer pour un entier natureln,vn+1en fonction deunpuis en fonction devnet conclure.
b)Exprimervnen fonction denpuisunen fonction den.
c)Utiliser la propriété du cours donnant la limite de la suite (qn) avec−1 <q< 1.
4
a)DécomposerSn comme la somme d’une somme de termes d’une suite géométrique et d’une somme de termes d’une suite arithmétique.
b)Utiliser à nouveau la propriété du cours donnant la limite de la suite (qn) avec−1 <q< 1.
Sujet 22 – Le corrigé
1 a)On remplacenpar 0 dans la relation de récurrence de l’énoncé et on obtient : u1=23×u0+13×0 + 1 = 73≈2,33.
De même :
u2=23×73+13+ 1 = 269 ≈2,89 u3=23×269 +23+ 1 = 9727 ≈3,59 u4=23×9727+33+ 1 = 35681 ≈4,40.
b)La suite semble être croissante.
2 a)On veut montrer par récurrence, pour tout entier natureln, la propriétéPn:un6n+ 3.
Initialisation : puisqueu0= 2et0 + 3 = 3,P0est bien vraie.
Hérédité : pour un entier naturelkdonné, on suppose la propriétéPkvraie.
On auk+1=23uk+13k+ 1.
Par hypothèse de récurrence :uk 6k+ 3, d’où :
2
3uk 6 23k+ 2
2
3uk+13k+ 1623k+ 2 +13k+ 1.
Et finalement,uk+16k+ 36k+ 4.
La propriétéPk+1est donc vraie.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier natureln, on a bienun6n+ 3.
b)un+1−un= 23un+13n+ 1−un
un+1−un=−13un+13n+33 un+1−un= 13×(−un+n+ 3) un+1−un= 13(n+ 3−un).
c)Pour tout entier natureln, on aun6n+ 3, soitn+ 3−un >0, doncun+1−un>0. La suite (un) est bien croissante.
3 a)Exprimons, pour un entiernnaturel quelconque,vn+1en fonction deun: vn+1=un+1−(n+ 1)
vn+1= 23un+13n+ 1−n−1 vn+1= 23un−23n
vn+1= 23(un−n).
D’oùvn+1= 23vn.
Ceci prouve que la suite (vn) est bien un suite géométrique de raisonq= 23 et de premier terme v0=u0−0 = 2.