L’espace est muni d’un repère orthonormal(O;~i, ~j, ~k).
1 On désigne parP le plan d’équationx+y−1 = 0 et parP0le plan d’équationy+z−2 = 0.
Justifier que les plansP etP0 sont sécants et vérifier que leur intersection est la droiteD, dont
une représentation paramétrique est :
x= 1−t y=t z= 2−t
oùtdésigne un nombre réel.
2 a)Déterminer une équation du planRpassant par le point O et orthogonal à la droiteD.
b)Démontrer que le point I, intersection du planRet de la droiteD, a pour coordonnées (0 ; 1 ; 1).
3 Soient A et B les points de coordonnées respectives −12; 0 ; 12
et (1 ; 1 ; 0).
a)Vérifier que les points A et B appartiennent au planR.
b)On appelle A0et B0 les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I.
Justifier que le quadrilatère ABA0B0est un losange.
c)Vérifier que le point S de coordonnées (2 ;−1 ; 3) appartient à la droiteD.
d)Calculer le volume de la pyramide SABA0B0.
On rappelle que le volumeV d’une pyramide de base d’airebet de hauteurhest :V =13b×h.
Maths Term S Le sujet Pas à pas
äMobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Représentation paramétrique d’une droite, plans sécants, losange, pyramide, équation cartésienne d’un plan.
Vecteurs colinéaires :
• Soit~uun vecteur non nul. On dit que~vest colinéaire à~uquand il existe un réelktel que~v=k~u.
Sikest différent de 0, on dit aussi que les vecteurs~uet~vont lamême direction.
• Deux vecteurs non nuls~uet~vsont colinéairesde même senssi et seulement si(~u; ~v) = 0 [2π]
(c’est-à-dire pourk> 0).
• Deux vecteurs non nuls~uet~v sont colinéairesde sens opposési et seulement si(~u; ~v) = π [2π](c’est-à-dire pourk< 0).
Représentation paramétrique d’une droite :L’espace est rapporté au repère
O;~i , ~j , ~k . Soit (d) une droite de l’espace, A un point de (d) de coordonnées(xA, yA, zA)et~uun vecteur directeur de (d) de coordonnées (a,b,c).
La droite (d) est caractérisée par le système :
Cesystèmeest appeléreprésentation paramétrique de la droite(d). Le paramètre estt.
Vecteurs orthogonaux :Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leurproduit scalaire estnul.
Équation cartésienne (d’un plan) : Dans l’espace rapporté à un repère orthonor-mal
O;~i, ~j, ~k
, un plan admet une équation de la formeax+by+cz+d= 0avec(a, b, c)6=
(0, 0, 0).
Cette équation est appelée équation cartésienne du plan.
äNos conseils 1
Pour montrer que deux plans sont sécants, il suffit de montrer que ces plans ont des vecteurs normaux non colinéaires. Une droite est incluse dans un plan de l’espace si et seulement si les coordonnées de chaque point de cette droite vérifient l’équation cartésienne de ce plan. On montre ainsi queDest incluse dansPetP0.
Sujet 27 – Le sujet Pas à pas
2
a)Une équation cartésienne d’un plan est de la formeax+by+cz+d= 0.
On remarque qu’un vecteur directeur deDest un vecteur normal deR, ce qui permet de déterminer a,betc.
Pour déterminerdon utilise le fait que le point O appartient àR.
b)On utilise la propriété qui dit que les coordonnées du point d’intersection de deux ensembles doivent vérifier les équations de ces deux ensembles.
3
a)Un point appartient à un plan si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation carté-sienne de ce plan.
b)On démontre d’abord que ABA’B est un parallélogramme puis que les vecteurs−→ AI et−→
BI sont orthogonaux.
c)On remplacex,yetzpar les coordonnées de S dans le système paramétrique deDet on résout le système obtenu.
d)Pour appliquer la formule donnant le volume d’une pyramide, on doit d’abord déterminer la hauteur de la pyramide et calculer l’aire d’un losange, base de la pyramide.
Maths Term S Le corrigé
1 Le planP a pour équationx+y−1 = 0, un vecteur normal du planP a pour coordonnées (1 ; 1 ; 0).
Le planP0a pour équationy+z−2 = 0, un vecteur normal du planP0a pour coordonnées (0 ; 1 ; 1).
On a :1×0 + 1×16= 0, donc les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, les plans ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants.
On va vérifier que la droiteDest contenue dans les plansPetP0en remplaçantxpar(1−t);y partetzpar(2−t)dans les équations des deux plans.
Quelque soit le réelton a :(1−t) +t−1 = 1−t+t= 0doncD ⊂ Pett+ (2−t)−2 = 0 doncD ⊂ P0.
Conclusion :les deux plansPetP0sont sécants et leur intersection est la droiteD.
2 a)Le planRest orthogonal à la droiteDdonc un vecteur directeur deDest un vecteur normal au planR.
Un vecteur directeur de la droiteDa pour coordonnées (−1 ; 1 ;−1) ; le planRa donc une équation de la forme :−x+y−z+d= 0.
On sait que le point O(0 ; 0 ; 0) appartient au planR, ses coordonnées doivent donc vérifier son équation, c’est-à-dire :−0 + 0−0 +d= 0; soitd= 0.
Conclusion :le planRa pour équation :−x+y−z= 0.
b)Pour déterminer les coordonnées du point I, intersection de la droiteDet du plan R, on cherche la valeur det: pour cela on remplacexpar(1−t),ypartetzpar(2−t)dans l’équation du plan R.
On obtient alors :−(1−t) +t−(2−t) = 0soit−1 +t+t−2 +t= 0, c’est-à-dire3t−3 = 0d’oùt= 1.
On remplace alorstpar 1 dans l’équation paramétrique de la droiteD, on axI= 1−1 ;yI= 1 etzI= 2−1.
Conclusion :I(0 ; 1 ; 1).
3 a)On remplace les coordonnées du point A dans l’équation du planR:−(−12) + 0−12 = 0.
Donc A∈ R.
Pour le point B(1 ; 1 ; 0), on a−1 + 1−0 = 0, donc B∈ R.
b)A0est le symétrique de A par rapport à I donc I est le milieu de [AA0].
B0est le symétrique de B par rapport à I donc I est le milieu de [BB0].
Le quadrilatère ABA0B0est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu.
Sujet 27 – Le corrigé
Donc les vecteurs−→ AI et−→
BI sont orthogonaux, les droites (AI) et (BI) sont perpendiculaires.
ABA0B0est donc un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires, c’est un losange.
c)Pour vérifier que le point S appartient à la droiteD, on va remplacerx,yetzpar les coordonnées du point S dans l’équation paramétrique de la droiteDet vérifier que pour chaque égalité on obtient la même valeur pour le paramètret.
On ax= 2d’où :2 = 1−t, c’est-à-diret=−1.
On ay=−1d’où :−1 =t.
On az= 3d’où :3 = 2−t, c’est-à-diret=−1.
Conclusion :le point S de coordonnées (2 ;−1 ; 3) appartient à la droiteD.
d)Pour calculer le volume de la pyramide SABA0B0, il faut déterminer l’aire de sa base, le losange ABA0B0et la longueur de la hauteur relative à cette base.
AABA0B0 =AABI+AAIB0+ABIA0+AB0IA0 = 2×(AI×BI).
On a vu que le point I est le point d’intersection du plan Ret de la droiteD. Le plan Rest orthogonal à la droiteD. Le point S appartient à la droiteD.
Donc le segment [SI] est la hauteur de la pyramide SABA0B0relative à la base ABA0B0.