Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé
O;~i, ~j , la courbe représentativeCd’une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle]0 ; +∞[.
On dispose des informations suivantes :
– les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 ; 0), (1 ; 2), (0 ; 2) ; – la courbeCpasse par le point B et la droite (BC) est tangente àCen B ;
– il existe deux réels positifsaetbtels que pour tout réel strictement positifx,f(x) = a+xblnx. 1 a)En utilisant le graphique, donner les valeurs def(l) etf0(1).
b)Vérifier que pour tout réel strictement positifx,f0(x) = (b−a)x−2 blnx. c)En déduire les réelsaetb.
2 a)Justifier que pour tout réelxappartenant à l’intervalle]0 ; +∞[,f0(x) a le même signe que
−lnx.
b)Déterminer les limites defen 0 et en+∞. On pourra remarquer que pour tout réelxstrictement positif,f(x) = 2x + 2lnxx.
c)En déduire le tableau de variations de la fonctionf.
3 a)Démontrer que l’équationf(x) = 1 admet une unique solutionαsur l’intervalle ]0 ; 1].
b)Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réelβde l’intervalle]1 ; +∞]
tel quef(β) = l.
Déterminer l’entierntel quen<β<n+ 1.
Maths Term S Le sujet
4 On donne l’algorithme ci-dessous.
Variables : a,betmsont des nombres réels.
Initialisation : Affecter àala valeur 0.
Affecter àbla valeur 1.
Traitement : Tant queb−a> 0,1
Affecter àmla valeur12(a+b).
Sif(m) < 1 alors Affecter àala valeurm.
Sinon Affecter àbla valeurm.
Fin de Si.
Fin de Tant que.
Sortie : Affichera.
Afficher b.
a)Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l’on recopiera sur la copie.
étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5
a 0
b 1
b−a m
b)Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
c)Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement deβ d’am-plitude 10−1
5 Le but de cette question est de démontrer que la courbeCpartage le rectangle OABC en deux domaines d’aires égales.
a)Justifier que cela revient à démontrer queR
1 e
f(x)dx = 1.
b)En remarquant que l’expression def(x) peut s’écrire2x+2×1x×lnx, terminer la démonstration.
Sujet 12 – Le sujet Pas à pas
äMobiliser ses connaissances Tangente à une courbe :
• La tangente à une courbe Cen un point A est la position limite, quand elle existe, de la sé-cante (AM) lorsque le point M de la courbe tend vers le point A.
• Si une fonctionf est dérivable ena, alors sa courbe représentative admet, au point A d’abs-cissea, une tangente passant par A de coefficient directeurf0(a). Une équation de cette tangente esty=f0(a) (x−a) +f(a).
Dérivée (fonction) :
• Une fonctionfest dérivable sur un intervalleIsi et seulement si elle est dérivable en tout point deI.
• Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI. La fonction qui, à tout réelxdeIassocie le nombre dérivé defenx, est appeléefonction dérivéedef. Elle est notéef0.
Limite :
• Si lasuite
(un) admet comme limite le réel a, cela signifie que tout intervalle ouvert centré en acontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On dit alors que la suite (un) converge vers a.
• Soitf unefonctiondéfinie au voisinage de α : – la limite defenαest+∞et on note lim
• Soitf une fonction etIun intervalle inclus dans son ensemble de définition :
– lafonctionf estcroissantesurIsi et seulement si, pour tous réelsaetbappartenant àIavec a<b,f(a)6f(b) ;
– la fonctionfest strictement croissante surIsi et seulement si, pour tous réelsaetbappartenant àIaveca<b,f(a) <f(b).
• Soituune suite :
– la suiteuestcroissantesi et seulement si, pour tout entier natureln,un6un+;
– la suiteuest strictement croissante si et seulement si, pour tout entier natureln,un<un+.
• Soitf une fonction etIun intervalle inclus dans son ensemble de définition :
Maths Term S Le sujet Pas à pas
– lafonctionf estdécroissantesurIsi et seulement si, pour tous réelsaetbappartenant àI aveca<b,f(a)>f(b) ;
– la fonctionf est strictement décroissante surIsi et seulement si, pour tous réelsaetb appar-tenant àIaveca<b,f(a) >f(b) .
• Soit la suiteu:
– lasuiteuestdécroissantesi et seulement si, pour tout entier natureln,un>un+;
– la suiteuest strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier natureln,un>un+ . Théorème des valeurs intermédiaires :
• Soitfune fonction définie et continue sur un intervalleIetaetbdeux réels de cet intervalle. Pour tout réelkcompris entref(a) etf(b), il existe au moins un réelccompris entreaetb tel que f(c)=k.
Graphiquement, le nombre de solutions de l’équationf(c) =kcorrespond au nombre de points d’intersection de la courbe représentative def avec la droite d’équationy=k.• Le théorème des valeurs intermédiaires admet uncorollairetrès utile pour prouver l’existence etl’unicité de la solution d’une équationsans la résoudre.
Soitf une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalleI etaetbdeux réels dansI. Pour tout réelkcompris entref(a) etf(b), l’équationf(x) =kadmet une unique solutionccomprise entreaetb.
Intégrale :
• Soitfune fonction continue sur un intervalle Ietaetbdeux réels appartenant à I. L’intégrale deaàbde la fonction fest le réel F(b) − F(a), oùFest une primitive quelconque defsur I.
• Lorsqu’une fonction f est continue et positive sur un intervalle [a ;b], l’intégraleRb
a f(x)dx correspond à« l’aire sous la courbe » ;elle est égale à l’aire de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, les droites d’équationsx = aetx = bet la courbe représentative de f.
Sujet 12 – Le sujet Pas à pas
äNos conseils 1
a)Considérer le point B d’abscisse 1.
b)Utiliser la formule donnant la dérivée d’un quotient.
c)Utiliser les résultats du1. a).
2
a)Remplacer dans l’expression def0,aetbpar les valeurs trouvées précédemment, et remarquer quex2est positif.
b)Utiliser les limites des fonctions usuelles.
c)Déterminer le signe de −ln(x) puis les variations def. Penser à préciser les bornes et les extremums éventuels.
3
a)Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle ]0 ; 1].
b)Appliquer la technique de balayage.
4
a)Faire fonctionner l’algorithme, puis remplir le tableau.
b)Comprendre ce que fait l’algorithme et l’expliquer.
c)Modifier 3 lignes dans l’initialisation et l’affichage.
5
a)Tenir compte du lien entre aire d’un domaine du plan rapporté à un repère et intégrale d’une fonction.
b)Appliquer les formules sur les primitives usuelles.
Maths Term S Le corrigé
1 a)Le point B étant le point de la courbe d’abscisse 1 et d’ordonnée 2,f(1) = 2. Par ailleurs, la tangente en B à la courbe est horizontale, donc le coefficient directeur de cette tangente est égal à 0 etf0(1) = 0.
b)La fonctionf est dérivable sur]0 ; +∞[, en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle. Par ailleurs :
x = 0d’après la propriété des croissances comparées.
Donc par produit et somme :
x→+∞lim f(x) = 0.
c)−ln(x)>0est équivalent à ln(x)<0, soitx< 1.
fest donc croissante sur ]0 ; 1] et décroissante sur[1 ; +∞[.
3 a)La fonctionf est continue et strictement croissante sur ]0 ; 1] et 1∈]− ∞ ; f(1)[, on peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur ]0 ; 1], ce qui prouve l’existence et l’unicité d’une solutionαà l’équationf(x) = 1.
Sujet 12 – Le corrigé
b)Grâce à la calculatrice et la technique dite de balayage, on prouve que l’unique solutionβ à l’équationf(x) = 1 sur]1 ; +∞[appartient à ]5 ; 6[, par suite,n= 5.
b)Les valeurs affichées par cet algorithme :167 et12sont les bornes d’un encadrement deα d’am-plitude inférieure ou égale à 10−1.
c)On modifie les 3 lignes de l’initialisation : – Affecter àala valeur 5.
– Affecter àbla valeur 6.
– Sif(m) > 1 alors Affecter àala valeurm.
5 a)Commençons par trouver l’abscisse du point d’intersection de la courbeC et de l’axe des abscisse. Cela revient à résoudre l’équationf(x) = 0 sur ]0 ; 1]. Soit2 + 2lnx= 0, soit lnx=−1 etx=1e.
On doit donc démontrer que l’aireJdu domaine délimité par l’axe des abscisse, la courbeC, les droites d’équationsx= 1e etx= 1 est égale à la moitié de celle du rectangle OABC c’est-à-dire 1.
OrJ =R1
1 e
f(x)dx.
On doit donc démontrer queR1
1
Le rectangle OABC est bien partagé en deux domaines de même aire par la courbeC.