Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.
– Un salarié malade est absent.
– La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
– Si la semainenle salarié n’est pas malade, il tombe malade la semainen+ 1 avec une probabilité égale à 0,04.
– Si la semainen, le salarié est malade, il reste malade la semainen+ 1 avec une probabilité égale à 0,24.
On désigne, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, parEnl’événement « le salarié est absent pour cause de maladie lan-ième semaine ». On notepnla probabilité de l’événementEn. On a ainsi :p1= 0 et, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1 : 06pn< 1.
1 a)Déterminer la valeur dep3à l’aide d’un arbre de probabilité.
b)Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
2 a)Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous
b)Montrer que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, pn+1= 0,2pn+ 0,04
c)Montrer que la suite (un) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par un =pn −0,05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raisonr. En déduire l’expression deunpuis depnen fonction denetr.
Maths Term S Le sujet
d)En déduire la limite de la suite (pn).
e)On admet dans cette question que la suite (pn) est croissante. On considère l’algorithme suivant : Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre
réel
Initialisation P prend la valeur 0 J prend la valeur 1 Entrée Saisir la valeur de K Traitement Tant que P < 0,05−10−K
P prend la valeur 0,2×P + 0,04 J prend la valeur J + l
Fin tant que Sortie Afficher J
À quoi correspond l’affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
3 Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale àp= 0,05.
On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
On désigne parX la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
a)Justifier que la variable aléatoireX suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l’espérance mathématiqueµ, et l’écart typeσde la variable aléatoireX.
b)On admet que l’on peut approcher la loi de la variable aléatoireXσ−µpar la loi normale centrée réduite c’est-à-dire de paramètres 0 et 1.
On noteZune variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l’événementZ<xpour quelques valeurs du nombre réelx.
x −1,55 −1,24 −0,93 −0,62 −0,31 P(Z<x) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 x 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 P(Z<x) 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939
Calculer, au moyen de l’approximation proposée en questionb), une valeur approchée à 10−2près de la probabilité de l’événement : « le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».
Sujet 10 – Le sujet Pas à pas
äMobiliser ses connaissances Arbre pondéré :
• Un arbre pondéré est un arbre de choix dont chaquebrancheest associée à la probabilitéde l’issuereprésentée.
• La probabilité d’un événement correspondant à un « chemin » est égale au produit des probabi-lités inscrites sur chaque branche.
Exemples
Dans le porte-monnaie de madame Dupond, il y a trois pièces : une de 1 €, une de 2 € et une de 0,5 €. Au moment de régler 1,50 € pour l’achat de deux croissants, madame Dupond y prend deux pièces au hasard.
Pour visualiser toutes les issues possibles de cette expérience et leurs probabilités, on peut dresser un arbre pondéré en considérant que madame Dupond prend ses deux pièces l’une après l’autre.
L’expérience se décompose donc en deux étapes, comme le montre l’arbre suivant :
L’événement « Obtenir 1,50 € » a donc pour probabilité :2×12×13 = 13. Suite :
• Une suite est une fonction définie sur l’ensembleNou sur une partie deN.
Maths Term S Le sujet Pas à pas
• L’image du naturel npar la suite use noteu(n) ou plus souvent un. Convergente :
• On dit qu’une suite (un) estconvergentevers le réelalorsque tout intervalle ouvert contenant acontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim
x→∞un=a.
• Une suite qui n’est pas convergente estdivergente.
Dire qu’une suite est divergente peut signifier :
– qu’elle n’a pas de limite, comme pour la suite de terme généralun= cosn;
– que son terme général tend vers l’infini quandntend vers l’infini, comme pour la suite de terme généralun=n+ 1.
Épreuve de Bernoulli :
• Une épreuve ou expérience de Bernoulli est uneexpérience aléatoirequi n’a quedeux issues possibles :l’une est appelée « succès » et a pour probabilitép, l’autre est appelée « échec » et a pour probabilitéq(q= 1−p).
• Définir uneloi de Bernoulli de paramètrep, c’est associer une loi de probabilité à cette expé-rience aléatoire, en faisant correspondre la valeur 1 à l’apparition d’un succès et 0 à l’apparition d’un échec.
On définit ainsi une variable aléatoireXà valeurs dans 0, 1 dont la loi de probabilitéPest une loi de Bernouilli de paramètrep:
X 0 1
P 1−p p
• Réaliser unschéma de Bernoulliconsiste à répéter cette expérience dans des conditions iden-tiques.
Loi binomiale :On considère une expérience aléatoireE, un événementAlié àEde probabilité non nulle, avecP(A) =p.On appelle succès la réalisation deAet échec celle deA.¯
Onrépètenfois l’expérienceEdans desconditions identiqueset de manière indépendante. Soit Xla variable aléatoire comptant lenombre de succèsau cours desnrépétitions.X suit uneloi binomialede paramètresnetp, notéeB(n,p).
On a alors :
Loi normale :La loi normale centrée réduiteN(µ;σ2) est uneloi de probabilité continue.
Si X est unevariable aléatoirequi suit la loi normaleN(µ;σ2), lavariable aléatoireX−µσ suit laloi normale centrée réduiteN(0 ; 1).Voir également : loi exponentielle ; loi uniforme.
Sujet 10 – Le sujet Pas à pas
äNos conseils 1
a)Utiliser l’arbre pour déduirep3.
b)Traduire la probabilité demandée sous la forme d’une probabilité conditionnelle, puis appliquer la formule des probabilités conditionnelles.
2
a)Compléter l’arbre en traduisant l’énoncé sous forme de probabilités.
b)On s’appuie sur l’arbre précédent ainsi que sur la formule des probabilités totales.
c)On montre qu’il existe un réel q tel queun+1 = qun, puis on utilise la propriété du cours donnantunen fonction de sa raison et de son premier terme.
d)On applique la propriété qui nous dit que siq∈]−1; 1[, lim
n→+∞qn= 0.
e)Interpréter l’algorithme d’un point de vue mathématique.
3
a)Rechercher les éléments de l’énoncé permettant de justifier que X suit une moi binomiale.
Utiliser les formules du cours pour déduire les paramètresµetσ.
b)Montrer que cela revient à calculer P(7 6 X 6 15), puis utilisez votre calculatrice pour conclure.
Maths Term S Le corrigé
1 a)
Les événementsE2∩E3 etE¯2∩E3forment une partition de E3. En utilisant la formule des probabilités totales et l’arbre, on obtient :
p3= 10024 ×1004 +1004 ×10096 = 10000480 = 0,048.
b)On recherche ici la probabilité deE2sachantE3. Il suffit d’appliquer la formule des probabilités conditionnelles :
PE3(E2) = P(EP(E2∩E3)
3) = 1004p×10024
3 =48096 = 0,2.
2 a)
b)En utilisant la formule des probabilités totales on obtient, pour toutn61 : pn+1=P(En+1∩En) +P(En+1∩En)
pn+1= 0,24pn+ 0,04(1−pn) pn+1= 0,2pn+ 0,04.
c)Pour toutn61 :
un+1=pn+1−0,05 = 0,2pn+ 0,04−0,05 un+1= 0,2pn−0,01 = 0,2(pn−0,05).
Et doncun+1= 0,2unce qui prouve que la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier termeu0=p0−0,05 =−0,05.
Sujet 10 – Le corrigé
Par suite,un =u0×(0,2)n=−0,05(0,2)netpn=un+ 0,05 = 0,05−0,05(0,2)n. d)Puisque0,02∈]−1; 1[, lim
n→+∞(0,2)n= 0et lim
n→+∞pn= 0,05.
e)PourKfixé, la valeur deJ affichée quand l’algorithme s’arrête correspond au rang du terme de la suite tel quepJ> 0,05−10K.
La suite étant croissante et convergente vers 0,05, cela entraîne que pour un réelKdonné, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle [0,05 −10K; 0,05] ce qui provoque l’arrêt de l’algorithme.
3 a)L’expérience consistant à tester un salarié et à appeler succès le fait qu’il soit malade une semaine donnée, correspond à une épreuve de Bernoulli de paramètrep= 0,05.
Lorsqu’on teste au hasard les 220 employés, cela revient à la répétition, de façon indépendante, d’une même épreuve de Bernoulli.
X suit donc une loi binomiale de paramètresp= 0,05 etn= 220.
D’après les formules du cours, on déduit que µ = E(X) = np = 11et σ = p
V(X) = pnp(1−p) =√
10,45≈3,23.
b)Nous devons calculerP(76X615).
P(76X 615) =P(X 615)−P(X 67)
P(76X 615) =P(X−µσ 615−µσ )−P(X−µσ 6 7−µσ ) P(76X 615)≈P(Z61,24)−P(Z6−1,24) En utilisant les données du tableau :
P(76X 615)≈0,78à 10−2près.