Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2014-2015 Mathématiques
Devoir surveillé n ◦ 5 du jeudi 11 décembre 2014
Durée : 4 heures — calculatrice autorisée
Instructions générales :
Les candidats sont priés de ne traiter que les problèmes qui leur sont destinés :
⊲ problème 1 : uniquement sujet corsé ;
⊲ problème 2 : commun à tout le monde ;
⊲ problème 3 : commun à tout le monde ;
⊲ problème 4 : commun à tout le monde.
Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
Remarque importante :
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
PROBLÈME 1, uniquement sujet corsé
On pose, pourx >0,
S(x) =
+∞
X
n=0
(−1)n n!(x+n). 1. Justifier queS est définie et de classeC1 surR∗+.
2. Préciser le sens de variation deS.
3. Établir que
∀x >0, xS(x)−S(x+ 1) = 1 e. 4. Déterminer un équivalent de S en+∞.
5. Déterminer un équivalent de S en0.
PROBLÈME 2, pour tout le monde, classique comme corsé
SoitX
un la série de fonctions d’une variable réelle de terme généralun défini pour toutn∈N∗ par : pour tout x∈R,un(x) = 2x
x2+n2π2.
1. (a) Montrer quePun converge simplement sur Rtout entier.
On noteU =
+∞
X
n=1
un la somme de la série de fonctionsP un. (b) Montrer que, pour touta >0,P
un converge normalement sur[−a, a].
La sérieP
un converge-t-elle normalement surR? (c) Montrer queU est continue surR.
2. (a) Soitn∈N∗. Déterminer la primitive qui s’annule en0 de la fonctionun. (b) Soit(vn)n∈N∗ la suite de fonctions définie par :
∀n∈N∗, ∀x∈R, vn(x) = ln
1 + x2 n2π2
. Montrer queP
vn converge simplement surR. 1
(c) On noteV =
+∞
X
n=1
vn la somme de la série de fonctionsP vn. Montrer queV est la primitive qui s’annule en0 de la fonctionU. 3. On considère la suite (pn)n∈N de fonctions polynômes surRdéfinie par :
∀x∈R, p0(x) = x,
∀n∈N∗, ∀x∈R, pn(x) = x
+∞
Y
k=1
1 + x2
k2π2
.
Montrer que la suite(pn)n converge simplement surR, lorsquen→+∞, vers une fonctionpque l’on exprimera à l’aide deV puis deU.
PROBLÈME 3, pour tout le monde, classique comme corsé
Rdésigne l’ensemble des nombres réels.
Soitαun réel strictement positif.
Pournentier naturel non nul, on considère l’applicationun de[0,+∞[versRdéfinie par : un(x) = x
nα(1 +nx2). 1. Étude des modes de convergence de la série de fonctionsP
un. (a) Montrer que la sérieX
unconverge simplement sur [0,+∞[.
(b) Démontrer que la sérieX
un converge normalement sur[0,+∞[si et seulement siα > 1 2. (c) Soientaet bdeux réels tel que :0< a < b.
Prouver que la sérieX
un converge normalement sur[a, b].
(d) On suppose dans cette question :α6 1
2. Pourxélément de[0,+∞[, on pose : Rn(x) =
+∞
X
k=n+1
uk(x).
(i) Établir l’inégalité : Rn(x)>
2n
X
k=n+1
√ x
2n(1 +kx2). (ii) En déduire que la sérieX
unn’est pas uniformément convergente sur[0, a]oùaest un réel strictement positif.
2. Étude de la continuité de S.
(a) Montrer que, pour toutα, S est continue sur]0,+∞[.
(b) Montrer que, siα > 1
2, alorsS est continue sur[0,+∞[.
(c) On suppose que :α61
2. Soitxun réel strictement positif.
(i) Soitfα l’application définie sur[1,+∞[par :t7→fα(t) = x tα(1 +tx2). On définit la suite(In)n>1 d’intégrales par
In= Z n
1
fα(t) dt.
À l’aide d’une majoration, prouver que la suite (In) converge. On note alors Iα = Z +∞
1
fα(t) dt sa limite.
2
(ii) Montrer que :
Z +∞
1
fα(t) dt6S(x).
(iii) À l’aide d’un changement de variable, calculer la valeur de Iα dans le cas particulier où α = 1 2, autrement dit calculer
n→+∞lim Z n
1
√ x
t(1 +tx2)dt.
(iv) En déduire queS n’est pas continue en0.
PROBLÈME 4, pour tout le monde, classique comme corsé
On considère ici l’espace vectoriel réelE = M4(R) muni de ses lois usuelles, et qui est aussi muni du produit matriciel noté×.
On noteraG = GL4(R) = {M ∈E / det(M)6= 0} l’ensemble des matrices de E inversibles (on rappelle qu’on l’appelle le groupe linéaire).
Pour(x, y, z, t)∈R4, on noteradiag (x, y, z, t) =
x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 0 0 0 t
(matrice diagonale de E), 04 = diag (0,0,0,0) la matrice nulle, etI= diag (1,1,1,1)la matrice identité.
On s’intéresse ici à certains sous-espaces vectoriels deE stables pour×.
- Préliminaire -
SoitF unK-espace vectoriel de dimension finie (K=RouC) etuun endomorphisme deF. SoitP un polynôme deK[X].
- P1 - Soitλune valeur propre deu.
Démontrer que pour tout k∈N,λk est une valeur propre deuk. En déduire que P(λ)est une valeur propre deP(u).
- P2 - Déduire du résultat précédent que dans le cas particulier oùP est un polynôme annulateur deu, toute valeur propre deuest nécessairement une racine deP.
Nous avons ainsi démontré le résultat :
Pour tout endomorphismeu, si l’on connaît un polynômeP annulateur deu, alors les valeurs propres deusont nécessairement parmiles racines du polynôme annulateur.
Nous admettrons également le théorème suivant :
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable et admet de plus une base orthonormée de vecteurs propres.
Dans ce problème, on pourra utiliser le résultat du préliminaire ou le théorème admis à chaque fois que cela s’avèrera utile.
- Problème -
1. SoitK∈E, dont tous les coefficients valent1.
(a) CalculerK2 et déterminer un polynôme réel de degré2 annnulateur deK, c’est-à-dire tel queP(K) = 04. Quelles sont les valeurs propres deK?
(b) SoitM =xI+yK avec(x, y)∈R2. Démontrer queM est diagonalisable, préciser les valeurs propres deM, et donner une amtrice diagonale semblable àM.
(c) Démontrer que F=
xI+yK / (x, y)∈R2 est un sous-espace vectoriel deE et déterminer sa dimension.
Vérifier que F est stable pour×: siM etN sont dansF, alorsM×N ∈F.
(d) SoitM =xI+yK avec(x, y)∈R2. Calculer Mn pour tout n∈N∗. Déterminer à quelle conditionM est inversible, et exprimer alorsM−1en fonction de x, y, Iet K.
3
2. Soient K=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
etZ =
1 0 −1 0
0 1 0 −1
−1 0 1 0 0 −1 0 1
, et : H = Vect{K, Z}=
aK+bZ,(a, b)∈R2 .
(i) Démontrer que les quatre matrices K2,Z×K,K×Z,Z2 sont dansH. en déduire queH est stable pour le produit matriciel×.
(ii) Déterminer les sous-espaces propres pourKet Z.
(iii) En déduire une matriceQ∈G, vérifiant les trois conditions :
• La valeur absolue de tous les coefficients deQvaut 1 2.
• tQ×Q=I.
• K′=Q−1×K×QetZ′=Q−1×Z×Qsont toutes les deux diagonales.
Pour(a, b)∈R2, que vaut alors : tQ×
a+b a a−b a a a+b a a−b a−b a a+b a
a a−b a a+b
×Q?
3. SoitA=
1 √1
2 0 −√1
1 2
√2 0 −√1
2 −1
0 −√1
2 −1 −√1 2
−√1
2 −1 −√1
2 0
.
(i) CalculerA2 etA3. La famille(A, A2, A3)est-elle libre ?
(ii) Quel est le rang deA?Aest-elle semblable àJ = diag (1,1,0,0).
(iii) Déterminer un polynôme réelRde degré3, annulateur deA, tel queR(a) = 04. Préciser les valeurs propres deA.
(iv) Justifier queAest diagonalisable, et montrer l’existence de trois matrices,U,vetW, et de deux réelsaet btels queA=aU+bV, avec :
U+V +W I, U2=U, V2=V, W2=W,
U×V =V ×U =U×W =W×U =V ×W =W ×V = 04. Aest-elle semblable alors à∆ = diag (a, b,0,0)?
(v) CalculerAn pour toutn∈N∗ en fonction deAet A2.
(vi) Démontrer queC={M ∈E, A×M =M×A}est un sous-espace vectoriel deE, et calculer sa dimen- sion.
(vii) Étudier s’il peut existerM dansE, telle que M2=A.
Bon courage !
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