PROBLÈME 2 — CORSÉ

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 5

du jeudi 14 décembre 2017 Durée : 4 heures Calculatrice autorisée

Instructions générales : Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien huit pages ;

• de traiter leur sujet :

? classique, composé du problème1;

? corsé, composé des problèmes2 et3.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

PROBLÈME 1 — CLASSIQUE

Objectifs :On noteF la fonction zeta alternée de Riemann, définie par F(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n^x ,

et ζla fonction zeta de Riemann, définie sur]1,+∞[ par ζ(x) =

+∞

X

n=1

1 n^x. Ce problème propose une étude croisée de quelques propriétés deF etζ.

Mise à part la partieIII.qui utilise des résultats de la partieI., les parties sont, dans une très large mesure, indépen- dantes.

I. Généralités

1. Déterminer l’ensemble de définition deF.

2. On considère la suite de fonctions(gn)_n≥1définies sur [0,1[par gn(t) =

n

X

k=0

(−t)^k.

Déterminer la limite simple gde(gn)n.

Déterminer une fonctionφcontinue par morceaux, positive et telle que|gn(t)| ≤φ(t)pour toutt∈[0,1[.

Démontrer, à l’aide du théorème de convergence dominée version segment, que la suite Z 1

0

gn(t)dt

n

converge vers

Z 1 0

g(t)dt.On citera soigneusement les hypothèses de ce théorème.

Prouver queF(1) = Z 1

0

g(t) dt. En déduire la valeur deF(1).

3. Démontrer que la série de fonctions X

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹

n^x converge normalement sur [2,+∞[. En déduire la limite deF en+∞.

4. Dérivabilité de F

(a) Soitx >0. Étudier les variations sur]0,+∞[de la fonctiont7→ lnt

t^x et en déduire que la suite lnn

n^x

n≥1

est monotone à partir d’un certain rang (dépendant dex) que l’on précisera.

(b) Pourn≥1, on posefn:x7→ (−1)ⁿ⁻¹ n^x .

Si a est un réel strictement positif, démontrer que la série des dérivéesX

n≥1

f_n⁰ converge uniformément sur [a,+∞[.

En déduire que F est une fonction de classeC¹ sur]0,+∞[.

5. Lien avec ζ

Calculer, pour x >1,F(x)−ζ(x)en fonction dexet deζ(x). En déduire que : F(x) = (1−2^1−x)ζ(x).

Puis en déduire la limite de ζ en+∞.

II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même

On rappelle que le produit de Cauchy de deux sériesX

n≥1

a_n et X

n≥1

b_n est la sérieX

n≥2

c_n, oùc_n=

n−1

X

k=1

a_kb_n−k. Dans cette partie, on veut déterminer la nature, selon la valeur dex, de la sérieX

n≥2

cn(x), produit de Cauchy deX

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹ n^x par elle-même.

Cette étude va illustrer le fait que le produit de Cauchy de deux séries convergentes n’est pas nécessairement une série convergente.

Dans toute cette partie,ndésigne un entier supérieur ou égal à2 etxun réel strictement positif.

6. Étude de la convergence

(a) Indiquer sans aucun calcul la nature et la somme, en fonction de F, de la série produit X

n≥2

cn(x)lorsque x >1.

(b) Démontrer que, pourx >0,|cn(x)| ≥4^x(n−1) n^2x . En déduire, pour0< x≤ 1

2, la nature de la série X

n≥2

cn(x).

7. Cas où x= 1

On suppose, dans cette question 7., quex= 1.

(a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle 1 X(n−X). En déduire une expression de cn(x)en fonction de Hn−1

n , oùHn= 1 +1

2 +· · ·+1

n (somme partielle de la série harmonique).

(b) Déterminer la monotonie de la suite

Hn−1

n

n≥2

.

(c) Rappeler un équivalent classique deHn (sans démonstration). En déduire la nature de la série X

n≥2

cn(x).

III. Calcul de la somme d’une série à l’aide d’une étude deζ au voisinage de1

8. Développement asymptotique en 1

(a) Écrire en fonction deln 2et deF⁰(1)le développement limité à l’ordre1et au voisinage de1de la fonction F, puis déterminer le développement limité à l’ordre2 et au voisinage de 1 de la fonctionx7→1−2^1−x. (b) En déduire deux réels aetb, qui s’écrivent éventuellement à l’aide deln 2 etF⁰(1), tels que l’on ait, pour

xau voisinage de1⁺ :

ζ(x) = a

x−1+b+o(1).

9. Développement asymptotique en 1 (bis) On considère la série de fonctions X

n≥1

vn, oùvn est définie sur[1,2]par

vn(x) = 1 n^x−

Z n+1 n

dt t^x.

(a) Justifier que, pourn≥1 etx∈[1,2], on a :

0 ≤ v_n(x) ≤ 1

n^x − 1 (n+ 1)^x.

(b) Justifier que, pour x∈[1,2], la série X

n≥1

vn(x)converge. On note alors γ =

+∞

X

n=1

vn(1) (c’est la constante d’Euler).

(c) Exprimer, pourx∈]1,2], la somme

+∞

X

n=1

vn(x)à l’aide deζ(x)et1−x.

(d) Démontrer que la sérieX

n≥1

vn converge uniformément sur[1,2](on pourra utiliser le reste de la série).

(e) En déduire que l’on a, pourxau voisinage de1⁺ : ζ(x) = 1

x−1+γ+o(1).

10. Application

Déduire des résultats précédents une expression, à l’aide de ln 2etγ, de la somme

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹lnn

n .

IV. Calcul des ζ(2k)à l’aide des nombres de Bernoulli

Dans cette partie, on se propose d’établir une formule permettant de calculer la valeur desζ(2k)avec un entierk≥1.

Pour cela, on introduit les polynômes et nombres de Bernoulli.

R[X]désigne laR-algèbre des polynômes à coefficients réels.

On identifie un polynôme et sa fonction polynômiale associée.

On dit qu’une suite(Bn)n deR[X]est une suite de polynômes de Bernoulli lorsqu’elle vérifie les propriétés suivantes : B₀ = 1, ∀n∈N^∗, B_n⁰ = nB_n−1 et

Z 1 0

B_n(t)dt = 0.

On admet qu’il existeune et une seulesuite de polynômes de Bernoulli que l’on notera(Bn)n. On l’appellelasuite de polynômes de Bernoulli.

On posebn=Bn(0),bn est appelé len-ième nombre de Bernoulli.

11. CalculerB1et B2. En déduireb1 etb2. 12. Calculer, pourn≥2,Bn(1)−Bn(0).

13. Symétrie

Démontrer que, pour toutn∈N,Bn(X) = (−1)ⁿBn(1−X).

M. Cochet.L’utilisation des séries de Fourier permet d’obtenir, lors des questions 14., 15. et 16. la formule : ζ(2k) = (−1)^k−12^2k−1π^2k

(2k)! β2k.

Cette formule vous est donnée pour votre culture personnelle, elle ne sera pas utilisée dans la suite. La fin du problème décrit une méthode de calcul effectif desb_2k, donc deζ(2k).

17. Calcul effectif des bn

(a) Démontrer, en utilisant une formule de Taylor, que, pour toutn∈N, on a : Bn(X) =

n

X

k=0

n k

b_n−kX^k.

(b) En déduire une relation de récurrence permettant de calculer les nombres de Bernoulli sans avoir à déter- miner les polynômes de Bernoulli associés.

Écrire, en python, un programme permettant d’obtenir la valeur debn pour un entierndonné.

PROBLÈME 2 — CORSÉ

Le problème porte sur l’étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme X

n≥0

a_n n!

x(x+ 1)(x+ 2)· · ·(x+n).

La partie I traite de préliminaires. La partie II, indépendante de la première, a pour objet l’étude de propriétés de la somme d’une série factorielle convergente sur l’intervalle]0,+∞[.

Partie I - Préliminaires

I.A - Pour tout entier naturel pnon nul, on pose :

∀n∈N^∗, un(p) = 1

n(n+ 1)· · ·(n+p). I.A.1) Montrer que la série X

n≥1

u_n(p)est convergente.

I.A.2) On pose

σ(p) =

+∞

X

n=1

un(p).

Calculerσ(1).

I.A.3) Pourp≥2 et pournquelconque dansN^∗, exprimerun(p−1)−un+1(p−1)en fonctions de pet un(p).

I.A.4) En déduire la valeur deσ(p)en fonction dep, pour p≥2.

I.B - Soient qun entier supérieur ou égal à2et N un entier naturel supérieur ou égal à1.

I.B.1) Vérifier que l’intégrale Z +∞

N

dt

t^q converge, c’est-à-dire que Z A

N

dt

t^q admet une limite finie lorsqueAtend vers +∞.

I.B.2) Donner une majoration du reste

RN(q) =

+∞

X

n=N+1

1 n^q en le comparant à une intégrale.

Partie II - Un exemple d’accélération de la convergence

II.A -

II.A.1) Montrer par récurrence l’existence de trois suites(a_p), (b_p) et (c_p) d’entiers naturels définies pour p≥2 telles que, pour tout réelxstrictement positif et pour tout entierpon ait :

1 x³ =

p

X

k=2

ak

x(x+ 1)· · ·(x+k)+ bpx+cp

x³(x+ 1)(x+ 2)· · ·(x+p). II.A.2) Exprimera_p+1,b_p+1 et c_p+1 en fonction dep,b_pet c_p.

II.A.3) Montrer que : ∀p≥2, bp≥cp≥0.

II.A.4) Calculerap,bp etcp pour p= 2,3et 4.

II.B - On désire calculer une valeur décimale approchée de ζ(3) =

+∞

X

n=1

1 n³

avec une erreur inférieure ou égale àε= 5.10⁻⁵.

II.B.1) En utilisantI.B, déterminer un entier naturelN suffisant pour que

+∞

X

n=N+1

1

n³ soit inférieur àε.

II.B.2) Donner un majorant simple de

+∞

X

n=N+1

b4n+c4

n³(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4)

et montrer, à l’aide de tout ce qui précède, comment calculerζ(3)pour la même valeur deεavec une valeur deN moins grande que celle trouvée à la question II.B.1).

II.B.3) Donner une valeur décimale approchée àεprès (par défaut) deζ(3)en utilisant ce qui précède.

Partie III - Séries factorielles

III.A -

III.A.1) Pour tout entier naturel net pour tout réel xstrictement positif, on pose :

un(x) = n!

x(x+ 1)(x+ 2)· · ·(x+n), vn(x) = 1

(n+ 1)^x, wn(x) =un(x) vn(x).

Montrer que la série de terme généralln

wn(x) w_n−1(x)

, définie pourn≥1, est convergente.

III.A.2) En déduire qu’il existe`(x)(dépendant dexet strictement positif) tel que :

n→+∞lim u_n(x)

vn(x) =`(x).

III.B - Soit (an)_n∈N^∗ une suite de complexes et x un réel strictement positif. Montrer que la série X

n≥0

anun(x) est absolument convergente (en abrégé AC) si et seulement si la série X

n≥0

anvn(x)est AC.

III.C - On désigne désormais parAl’ensemble des suites(a_n)_n∈Nindexées parNtelles que la sérieX

n≥0

a_nu_n(x)soit AC pour tout réelxstrictement positif. Soita= (a_n)_n∈Nun élément deA. Montrer que la fonctionf_a définie par

x7→fa(x) =

+∞

X

n=0

anun(x) :

III.C.1) est continue sur l’intervalle ]0,+∞[.

III.C.2) tend vers0 en+∞.

III.D -

III.D.1) Donner un exemple d’un élémentadeAavecan non nul pour tout entier natureln.

III.D.2) Donner un exemple d’une suite(a_n)_n≥0 qui ne soit pas un élément deA.

III.E - Soitaun élément deA.

III.E.1) Montrer que pour tout entier naturel n, la fonctionx7→un(x)est de classe C¹ sur l’intervalle]0,+∞[ et que :

∀x >0, |u⁰_n(x)| ≤u_n(x) 1

x+ ln 1 + n

x

.

III.E.2) En déduire que la fonctionfa est de classeC¹ sur l’intervalle]0,+∞[.

N.B. On dira alors que la fonction f_a est développable en série factorielle (sous entendu ici sur ]0,+∞[ et en abrégé DSFA) et on admettra qu’un tel développement est unique.

PROBLÈME 3 — CORSÉ

Le crible d’Ératosthène donne un algorithme qui permet de savoir si un entier est premier ou non. Il est par suite possible d’indexer la suite des nombres premierspi, i= 1,2, . . . :

p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . .

Dans tout ce problème la lettrepest réservée aux nombres premiers. Étant donné un réelx, sa partie entière [x]

est l’entiernqui vérifie la double inégalité suivante :

[x] = n ≤ x < n+ 1.

Étant donné un réelx, supérieur ou égal à 2 (x≥ 2), il existe un entier N égal au rang du plus grand nombre premierp_N inférieur ou égal àx:

pN = sup{p|p≤x}.

Le but de ce problème est de démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée et d’étudier la nature de la série de terme général _p¹

i, i= 1,2, . . .

1) La suite des nombres premiers est illimitée :

Démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée en considérant, par exemple, pournnombres premiersp₁, p2, . . . ,pn donnés, l’entierQdéfini à partir de cesnnombres premiers par la relation suivante :Q=p1·p2· · · ·pn+ 1 =

n

Y

i=1

pi+ 1.

Dans toute la suitenest un entier supérieur ou égal à2(n≥2),sun réel donné strictement positif(s >0).

2) EnsembleMn :

2)a)Justifier la relation suivante :

1− 1

n^s −1

=

+∞

X

k=0

1 n^ks.

2)b) Soient a et b deux entiers différents l’un de l’autre, tous les deux supérieurs ou égaux à2 (a6=b, a≥ 2, b≥2) ; démontrer que la série double de terme généralui,j, i= 0, 1, 2, . . . , j = 0,1, 2, . . . , défini par la relation suivante :

ui,j = 1

a^isb^js, i= 0,1, 2, . . . , j= 0,1,2, . . . est sommable. Déterminer sa sommeS.

Soient p1, p2, . . . , pn les n premiers nombres premiers, Mn l’ensemble des réels obtenus en considérant tous les produits des réels (p1)^s,(p2)^s, . . . ,(pn)^sélevés à des exposantsαi,1≤i≤n, entiers positifs ou nuls :

Mn = {m|m= (p1)^sα1·(p2)^sα2· · ·(pn)^sαn, αi∈N}.

2)c)Démontrer que l’application(α₁, α₂, . . . , α_n)7→(p₁)^sα1·(p₂)^sα2· · ·(p_n)^sαn, deNⁿ dansM_n, est injective. En déduire qu’il est possible d’indexer les réelsmdans l’ordre croissant : l’applicationi7→mi est strictement croissante deN^∗ surM_n.

Exemples : écrire la suite des12premiers termes de la suite(mi)i_inN^∗ lorsque le réelsest égal à1et l’entiernégal à 2puis à3.

Il est admis que la série de terme généralνi= _m¹

i, i∈N^∗ est convergente ; sa somme est désignée par le symbole X

m∈Mn

m⁻¹. Comme le laisse présager l’alinéa b), le résultat plus général ci-après est vrai et admis :

n

Y

i=1

1− 1

(pi)^s −1

= X

m∈Mn

m⁻¹ =

+∞

X

i=1

1 mi

.

Soitf_n la fonction définie sur la demi-droite ouverte]0,+∞[par la relation suivante : fn(s) =

n

Y

i=1

1− 1

(p_i)^s −1

.

SoitN le rang du plus grand nombre premier inférieur àn(N = sup{i|pi≤n}.

2)d)Démontrer l’inégalité suivante :

n

X

k=1

1 k^s ≤

N

Y

i=1

1− 1

(pi)^s −1

.

Retrouver, en donnant une valeur particulière au réels, le résultat : la suite des entiers premiers est illimitée.

Déterminer, en supposant le réelsinférieur ou égal à1 (0< s ≤1), la limite lorsque l’entier ntend vers l’infini, de l’expressionfn(s)introduite ci-dessus.

Il est admis, puisque la suite des nombres premiers est illimitée, qu’à tout réel xsupérieur ou égal à 2 (x≥2), peut être associé un entier N tel que le réel xsoit encadré par les nombres premierspN etpN+1 :

pN ≤ x < pN+1.

2)e)Établir, lorsque le réel sest strictement supérieur à1 (s >1), l’encadrement ci-dessous :

n

X

k=1

1 k^s ≤

N

Y

i=1

1− 1

(p_i)^s −1

≤

+∞

X

k=1

1 k^s.

En déduire, pours >1, la limite de l’expressionfn(s)introduite ci-dessus lorsque l’entierntend vers l’infini.

3) Série de terme général _p¹

i, i= 1, 2, . . . :

Déduire des résultats ci-dessus la nature de la série de terme généralvi,i= 1,2, . . . , défini par la relation suivante : vi = ln

1− 1

p_i

.

En déduire la nature de la série de terme général : wi = 1

p_i, i= 1, 2, . . .

Quelle conclusion qualitative est-il possible d’en tirer sur la répartition des nombres premiers ? 4) Fonctionζ :

Soit ζ la fonction limite de la suite fn. Démontrer que cette fonction, définie d’après la question 2)e) sur la demi-droite ouverte]1,∞[ par la relation ci-après, est continûment dérivable (M. Cochet :synonyme de « de classe C¹») :

ζ(s) = lim

N→+∞

N

Y

i=1

1− 1

(pi)^s −1

=

+∞

X

k=1

1 k^s.

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 5 – éléments de correction

PROBLÈME 1 — CLASSIQUE

d’après CCP 2008 MP maths 1

I. Généralités 1. Soit x∈ R. Si x >0, alors la suite

1 n^x

n≥1

tend vers0 en décroissant. D’après le critère spécial des séries alternées, la série X

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹

n^x converge pour toutx >0 . Si par contrex≤0, alors la suite

(−1)ⁿ⁻¹ n^x

n≥1

ne

converge pas vers0. Ainsi six≤0alors la sérieX

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹

n^x diverge grossièrement . 2. Comme|−t|<1, la série géométriqueX

(−t)ⁿ converge et sa somme vaut

+∞

X

k=0

(−t)^k= 1

1−(−t) = 1

1 +t. Ainsi la suite (gn)n converge simplement vers la fonctiong:t7→ 1

1 +t sur[0,1[.

Vérifions les trois hypothèses du théorème de convergence dominée :

• La suite(gn)n converge simplement vers la fonctiong sur[0,1[.

• La fonctiong et les fonctionsgn sont continues par morceaux sur[0,1[.

• Hypothèse de domination. Soitt∈[0,1[, alors

|g_n(t)| =

1−(−t)ⁿ⁺¹ 1 +t

= 1−(−t)ⁿ⁺¹

1 +t ≤ 2

1 +t

def= φ(t).

La fonctionφest indépendante den, positive, continue par morceaux (et même continue) sur[0,1[(et même sur[0,1]) et intégrable sur[0,1[.

D’après le théorème de convergence dominée, la suite Z 1

0

gn

n

converge vers Z 1

0

g(t)dt .

Or Z 1

0

gn(t)dt=

n

X

k=0

(−1)^k k+ 1 =

n+1

X

k=1

(−1)^k−1

k , doncF(1) = Z 1

0

g(t)dt=h

ln(1 +t)i¹

0= ln 2.

Finalement :

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n = ln 2.

3. Soitn≥1etx≥2, et notonshn(x) = (−1)ⁿ⁻¹

n^x . Alors|hn(x)|=

(−1)ⁿ⁻¹ n^x

≤ 1

n². Ainsikhnk^[2,+∞[_∞ ≤ 1 n². Or la série X

n≥1

1

n² est indépendante dexet convergente (Riemann), d’où X

n≥1

hn converge normalement sur[2,+∞[.

On en déduit qu’elle converge uniformément sur [2,+∞[. Comme, pour toutn≥2, (−1)ⁿ⁻¹

n^x −−−−−→

x→+∞ 0 et que, pour n= 1, (−1)ⁿ⁻¹

n^x = 1, le théorème de la double limite permet d’affirmer que

F(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n^x −−−−−→

x→+∞

+∞

X

n=1 x→+∞lim

(−1)ⁿ⁻¹ n^x = 1 c’est-à-dire que la limite de F en+∞existe et vaut1.

4. Dérivabilité de F

(a) Soit x > 0. La fonction hx : t 7→ lnt

t^x est de classe C^∞ sur ]0,+∞[ et h⁰_x(t) = t^x−1(1−xlnt)

t^2x . Donc h⁰_x est négative sur l’intervalle [e^1/x,+∞[ et positive sur]0, e^1/x]. Donchx est décroissante sur[e^1/x,+∞[ et croissante sur]0, e^1/x].

On en déduit que la suite lnn

n^x

n≥1

est décroissante à partir du rangE e^1/x + 1. (b) Pourfn:x7→(−1)ⁿ⁻¹e^−xlnn qui est de classeC¹, il vientf_n⁰(x) = (−1)ⁿlnn

n^x . Soita >0. On pose Na = E e^1/a

+ 1. Pour toutx≥a, la suite lnn

n^x

n≥N_a

tend vers0 en décroissant.

Ainsi la série alternée X

n≥N_a

f_n⁰(x)converge et, pourn≥Na, son reste d’ordren,ρn(x), vérifie :

|ρ_n(x)| ≤

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+ 1) (n+ 1)^x

≤ ln(n+ 1) (n+ 1)^a.

Par conséquentkρnk^[a,+∞[_∞ = sup

x≥a

|ρn(x)| ≤ ln(n+ 1)

(n+ 1)^a −−−−−→

n→+∞ 0. On en déduit que la série X

n≥1

f_n⁰ converge uniformément sur[a,+∞[. Appliquons le théorème de dérivation terme à terme d’une série de fonctions :

• Pour toutn≥1, la fonctionf_n est de classeC¹ sur]0,+∞[.

• la sérieX

n≥1

fn converge simplement sur ]0,+∞[et sa somme estF.

• La sérieX

n≥1

f_n⁰ converge uniformément sur tout segment inclus dans]0,+∞[.

D’après le théorème de dérivation terme à terme, la fonction F est de classeC¹sur]0,+∞[ et

∀x >0, F⁰(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿlnn n^x .

5. Lien avec ζ

Pour x > 1, il vient F(x)−ζ(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹−1

n^x =

+∞

X

k=1

−2

(2k)^x =−2^1−x

+∞

X

k=1

1

k^x =−2^1−xζ(x). On en déduit l’égalité : F(x) = (1−2^1−x)ζ(x).

Or 2^1−x−−−−−→

x→+∞ 0, doncF(x)∼ζ(x)au voisinage de+∞et finalement ζ(x)−−−−−→

x→+∞ 1 .

II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même 6. Étude de la convergence

(a) Lorsquex >1, la sérieX

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹

n^x converge absolument. Ainsi la série produit de Cauchy deX

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹ n^x

par elle-même converge absolument et sa somme vaut :

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n^x

!²

= (F(x))² .

(b) Pourx >0, nous avonscn(x) = (−1)ⁿ⁻²

n−1

X

k=1

1

[k(n−k)]^x. Ork7→k(n−k)est maximum quandk= n 2 et la somme comporten−1 termes, donc|cn(x)|=

n−1

X

k=1

1

[k(n−k)]^x ≥(n−1) 1

[(n/2)²]^x =(n−1)4^x n^2x .

Pour0< x≤ 1

2 fixé, la quantité(n−1)4^x

n^2x =n−1

n^2x 4^xa une limite strictement positive (finie ou non) lorsque n→+∞. Ainsi la suite(cn(x))nne converge pas vers0. Finalement la série X

n≥2

cn(x)diverge grossièrement . 7. Cas où x= 1

(a) Sans détour 1

X(n−X)= 1 n

1 X + 1

n−X

. Par conséquent

cn(1) = (−1)ⁿ⁻²

n−1

X

k=1

1

k(n−k) = (−1)ⁿ⁻²1 n

n−1

X

k=1

1 k+ 1

n−k

= (−1)ⁿ⁻²1 n

n−1

X

k=1

1 k +

n−1

X

k=1

1 n−k

!

= 2(−1)ⁿ⁻²1 n

n−1

X

k=1

1 k

d’où c_n(1) = 2(−1)ⁿ⁻²H_n−1 n . (b) Monotonie

Remarquons que H_n−1

n − Hn

n+ 1 = 1 n

Hn− 1

n

− Hn

n+ 1 = Hn

1 n− 1

n+ 1

− 1 n²

≥

1 + 1 2

1

n(n+ 1)− 1

n² = n−2

2n²(n+ 1) ≥ 0.

Ainsi la suite

H_n−1 n

n≥2

est décroissante .

(c) Il est de notoriété publique que H_n^n→+∞∼ lnn. On en déduit que la suite

H_n−1 n

n≥2

converge vers0en décroissant. Finalement d’après le CSSA : la série alternée X

n≥2

c_n(1)converge .

III. Calcul de la somme d’une série à l’aide d’une étude deζ au voisinage de1 8. Développement asymptotique en 1

(a) On poseh=x−1. La fonctionF est dérivable en1, donc il vient au voisinage de1 : F(x) = F(1) +hF⁰(1) +o(h) = ln 2 +hF⁰(1) +o(h).

Par ailleurs :1−2^1−x= 1−e^{−hln 2}=hln 2−ln²2

2 h²+o(h²)au voisinage dex= 1. D’où les développements limités demandés :

F(x) = 2 +F⁰(1)(x−1) +o(x−1) et 1−2^1−x= (ln 2)(x−1)−ln²2

2 (x−1)²+o (x−1)² . (b) Développement de ζ

D’après les questions 5. et 8.(a) :

ζ(x) = 1

1−2^1−xF(x) = ln 2 +hF⁰(1) +o(h) hln 2−ln²2

2 h²+o(h²)

= 1

hln 2

ln 2 +hF⁰(1) +o(h) 1−ln 2

2 h+o(h)

= 1

hln 2(ln 2 +hF⁰(1) +o(h))

1 +ln 2

2 h+o(h)

= 1

hln 2

ln 2 +h

F⁰(1) +ln²2 2

+o(h)

= 1

h+

F⁰(1) ln 2 +ln 2

2

+o(1).

En revenant à la variablex:

ζ(x) = 1 x−1 +

F⁰(1) ln 2 +ln 2

2

+o(1) .

9. Développement asymptotique en 1 (bis)

(a) Pourn≥1 etx∈[1,2], la fonctiont7→ 1

t^x est décroissante sur [n, n+ 1]qui est un intervalle de longueur 1, donc en intégrant : 1· 1

(n+ 1)^x ≤ Z n+1

n

dt

t^x ≤1· 1

n^x. On en déduit que : 0≤v_n(x)≤ 1

n^x − 1 (n+ 1)^x . (b) Pourx∈[1,2], la suite

1 n^x

n≥1

est convergente de limite nulle. Or par télescopage

n

X

k=1

1

k^x − 1 (k+ 1)^x

= 1− 1

(n+ 1)^x,

donc la série X

n≥1

1

n^x − 1 (n+ 1)^x

converge. Grâce à l’encadrement du 9.(a), on obtient par comparaison de séries à termes positifs la convergence deX

n≥1

vn(x)sur[1,2]. Notons en particulierγ=

+∞

X

n=1

un(1).

(c) Pourx∈]1,2], nous avons

n

X

k=1

vk(x) =

n

X

k=1

1 k^x −

Z n+1 1

dt t^x =

n

X

k=1

1 k^x −

t^−x+1

−x+ 1 ⁿ⁺¹

1

=

n

X

k=1

1 k^x + 1

x−1

1

(n+ 1)^x−1 −1

puis par passage à la limite quandn→+∞etxfixé dans]1,2]:

+∞

X

n=1

vn(x) = ζ(x)− 1 x−1 .

(d) D’après la question 9.(b), la série X

n≥1

vn converge simplement sur [1,2]. Pour x ∈ [1,2] fixé, on note Rn(x) =

+∞

X

k=n+1

vk(x)le reste d’ordre nde la série. D’après 9.(a) et par télescopage, le reste vérifie

0 ≤ Rn(x) ≤

+∞

X

k=n+1

1

k^x − 1 (k+ 1)^x

= 1

(n+ 1)^x − lim

k→+∞

1

k^x = 1

(n+ 1)^x ≤ 1 (n+ 1)¹.

Par conséquentkRnk^[1,2]_∞ ≤ 1

n+ 1. Ainsi la série X

n≥1

v_n converge uniformément sur[1,2].

(e) Afin de démontrer queζ(x)− 1

x−1 admet une limite γ en1, nous allons utiliser l’égalité obtenue dans la question 9.(c).

Pourx∈]1,2], nous avons par définition :vn(x) = 1 n^x − 1

1−x 1

n^x−1− 1 (n+ 1)^x−1

. Par ailleursvn(1) = 1

n−ln(n+ 1) + lnn. Étudions la continuité devn en1.

En posanth=x−1, nous avons d’une part 1 n^x = 1

n+o(1)et d’autre part : 1

1−x 1

n^x−1 − 1 (n+ 1)^x−1

= 1

h

e^−hlnn−e^−hln(n+1)

= 1

h

(1−hlnn+o(h))−(1−hln(n+ 1) +o(h)

= ln(n+ 1)−lnn+o(1).

Par conséquentvn(x) = 1

n+ ln(n+ 1)−ln(n) +o(1). Il s’ensuit que vn est continue en1. On en déduit que la série X

n≥1

vn est une série de fonctions continues sur [1,2]. Par ailleurs la convergence uniforme sur[1,2]entraîne la continuité de sa somme sur[1,2].

D’où ζ(x)− 1 x−1 =

+∞

X

n=1

v_n(x) ^x→1−→

+∞

X

n=1

v_n(1) = γ (par définition de γ). Finalement comme espéré ζ(x) = 1

x−1+γ+o(1)au voisinage de1⁺ . 10. Application

Par unicité du développement limité en1⁺(éventuellement en multipliant par(x−1)), on déduit de 8.(b) et 9.(e) les égalitésa= 1 et F⁰(1)

ln 2 +ln 2

2 =b=γ. D’oùF⁰(1) = ln 2

γ−ln 2 2

.

Enfin d’après la formule du 4.(b) donnantF⁰(x):

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹lnn

n =−F⁰(1) = ln 2 ln 2

2 −γ

.

IV. Calcul des ζ(2k)à l’aide des nombres de Bernoulli

11. Nous avonsB₁⁰ = 1etB0= 1, donc il existek∈Rtel queB1=X+k. Alors0 = Z 1

0

(t+k)dt= 1

2 +k. Donc k=−1

2 et B1=X−1 2 .

Par ailleursB₂⁰ = 2B₁= 2X−1, donc il existe`∈Rtel queB<sub>2</sub>=X<sup>2</sup>−X+`. Alors0 = Z 1

0

(t²−t+`)dt=1 3−1

2+`.

Donc`=1

6 et B₂=X²−X+1 6 . 12. Pour n ≥ 2, Bn(1)−Bn(0) =

Z 1 0

B_n⁰(t)dt = n Z 1

0

B_n−1(t)dt d’où Bn(1)−Bn(0) = 0pour toutn≥2 (car n−1≥1).

13. Symétrie

Posons An = (−1)ⁿBn(1−X). On va montrer que(An)n est une suite de polynômes de Bernoulli. L’unicité admise d’une telle suite donnera le résultat attendu.

• LesAn sont des polynômes réels.

• A0=B0= 1.

• ∀n∈N^∗, A⁰_n = (−1)ⁿ(−1)B_n⁰(1−X) = (−1)ⁿ⁻¹nB_n−1(1−X) =nA_n−1.

• ∀n∈N^∗, Z 1

0

An(t)dt= (−1)ⁿ Z 1

0

Bn(1−t)dt^u=1−t= (−1)ⁿ Z 1

0

Bn(u) du= 0.

Finalement Bn(X) = (−1)ⁿBn(1−X)pour toutn∈N. 17. Calcul effectif des b_n

(a) Par récurrence, on vérifie queBn est de degrén.

Ensuite, d’après la formule de Taylor pour les polynômes : B_n(X) =

n

X

k=0

B^(k)n (0) k! X^k. Or par récurrence, pour tout k∈[[0, n]],Bn^(k)=n(n−1)· · ·(n−k+ 1)B_n−k = n!

(n−k)!B_n−k. DoncB_n(X) =

n

X

k=0

n!B_n−k(0)

(n−k)!k!X^k c’est-à-dire B_n(X) =

n

X

k=0

n k

b_n−kX^k .

(b) Soitn≥2. D’après la question 12. il vientbn =Bn(0) =Bn(1) =

n

X

k=0

n k

b_n−k, donc

n

X

k=1

n k

b_n−k = 0.

On en déduit : b_n−1=−1 n

n

X

k=2

n k

b_n−k=−1 n

n−2

X

k=0

n k

b_k.

Finalement, pour toutn≥1 : bn =− 1 n+ 1

n−1

X

k=0

n+ 1 k

bk .

Voici pour terminer un programmepythoncalculant lesbk pour toutk∈[[0,10]]: b = [1] ] b[0] = 1

N = 10 ] calculons b = [ b_0, ... , b_10 ] def bino(k,n):

r = 1

for j in range(0,k):

r = r * (n-j) / (j+1) return r

print("b[",0,"] = ",b[0]) for n in range(1,N+1):

s = 0

for k in range(0,n):

s = s + b[k] * bino(k,n+1) b.append(-s / (n+1))

print("b[",n,"] = ",b[n])

PROBLÈME 2 — CORSÉ

d’après Centrale PC 2009 Maths 1, parties I à III (sur 5)

Partie I - Préliminaires

I.A -

I.A.1) Pour tousn∈N^∗ et p∈N^∗, un(p)est défini et positif. De plusun(p) ∼

n→+∞

1

n^p+1. Et comme p+ 1>1: la sérieX

n

un(p)converge .

I.A.2) On sait déjà queσ(1)existe, d’après la question précédente. De plus par télescopage : σ(1) =

+∞

X

n=1

1 n(n+ 1) =

+∞

X

n=1

1 n− 1

n+ 1 = 1− lim

n→+∞

1 n

,

ce qui permet d’affirmer que σ(1) = 1 . I.A.3) On simplifie la fraction :

un(p−1)−un+1(p−1) = 1

n(n+ 1)· · ·(n+p−1)− 1

(n+ 1)(n+ 2)· · ·(n+p)

= n+p−n

n(n+ 1)· · ·(n+p) = p u_n(p).

Finalement : u_n(p−1)−u_n+1(p−1) =p u_n(p). I.A.4) Soitp≥2. D’après ce qui précède, commep6= 0:

u_n(p) = u_n(p−1)

p −u_n+1(p−1)

p .

Calculons alors une somme partielle, par télescopage :

N

X

n=1

u_n(p) =

N

X

n=1

un(p−1)

p −un+1(p−1) p

= u1(p−1)

p −uN+1(p−1)

p .

Or, d’après l’équivalent du I.A.1) lim

N→+∞uN+1(p) = 0, donc en faisant tendreN vers +∞dans l’égalité ci-dessus, il vient :

σp =

+∞

X

n=1

un(p) = u1(p−1)

p = 1

p× 1

1×2×3× · · · ×(1 +p−2)×(1 +p−1) = 1 p× 1

p!

et on peut conclure : ∀p≥2, σ_p = 1

p·p! . Le résultat reste vrai si p= 1.

I.B - Soient qun entier supérieur ou égal à2et N un entier naturel supérieur ou égal à1.

I.B.1) On a 1

t^q =t^−q et une primitive det7→t^−q estt7→ t^−q+1

−q+ 1. D’où, pourA≥N : Z A

N

dt t^q =

1 (1−q)t^q−1

^A

N

= 1

(1−q)A^q−1 − 1 (1−q)N^q−1.

Or q≥2 doncq−1≥1et 1

(1−q)A^q−1 admet donc pour limite0 lorsqueA tend vers+∞. Ainsi Z A

N

dt t^q tend vers− 1

(1−q)N^q−1 lorsque Atend vers+∞, ce qui signifie bien que

Z +∞

N

dt

t^q converge .

I.B.2) La fonctiont7→ 1

t^q est continue décroissante sur[1,+∞[donc

∀k≥2, ∀t∈[k−1, k], 1 k^q ≤ 1

t^q.

On intègre sur [k−1, k](bornes dans le bon sens) :

∀k≥2 1 k^q ≤

Z k k−1

dt t^q.

On fait la somme deN+ 1(≥2)à M et on fait tendreM vers+∞. Commeq≥2, la sérieX 1

k^q converge et l’intégrale

Z +∞

N

dt

t^q converge aussi et :

∀N ≥1,

+∞

X

k=N+1

1 k^q ≤

Z +∞

N

dt

t^q = 1

(q−1)N^q−1.

Finalement ∀q≥2,∀N ≥1,

+∞

X

k=N+1

1

k^q ≤ 1

(q−1)N^q−1 .

Partie II - Un exemple d’accélération de la convergence

II.A -

II.A.1) et II.A.2) On remarque que comme x >0 les dénominateurs sont tous non nuls. Prouvons maintenant la propriété par récurrence surp.

• Supposons quep= 2. On veut démontrer que :

∀x >0, 1

x³ = a2

x(x+ 1)(x+ 2)+ b2x+c2

x³(x+ 1)(x+ 2), Soit en réduisant au même dénominateur :

∀x >0, (x+ 1)(x+ 2) =a₂x²+b₂x+c₂

ce qui donne : a2= 1,b2= 3,c2= 2. D’où l’existence et même l’unicité dea2,b2 etc2.

• On suppose la relation vérifiée au rangp. Pour prouver la relation au rangp+ 1il suffit de décomposer pourx >0:

bpx+cp

x³(x+ 1)· · ·(x+p) = ap+1

x(x+ 1)· · ·(x+p)(x+p+ 1)+ bp+1x+cp+1

x³(x+ 1)· · ·(x+p)(x+p+ 1). En éliminant les dénominateurs communs il reste :

bpx+cp

x² = ap+1

(x+p+ 1)+ bp+1x+cp+1

x²(x+p+ 1). Soit en réduisant au même dénominateur :

(bpx+cp)(x+p+ 1) = ap+1x²+bp+1x+cp+1, et donc la relation de récurrence :

ap+1 = bp, bp+1 = cp+ (p+ 1)bp, cp+1 = (p+ 1)cp . On vérifie par récurrence que∀p≥2,(a_p, b_p, c_p)∈N³.

II.A.3) Vue la formule donnantcp on a :∀p≥2, cp =p!. Par conséquent cp >0. On justifie alors par récurrence quebp≥cp :

• Sip= 2on a bien3≥2.

• Sibp≥cp, alors commep+ 1>0, il vient(p+ 1)bp≥(p+ 1)cp. Orcp≥0, donc on a bienbp+1≥cp+1. II.A.4) Un calcul (à la main) donne : c₂= 2,c₃= 6,c₄= 24, puisb₂= 3,b₃= 11,b₄= 50, enfina₃= 3,a₄= 11.

Ce qui donne (non demandé par l’énoncé, mais utile à la question II.B.2)) : 1

x³ = 1

x(x+ 1)(x+ 2)+ 3

x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)+ 11

x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4)

+ 50x+ 24

x³(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4). II.B.1) D’après la relation duI.B)il suffit d’avoir :

1

2N² ≤ 5·10⁻⁵, soit 10⁻⁴N²≥1. Il suffit de prendre N = 100.

II.B.2) On a la majoration suivante :

+∞

X

n=N+1

b4n+c4

n³(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) ≤ b4 +∞

X

n=N+1

1 n⁶ +c4

+∞

X

n=N+1

1 n⁷

en minorant (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4)parn⁴. Grâce aux questions I.B.2) et II.A.4), on obtient :

+∞

X

n=N+1

b4n+c4

n³(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) ≤ 50 1

5·N⁵ + 24 1

6·N⁶ = 10 N⁵ + 4

N⁶.

II.B.3) Grâce à la formule obtenue en II.A.4) : 1

k³ = 1

k(k+ 1)(k+ 2)+ 3

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)+ 11

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4)

+ 50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4). On ajoute ces égalités :

ζ(3) =σ(2) + 3σ(3) + 11σ(4) +

+∞

X

k=1

50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4). On décompose :

+∞

X

k=1

50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4)

=

N

X

k=1

50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4)+

+∞

X

k=N+1

50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4).

Pour avoir ζ(3) à ε près il suffit donc d’avoir

N+1

X

k=1

50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4) ≤ ε (en négligeant les erreurs d’arrondi), soit 10

N⁵ + 4

N⁶ ≤5·10⁻⁵.

La machine à calculer nous dit que la racine positive de _N¹⁰5+_N⁴6 = 5·10⁻⁵est comprise entre 11et 12. Il suffit donc de prendreN = 12, ce qui donne _N¹⁰₅ +_N⁴₆ ≤4,2·10⁻⁵. Ainsi :

ζ(3) = σ(2) + 3σ(3) + 11σ(4) +

12

X

k=1

50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4)±ε.

Les 3 premiers termes sont connus : ζ(3) = 1

4 + 3· 1

18+ 11· 1 96+

12

X

k=1

50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4)±ε.

Reste à utiliser sa machine à calculer :

12

X

k=1

50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4) ≈ 0,6707885152.

ce qui donne

ζ(3) = 1,202038515±4,2·10⁻⁵ .

La valeur obtenue est bien une valeur par défaut car

N+1

X

k=1

50k+ 24

k³(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)(k+ 4) est un réel positif comme somme de réels positifs. Finalement

une valeur approchée deζ(3)est1,202038à5·10⁻⁵ près par défaut.

Partie III - Séries factorielles

III.A -

III.A.1) On a (dénominateur non nul) : wn(x)

w_n−1(x) = n 1 x+n

n+ 1 n

^x

= 1 + x

n −1

1 + 1 n

^x

=

1−x n+x²

n² +o 1

n² 1 +x

n+x(x−1) 2

1 n² +o

1 n²

= 1 + x(x−1) 2

1 n² +o

1 n²

ce qui donne (les quantités sont positives donc les lnexistent) ln

wn(x) w_n−1(x)

= x(x−1) 2

1 n² +o

1 n²

= O 1

n²

.

Comme2>1, il vient : la sérieP ln _w

n(x) wn−1(x)

converge absolument . III.A.2) La série converge. On peut donc noterS(x) =

+∞

X

n=1

ln

wn(x) w_n−1(x)

. On a alors

+∞

X

n=1

[ln(wn(x))−ln(w_n−1(x))] = S(x)

donc

n→+∞lim (ln(wn(x)) = S(x) + ln(w0(x)), d’où :

n→+∞lim wn(x) = 1

xexp(S(x)).

Ainsi `(x) = 1

xexp (S(x))est bien un réel strictement positif .

III.B - La question précédente nous donne tout de suite un équivalent :

|anun(x)| ^n→+∞∼ `(x)|anvn(x)|.

La série Pa_nu_n(x)converge absolument si et seulement si la sérieP`(x)a<sub>n</sub>v<sub>n</sub>(x)converge absolument, ce qui équivaut car`(x)6= 0à la convergence absolue de la sérieP

anvn(x).

Finalement X

anun(x)converge absolument si et seulement siPanvn(x)converge absolument . III.C -

III.C.1) Chaque fonctiona_nu_n est continue décroissante positive sur]0,+∞[.

Prouvons que la série Panun converge normalement sur tout segment[α, β]⊂]0,+∞[. En effet :

∀x∈[α, β], |anun(x)| ≤ |an|un(x) ≤ |an|un(α)

ce qui impliquekanunk^[α,β]_∞ ≤ |an|un(α). Orα >0doncP|anun(α)|converge par définition deA.

Il s’ensuit quefa est donc la somme d’une série de fonctions continues qui converge normalement sur tout segment inclus dans]0,+∞[. On en déduit que f_a est continue sur]0,+∞[.

III.C.2) La majoration |anun(x)| ≤ |an|un(α) est aussi valable sur [α,+∞[, et donc on a aussi convergence nor- male sur [α,+∞[. Chaque fonction un tend vers 0 en +∞. D’après le théorème de la double limite :

x→+∞lim fa(x) = 0. III.D -

III.D.1) Posonsa_n = 1

n! pour tout entiern. Alors n²v_n(x) n!

n→+∞∼ n^2−x

n! −→0 et donc Xv_n(x)

n! converge absolu- ment. Donc d’après III.B.:

1 n!

n

∈ A.

III.D.2) Posonsa_n = 1pour tout n. Alors la sériePv_n(x)est une série de Riemann qui converge seulement pour x >1. Par conséquent (1)n∈ A/ .

III.E -

III.E.1) La fonction un est l’inverse d’une fonction polynomiale n’ayant pas de racine sur ]0,+∞[, donc un est de classeC¹surR^∗+.

L’astuce pour dériveru_n est de passer par la dérivée logarithmique. Tous les facteurs deu_n sont positifs, on peut donc développerln(un)et dériver l’expression :

ln(un(x)) = ln(n!)−

n

X

k=0

ln(x+k).

Par conséquent :

u⁰_n(x) u_n(x) = −

n

X

k=0

1 x+k. Le sujet suggère de montrer que

n

X

k=1

1

x+k ≤ ln 1 + n

x

,

ce qui flaire la comparaison série-intégrale. Comme t 7→ ¹_t décroît surR^∗+, on obtient après encadrement sur[k, k+ 1], puis intégration sur[k, k+ 1], puis sommation pourk∈[[1, n]]:

n

X

k=1

1 x+k ≤

Z x+n x

dt

t = ln(x+n)−ln(x).

Il s’ensuit que ∀x >0,|u⁰_n(x)| ≤u_n(x) 1

x+ ln 1 +n

x

.

III.E.2) On sait déjà que pour tout n, la fonction x 7→ a_nu_n(x) est de classe C¹ sur ]0,+∞[ et que Pa_nu_n(x) converge simplement sur ce domaine.

Pour pouvoir dire que la somme est de classe C¹ et pouvoir dériver terme à terme, il reste à prouver la convergence normale sur tout segment[α, β]⊂]0,+∞[dePanu⁰_n. Or pour toutx∈[α, β]:

|anu⁰_n(x)| ≤ |an|un(x) 1

x+ ln 1 +n

x

≤ |an|un(α) 1

α+ ln 1 + n

α

.

Or P|a_n|u_n(α)converge. Il suffit de prouver la convergence deP|a_n|u_n(α) ln 1 +ⁿ_α

. Comme ln

1 + n α

= ln(n) + ln(1 n+ 1

α) = ln(n) +O(1) ∼ ln(n), on se ramène à l’étude de la convergence deP

|an|un(α) ln(n).

On prend α⁰ ∈]0, α[. Commeα⁰>0, la sérieP

|an|un(α⁰)converge. Mais

|an|un(α) ln(n) = (|an|un(α⁰))un(α) ln(n) u_n(α⁰)

n→+∞∼ (|an|un(α⁰))×`(α⁰)

`(α) ×(n+ 1)^α0ln(n) (n+ 1)^α . Or

n→+∞lim

ln(n) (n+ 1)^α−α0

= 0, d’où :

|a_n|u_n(α) ln(n) = o(|a_n|u_n(α⁰)) ce qui assure la convergence absolue de la sérieP

|an|un(α) ln(n).

D’après le théorème de dérivation terme à terme d’une série de fonctions : fa est de classeC¹sur]0,+∞[.

PROBLÈME 2 — CORSÉ

d’après Mines MP 2002 Maths 2 (partie 1 sur 4)

1) Si l’ensemble P = {p1, . . . , p_N} des nombres premiers est fini, avec p₁ < p₂ < · · · < p_N, alors soit l’entier q=

N

Y

i=1

pi+ 1. Pour toutp∈ P, on a : pdivise

N

Y

i=1

pi et doncq≡1 modp. Par suiteqest premier etq > pN, ce qui contredit l’hypothèseP fini. On conclut que l’ensembleP des nombres premiers est infini .

2) a) Pourn≥2, la sérieX 1

n^ks est géométrique de raison _n¹_s ∈]0,1[. Ainsi cette série converge et sa somme vaut :

1− 1 n^s

⁻¹

=

+∞

X

k=0

1 n^ks .

b) Pour tout (i, j) ∈ N×N, on a ui,j = _ais¹b^js > 0. Pour chaque i ∈ N, la famille (uij)j est sommable de sommesi=

+∞

X

j=0

1 a^is

1 b^js = 1

a^is

+∞

X

j=0

1

b^js (comparaison à une série de Riemann). En outre la famille(si)i est aussi sommable et

+∞

X

i=0

si =

+∞

X

i=0



 1 a^is

∞

X

j=0

1 b^js



 =

+∞

X

i=0

1 a^is

!



+∞

X

j=0

1 b^js



.

Il s’ensuit que la famille(u_ij)_(i,j)est sommable et que sa somme vaut X

(i,j)∈N×N

u_ij=

+∞

X

i=0

1 a^is

!



+∞

X

j=0

1 b^js



.

c) On noteM_n= (

m / m=

n

Y

i=1

p^sα_i ⁱ, α_i∈N )

.

•L’applicationϕ: (α1, . . . , αn)7→

n

Y

i=1

p^sα_i ⁱ est injective, par unicité de la décomposition d’un nombre entier en produit de nombres premiers.

• L’ensemble des puissances 1

s des éléments de Mn est une partie de N, donc elle peut être classiquement indexée parNde manière croissante. Par croissance de l’applicationx7→x^ssurR+, on en déduit que l’ensemble

M_n peut être indexé parNde manière croissante .

Remarque :en fait il n’y a pas besoin de la question précédente, l’indication de l’énoncé est trompeuse.

•Etude d’exemples.

Pours= 1et n= 2: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

mi 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27

Pours= 1et n= 3: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

m_i 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 20

d) Pour toutn∈N^∗,on a : {k^s/k∈[[1, n]]} ⊂Mn (décomposition d’un entier en facteurs premiers). Ainsi :

N

Y

i=1

(1− 1

p^s_i)⁻¹ = Y

p∈P,p≤n

1− 1

p^s −1

admis

= X

m∈Mn

1 m ≥

n

X

k=1

1 k^s.

En particulier pours= 1, on obtient :

N

Y

i=1

1− 1

pi

−1

≥

n

X

k=1

1

k . Si le nombre de nombres premiers était fini et égal àN, alors cette dernière inégalité prouverait que la série harmonique a ses sommes partielles majorées, alors que cette série est à termes positifs et divergente : absurde.

Conclusion : l’ensemble des nombres premiers est infini .