c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/21
Centrale Maths 2 MP 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tri Nguyen-Huu (ENS Lyon) ; il a été relu par Clotilde Breuillin (Mines de Paris), Brice Goglin (ENS Lyon) et Thomas Chomette (ENS Ulm).
Ce problème est composé de six parties. Le but est d’étudier un algorithme per- mettant un calcul approché des valeurs propres d’une matrice réelle symétrique : la méthode de Jacobi.
– La partie I se propose de définir une norme sur les matrices. Elle permet de démontrer quelques résultats classiques.
– Dans la partie II, on explicite une méthode de diagonalisation pour les matrices carrées symétriques d’ordre 2. La fin de cette partie consiste à appliquer cette méthode à un exemple.
– La troisième partie cherche à analyser la méthode précédente dans le cas de matrices d’ordre quelconque. Elle présente le principe d’une itération de la méthode de Jacobi.
– La quatrième partie a pour but de montrer la convergence de suites vérifiant certaines propriétés, résultat nécessaire pour la suite du problème.
– La cinquième partie expose le principe de la méthode de Jacobi et cherche à prouver qu’elle converge bien.
– Enfin, on trouve dans la partie VI un exemple de matrice d’ordre 3 à laquelle on applique l’algorithme défini précédemment.
Cette épreuve est relativement longue et comporte de nombreux calculs dans lesquels on peut se perdre facilement. C’est un bon exercice pour acquérir certains automatismes et éviter ainsi d’être déstabilisé le jour de l’épreuve.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/21
Indications
I.C Démontrer l’inégalité lorsqueai,j= 0 pouri6=j en utilisant la convexité de (x7−→x2).
II.C Si cela n’a pas déjà été fait, faire apparaître des termes en2θdans l’expression deb1,2. De plus, avoir lu l’énoncé en entier peut donner une idée de la valeur à trouver...
II.E Utiliser les formules
cos (Arctanx) = 1
√1 +x2 et sin (Arctanx) = x
√1 +x2
IV.A.1 Extraire une suite de(xn)n∈Net considérer une de ses valeurs d’adhérence.
IV.A.2 Choisirε < 1 2 Min
16λ,µ6Mkaλ−aµket considérern0>nεtel que n>n0 kxn+1−xnk< 1
2 Min
16λ,µ6Mkaλ−aµk −2ε
V.C.2 Montrer quekAkl−∆ktend vers 0 et remarquer que lesAkl ont tous le même polynôme caractéristique.
V.D.2 Montrer que(Dk+1−Dk)tend vers 0 coefficient par coefficient. Puis utiliser la question III.B.2 pour réécrire les termesa(k+1)i,i .
VI.A Utiliser les formules
|cosx|=
r1 + cos 2x
2 et |sinx|=
r1−cos 2x 2
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/21
I. Une norme surMn(R)
I.A Utilisons la définition de la fonctionTr : Tr (AB) =
n
P
i=1
(AB)i,i
=
n
P
i=1 n
P
j=1
ai,jbj,i
=
n
P
j=1 n
P
i=1
bj,iai,j
Tr (AB) =
n
P
j=1
(BA)j,j
On en déduit que Tr (AB) = Tr (BA) I.B ϕvérifie les propriétés suivantes :
• Φest clairement bilinéaire ;
• Φest symétrique : Φ(A,B) = Tr (AtB)
= Tr (t(AtB))
= Tr (BtA) Φ(A,B) = Φ(B,A)
• Φest définie positive : pour tout A dansMn(R), on a Φ(A,A) =
n
P
i=1 n
P
j=1
(A)i,j(tA)j,i=
n
P
i=1 n
P
j=1
a2i,j On en déduit que
Φ(A,A)>0 et Φ(A,A) = 0si et seulement siai,i= 0 pour touti soit Φ(A,A)>0 et Φ(A,A) = 0si et seulement siA = 0.
• Conclusion :A7−→Φ(A,A)est une forme quadratique définie positive.
Φest donc un produit scalaire.
En conséquence, on a
kAk2= Φ(A,A) =
n
P
i=1 n
P
j=1
a2i,j
I.C La fonction (x7−→ x2) est convexe. Quels que soient les coefficients ai,i, on peut alors écrire
1 n
n
P
i=1
ai,i
2
6 1 n
n
P
i=1
a2i,i
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/21
soit encore
n P
i=1
ai,i
2
6n
n
P
i=1
a2i,i
Or, on a clairement
n
P
i=1
a2i,i6
n
P
i=1 n
P
j=1
a2i,j
L’inégalité est valable pour toute matrice carrée A. En particulier, elle doit rester vraie lorsque les termes ai,j sont nuls pouri6=j. Ne pas s’aper- cevoir tout de suite que ces termes ne jouent aucun rôle dans l’égalité rend le problème beaucoup plus difficile.
C’est une bonne illustration de problèmes pour lesquels se ramener à des cas particuliers (ici une matrice diagonale) n’est pas une perte de temps et permet d’avoir une vision plus nette de la marche à suivre.
Il vient donc
n P
i=1
ai,i
2
6n
n
P
i=1 n
P
j=1
a2i,j
Une autre méthode consiste à utiliser le fait que a2+b2 >2ab (que l’on a déduit de l’inégalité(a−b)2>0). On a alors
n P
i=1
ai,i
2
=
n
P
i=1 n
P
j=1
ai,iaj,j 6
n
P
i=1 n
P
j=1
a2i,i+a2j,j 2
or
n
P
i=1 n
P
j=1
a2i,i+a2j,j
2 =n
n
P
i=1
a2i,i
d’où l’on déduit le résultat.
Il vient donc naturellement pour une matrice A
|Tr (A)|6√ nkAk
en d’autres termes |||Tr|||= Sup
A∈Mn(R)
|Tr (A)| kAk 6√
n
De plus, la borne supérieure est atteinte enIn, ce qui signifie que l’on a
|||Tr |||=√n
I.D Reprenons la définition de la norme. On a
kΩAk2= Tr (ΩAt(ΩA)) = Tr (ΩAtAtΩ) = Tr (tΩ ΩtA A) CommeΩappartient àOn(R), on a tΩ Ω = In; il en découle que
kΩAk=kAk Si A est une matrice symétrique, on a par définition
tA = A
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
