Mines Maths 2 MP 2000 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/14

Mines Maths 2 MP 2000 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Éric Ricard (ENS Ulm) ; il a été relu par Tri Nguyen- Huu (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Cette épreuve des Mines est relativement longue, mais elle n’est pas très difficile.

Le sujet propose de démontrer queln 2est irrationnel, mais ceci n’est qu’un prétexte puisqu’on y admet de nombreux résultats, notamment le théorème de Dirichlet sur la répartition des nombres premiers, bien plus difficile à établir. Le candidat est surtout testé sur sa connaissance du cours et sa maîtrise des techniques de bases (calculs, majorations).

Les quatre premières questions sont consacrées à l’étude de fonctions dévelop- pables en séries entières. L’idée principale est le lien entre les équations différentielles linéaires pour les séries entières et les suites définies par des relations de récurrence linéaires. Il s’agit principalement d’application directe du cours, sauf peut-être à la question 3.c.

Les questions 5 et 6 font le lien entre ces suites etln 2. Contrairement à son titre, la question 7 n’est qu’un exercice sur les développements limités et l’application du théorème sur les suites récurrentes d’ordre 2. Enfin, la question 8 mène à l’irration- nalité deln 2 en utilisant le critère de Fröbenius, là encore, tout est très détaillé et seule une bonne aptitude à manipuler les inégalités est nécessaire.

Pour bien comprendre le sujet et les mécanismes mis en jeu, il est souhaitable de lire intégralement l’énoncé. Globalement, il constitue un bon entraînement aux calculs et une bonne révision sur les séries entières.

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Indications

1.c Ne pas oublier d’invoquer le théorème de Cauchy-Lipschitz.

2 Utiliser la formule de Taylor.

3.b hdoit être définie en x (1−x)² .

3.c Utiliser les théorèmes sur les familles sommables pour changer la méthode de sommation ou utiliser les théorèmes d’inversion des signes de dérivation et de sommation pour les séries de fonctions.

4.b Montrer queeg(x) =f(x) Z x

0

f(t)dtest développable en série entière, puis trouver ses coefficients en utilisant les questions 4.a et 4.b.

5.b Pour montrer que bn

an

est bornée, utiliser la question 3.c pour minoreran ou alors montrer quean est croissante et quean>3ⁿ par récurrence.

7.a Utiliser la relation(R)pour exprimervn+1 en fonction devn etvn−1 et faire un développement limité en 1

n .

8.b Utiliser les majorations de la question 5.b combinées avec le résultat de la question 8.a .

8.c Exprimerdn en fonctions des nombres premiers.

8.e Montrerλ >pn

qn

et réduire au même dénominateur.

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1. Fonctionh

1.a Pour déterminer le rayon de convergence de la série entière un, on utilise la règle de D’Alembert :

Cⁿ⁺¹_2(n+1)

Cⁿ_2n = (2n+ 2)(2n+ 1)

(n+ 1)(n+ 1) −−−−→_n→∞ 4

ce qui montre que la série entière de terme généralun(x)a pour rayon de convergence 1/4.

1.b D’après le théorème de dérivation des séries entières, hest dérivable sur l’intervalle]−1/4 ; 1/4 [avec

h^′(x) = P∞ n=0

(n+ 1)Cⁿ⁺¹_2(n+1)xⁿ

Le coefficient d’ordrende la série entière(1−4x)h^′(x)est (n+ 1)Cⁿ⁺¹_2(n+1)−4nCⁿ_2n = Cⁿ_2n

(n+ 1)(2n+ 2)(2n+ 1) (n+ 1)(n+ 1) −4n

= Cⁿ_2n(4n+ 2−4n) (n+ 1)Cⁿ⁺¹_2(n+1)−4nCⁿ_2n = 2Cⁿ_2n

Puisque deux séries entières sont égales si et seulement si elles ont mêmes termes généraux, on a

(1−4x)h^′(x) = 2h(x)

1.c Comme 1−4x ne s’annule pas sur ]−1/4 ; 1/4 [, h est (d’après la question précédente) solution, sur cet intervalle, de l’équation différentielle linéaire homogène

y^′− 2

1−4xy= 0

Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire affirme quehest la seule solution à cette équation satisfaisanth(0) = 1; or les solutions sont de la forme

yλ(x) =λe^R⁰^x¹⁻²^4t^d^t=λe⁻¹²^ln(1⁻^4x) avecλréel. Un calcul direct donne λ= 1enx= 0 et

h(x) = 1

√1−4x

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2. FonctionMp

Tout d’abord, Mp est développable en série entière sur ]−1 ; 1 [ car Mp est la puissancep^e de1/(1−x), qui l’est. Le développement deMp est donné par sa série de Taylor. Démontrons par récurrence que la proposition

P(k) : 1

(1−x)^p (k)

=k! C^p−_p+k−¹ ₁ 1 (1−x)^p+k est vraie pour toutk>0.

– P(0)est bien vérifiée.

– P(k) =⇒ P(k+ 1)pourk>0; en effet, 1

(1−x)^p (k+1)

= 1

(1−x)^p (k)!^′

=

k! C^p_p+k−⁻¹ ₁ 1 (1−x)^p+k

^′

= k! C^p_p+k⁻¹−1(p+k) 1 (1−x)^p+k+1 1

(1−x)^p (k+1)

= (k+ 1)! C^p−_p+k¹ 1 (1−x)^p+k+1 – Conclusion : P(k)est vraie pour toutk>0.

La formule de Taylor en0 donne Mp(x) =

P∞ k=0

C^k_k+p−1x^k

Pour déterminer le développement deMp, on peut aussi utiliser l’égalité

∀p>1 1

(1−x)^p = 1 (p−1)!

1 1−x

(p−1)

et dériverp−1fois l’égalité 1 1−x =

P∞ k=0

x^k.

3. Fonctionf

3.a Pour quef(x), soit définie il faut et il suffit que 1−6x+x²>0 Le discriminant est32, les racines sont donc3 +√

8et3−√

8. Comme le coefficient dex² est positif,1−6x+x²>0 à l’extérieur de l’intervalle des racines, d’où

Df=

−∞; 3−√ 8

∪ 3 +√

8 ;⁺∞

3.b hn’étant définie que sur l’intervalle]−1/4 ; 1/4 [, pour pouvoir écrire une telle relation, il faut d’abord s’assurer que