M1CP3021 Maths alg`ebre II 2018-2019

M1CP3021 Maths alg`ebre II 2018-2019

TD3 : D´ eterminants - Corrig´ e exo 9 et 10

Exo 9

1. La fonction Θuest lin´eaire puisque, pourf etg dansAn(E), etλ∈K, on a

Θu(f +λg)(x1, . . . , xn) = (f+λg)(u(x1), . . . , u(xn)) =f(u(x1), . . . , u(xn)) +λg(u(x1), . . . , u(xn))

= Θ_u(f)(x₁, . . . , x_n) +λΘ_u(g)(x₁, . . . , x_n).

Ainsi Θ_uest une endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension 1. Sa matrice dans n’importe quelle base est donc un scalaire, et Θuest une homoth´etie :

∃λ∈K,∀f ∈An(E), Θu(f) =λf. (1) 2. Par contruction, detB est un ´el´ement deAn(E). Ainsi, en appliquant la formule (1) avecf = detB,

on obtient

∀(x1, . . . , xn)∈Eⁿ, detB(u(x1), . . . , u(xn)) =λdetB(x1, . . . , xn). (2) On applique la formule pr´ec´edente avecxi=ei, et en utilisant que detB(e1, . . . , en) = 1, on trouve det(u) = detB(u(e1), . . . , u(en)). Par construction, le scalaireλest le rapport de l’homoth´etie Θu, il ne d´epend pas de la baseB.

3. En appliquant la formule pr´ec´edente, on a

det(u◦v) = det_B(u(v(e₁)), . . . , u(v(e_n))), puis en utilisant (2) avec xi=v(ei) :

detB(u(v(e1)), . . . , u(v(en))) = detu×detB(v(e1), . . . , v(en)) = detu×detv.

Notons que Θu◦Θv est la compos´ee de deux homoth´eties de rapports respectifs detu et detv, c’est donc une homoth´etie de rapport detu×detv. De plus on a, par d´efinition de Θ_u◦v, que Θu◦Θv= Θu◦v. Cela conduit ´egalement `a det(u◦v) = detu×detv.

Exo 10 1. Voir cours.

2. Cette ´ecriture n’est qu’une reformulation du produit matriciel AX. On le v´erifie en explicitant les coefficients : si on note C_k =





 a_1k

... ank





, alors Pn

k=1x_kC_k est une colonne dont la i-i`eme composante estPn

k=1xkaik. Cette somme est bien lai-`eme ligne du vecteurAX, par d´efinition du produit matriciel. Puisque AX=B, on d´eduit l’identit´e demand´ee.

3. Fixonsiet pla¸cons le vecteur B `a la i-`eme position : det_B(C1, . . . , B, . . . , Cn) = det_B(C1, . . . ,

n

X

k=1

xkCk, . . . , Cn) =X

xkdet_B(C1, . . . , Ck, . . . , Cn)

1

par multilin´earit´e du d´eterminant. De plus, det_B(C1, . . . , Ck, . . . , Cn) = 0 si k6=i, car la colonne Ck apparaˆıt alors deux fois dans le calcul du d´eterminant. Ainsi,

detB(C1, . . . , B, . . . , Cn) =xidetB(C1, . . . , Ci, . . . , Cn) =xidetA, ce qui prouve les formules de Cramer.

4. Pour une matriceM quelconque,M e_j est laj-i`eme colonne deM. Ainsi, siX v´erifieAX=e<sub>j</sub>, on a aussi X =A<sup>−1</sup>e<sub>j</sub>, etX est la j-i`eme colonne deA⁻¹. Ainsi, en notantm_ij le coefficient (i, j) de A⁻¹, on a par la question pr´ec´edente

mij= detB(C1, . . . , ej, . . . , Cn)

detA ,

o`u le vecteur ej a ´et´e plac´e eni-i`eme position. En d´eveloppant par rapport `a cette colonne, on obtient que det_B(C1, . . . , ej, . . . , Cn) est le cofacteur de la matrice (aji). Cela prouve que

A⁻¹= 1 detA

tcom(A).

2/2