CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 5: Alg`ebre lin´eaire: dualit´e, formes multilin´eaires

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 5:

Alg`ebre lin´eaire: dualit´e, formes multilin´eaires

Jeudi 2 novembre 2006

1 Dualit´ e

1.1 D´ efinition espace dual

Soit E un espace vectoriel sur un corps quelconque (on choisira toujours K = R ).On appelle forme lin´ eaire sur E une application lin´ eaire de E dans K . Cet ensemble est not´ e L(E, K) ou E ^∗ et c’est l’espace dual de E.

Notations

Il est d’usage de noter ϕ ou x ^∗ un ´ el´ ement de l’espace dual. Attention quand mˆ eme, cette derni` ere notation est trompeuse car elle porte ` a penser qu’il existe une association entre un ´ element de E et un ´ element du dual. Cela est cependant vrai en dimension finie.

1.2 D´ efinition: crochet de dualit´ e

Si x est un vecteur de E, ϕ une forme lin´ eaire sur E ^∗ , il est d’usage de noter

le reel ϕ(x) par < ϕ, x >; on parle de crochet de dualit´ e. (Cette notation

a l’avantage de montrer le role sym´ etrique (en dimension fini) jou´ e par x

et ϕ = x ^∗ ). Le crochet de dualit´ e d´ efini une forme bilin´ eaire sur E × E ^∗

(exercice).

1.3 Transposition

Soit E, F deux espaces vectoriels et f une application de E vers F , l’application de F ^∗ vers E ^∗ qui a ϕ associe ϕ◦f s’appelle transpos´ e (ou pull back en anglais) de f.

La d´ efinition et le th´ eor` eme qui suivent sont donn´ e pour souligner qu’en dimension finie ` a partir des deux objets E et E ^∗ on ne cr´ ee rien de nouveau!

si on dualise E ^∗ on obtient E ^∗∗ (bidual) mais ` a isomorphisme (canonique) pr` es ce n’est rien d’autre que E.

1.4 D´ efinition

Consid´ erons l’application de E ^∗ dans K not´ ee x e qui a ϕ associe ϕ(x).Cette application est une forme lin´ eaire sur E ^∗ et appartient donc au (bi)-dual de E not´ e E ^∗∗ .

Th´ eor` eme

On note J l’application qui ` a x ∈ E associe e x ∈ E ^∗∗ . J est bijective en dimension finie.

D´ emonstration

1) Prouvons que J est lin´ eaire:

J (λx + µy) = λx ^ + µy

Mais ∀ϕ ∈ E ^∗ , λx ^ + µy(ϕ) = < ϕ, λx + µy > = λ < ϕ, x > +µ < ϕ, y > = (λ x e + µ e y)(ϕ)

Donc J est bien lin´ eaire.

Montrons que J est injective, Il est suffisant de montrer:

J (x) = 0 ⇒ x = 0 ou que x 6= 0 ⇒ J (x) 6= 0.

Si E est de dimension finie, Il existe une base e 1 , ..., e n de E

Exercice : montrer que l’ensemble des e ^∗ ₁ , ..., e ^∗ _n de E ^∗ d´ efinie par:

< e ^∗ _i , e _j > = δ _i,j forme une base de E ^∗ Posons e 1 = x, Alors :

< J (x), e ^∗ ₁ > = < J (x), x ^∗ > = < x ^∗ , x >= 1 Et on d´ eduit J(x) 6= 0.

Applications ` a l’analyse

Ces r´ esultats alg´ ebrique correspondent aux situations suivante:

1) Calcul diff´ erentiel: un ´ el´ ement e _i de E est le vecteur ”accroissement”

unit´ e au point x ₀ : (0, 0, ..., 1, 0, ..., 0) de R ⁿ (le 1 est ` a la i-` eme position) et l’´ el´ ement e ^∗ _i de E ^∗ la 1-forme diff´ erentielle aussi ´ evalu´ ee en x ₀ dx _i de R ^n∗ . 2) G´ eom´ etrie diff´ erentielle: un ´ el´ ement e _i de E est le vecteur ”tangent” unit´ e du fibr´ e tangent : ∂ _i au dessus d’un point de la vari´ et´ e et l’´ el´ ement e ^∗ _i de E ^∗ la 1-forme diff´ erentielle dx _i de l’espace cotangent au dessus du mˆ eme point de la vari´ et´ e.

2 Formes multilin´ eaires et multilin´ eaires al- tern´ es

On consi` ere le produit cart´ esien de p espaces vectoriels, sur un corps K. Pour les applications en vue le corps consid` er´ e est le corps des nombres r´ eels.

2.1 D´ efinition

Une application f de E 1 × E 2 × ... × E p dans K est multilin´ eaire (ici p-

lin´ eaire) si et seulement si chaque application partielle f _i : E _i −→ K est

lin´ eaire. L’ensemble des p-formes lin´ eaires est not´ e: L _p (E ₁ , E ₂ , ..., E _p , K). Si

les E i sont identiques c’est plus simplement: L p (E, K).

L’ensemble des formes multilin´ eaires alt´ ern´ ees se scinde en deux sous en- sembles importants: les formes multilin´ eaires sym´ etriques et les formes mul- tilin´ eaires altern´ ees. La premi` ere classe fait partie des tenseurs pairs ou sym´ etriques, la seconde des tenseurs impairs ou antisym´ etriques.

Forme p-lin´ eaire sym´ etriques

Une forme p-lin´ eaire est sym´ etrique, si pour toute permutation σ de (1, ..., p) et tout n-uplet (x ₁ , ..., x _p )

f (x ₁ , ..., x _p ) = f (x _σ(1) , ..., x _σ(p) )

Forme p-lin´ eaire antisym´ etriques

Une forme p-lin´ eaire est antisym´ etrique, si pour tout n-uplet (x ₁ , ..., x _p ) f (x ₁ , ..., x _p ) =0 d` es que deux indices sont identiques

Cela revient au meme de dire que pour toute transposition τ de deux indices, f (x _τ(1) , ..., x _τ(p) ) = - f (x ₁ , ..., x _p )

On dit aussi que la forme est altern´ ee. On note Λ ^∗ _p (E) cet ensemble.

3 El´ ements d’alg` ebre exterieur

Toutes permutations d’un ensemble ` a n ´ el´ ements se d´ ecompose en produit de transpositions. on peut alors d´ efinir la signature de la permutation not´ ee ε(σ) d’apr` es ce qui pr` ec‘de toute formes altern´ ee peut s’ecrire:

f (x _σ(1) , ..., x _σ(p) ) = ε(σ)f (x ₁ , ..., x _p )

On a un proc´ ed´ e ”canonique” pour fabriquer des formes alt´ ern´ ees ` a partir

des p- formes; il en est de mˆ eme pour les formes sym´ etriques:

3.1 Antisym´ etrisation d’une p- forme

Soit f une p-forme, on obtient une forme alt´ ern´ ee f en posant:

f (x ₁ , ..., x _n ) = _p! ¹ P

σ∈S

ε(σ)f(x _σ(1) , ..., x _σ(p) )

Exemples

-Soit f de R × R dans R , f = ¹ ₂ (f (x, y) − f (y, x)) est antisym´ etrique

3.2 Produit tensoriel et produit exterieur

dans ce qui suit, on consid` ere f une forme p-lin´ eaire ϕ, une forme q-lin´ eaire ψ; on donne les d´ efinitions suivantes:

D´ efinition

On app´ elle produit tensoriel de ϕ et ψ not´ e ϕ ⊗ ψ la p + q- forme lin´ eaire d´ efinie par:

ϕ ⊗ ψ(x ₁ , ..., x _p+q ) = ϕ(x ₁ , ..., x _p )ψ(x _p+1 , ..., x _p+q ) On d´ efinit ainsi une application bilin´ eaire.

On aimerais d´ efinir un produit (tensoriel) antisym´ etrique sur les formes mul- tilin´ eaires altern´ ees:

l’antisym´ etris´ ee de ϕ est d´ efinie par:

ϕ(x ₁ , ..., x _p ) = _p! ¹ P

σ∈S

ε(σ)ϕ(x _σ(1) , ..., x _σ(p) ) l’antisym´ etris´ ee de ψ est d´ efinie par:

ψ(x _p+1 , ..., x _p+q ) = _q! ¹ P

σ∈S

ε(σ)ψ(x _σ(p+1) , ..., x _σ(p+q) ) l’antisym´ etris´ ee de ϕ ⊗ ψ est d´ efinie par:

ϕ ⊗ ψ(x 1 , ..., x p+q ) = _(p+q)! ¹ P

σ∈S

ε(σ)ϕ(x σ(1) , ..., x σ(p) )ψ(x σ(p+1) , ..., x σ(p+q) )

Notations et th´ eor` eme

Notons S _p,q l’ensemble des permutations de S _p+q verifiant:

σ(1) < ... < σ(p) et σ(p + 1) < ... < σ(p + q)

Notons α une permutation de S _p+q laissant invariant les p-derniers ´ el´ ements.

Notons β une permutation de S _p+q laissant invariant les q-premiers ´ el´ ements.

Th´ eor` eme

Toute permutation s de S _p+q peut s’ecrire: s = σ ◦ α ◦ β avec les notations pr´ ec´ edentes.

On a maintenant tous les outils n´ ecessaires ` a la d´ efinition du produit ex- terieur:

Th´ eor` eme et d´ efinition

Soit ϕ, ψ deux formes antisym´ etriques, la forme bilin´ eaire ci-dessous : ϕ ∧ ψ(x ₁ , ...x _p+q ) = P

σ∈S

ε(σ)ϕ(x _σ(1) , ..., x _σ(p) )ψ(x _σ(p+1) , ..., x _σ(p+q) ) est antisym´ etrique.

On l’appelle produit ext´ erieur des formes ϕ et ψ; on a:

ϕ ∧ ψ = ^(p+q)! _p!q! ϕ ⊗ ψ

La demonstration donn´ ee ci-dessous sera comment´ ee en exercice (TD) :

D´ emonstration

on a:

(p+q)! ϕ ⊗ ψ(x ₁ , ..., x _p+q ) = P

s∈S

ε(s)ϕ(x _s(1) , ..., x _s(p) )ψ(x _s(p+1) , ..., x _s(p+q) )

que l’on peut r´ eecrire en explicitant la transformation s : P

σ,α,β ε(σαβ))ϕ(x σαβ(1) , ..., x σαβ(p) )ψ(x σαβ(p+1) , ..., x σαβ(p+q) ) = P

σ ε(σ) P

α ε(α) P

β ε(β)ϕ(x _σαβ(1) , ..., x _σαβ(p) )ψ(x _σαβ(p+1) , ..., x _σαβ(p+q) ) = P

σ ε(σ) P

α ε(α)ϕ(x _σαβ(1) , ..., x _σαβ(p) ) P

β ε(β)ψ(x _σαβ(p+1) , ..., x _σαβ(p+q) ) = Mais, β laisse constant les premiers termes et n’agit que sur les q derniers la formule ci dessus devient:

P

σ ε(σ) P

α ε(α)ϕ(x σα(1) , ..., x σα(p) ) q! ψ(x σα(p+1) , ..., x σα(p+q) )

-Attention : il n’y a pas de barre sur ψ qui est d´ ej` a antisym´ etrique. Cette fois ci, c’est α qui laisse constant les derniers termes et ne touche pas aux p premiers , et encore une fois comme ϕ antisym´ etrique la formule d´ evient:

P

σ∈S

ε(σ) p! ϕ(x σ(1) , ..., x p ) q! ψ(x σ(p+1) , ..., x σ(p+q) ) = p! q! P

σ∈S

ε(σ) ϕ(x _σ(1) , ..., x _p ) ψ(x _σ(p+1) , ..., x _σ(p+q) ) Qui est bien la formule voulue.

Proprı´ et´ es du produit ext´ erieur

On a les propr´ıet´ es suivantes:

1. Le produit ext´ erieur est une forme bilin´ eaire.

2. si ϕ ∈Λ ^∗ _p (E), ψ ∈Λ ^∗ _q (E), ϕ ∧ ψ = (−1) ^pq ψ ∧ ϕ 3. Le produit ext´ erieur est associatif.

Indications

Seul le deuxi` eme point est d´ elicat, il faut faire intervenir la permutation τ et determiner sa signature:

(1, 2, ..., p + q) → (p + 1, p + 2, ..., p + q, 1, 2, ..., p).

Cette permutation τ est le produit des permutations ci-dessous:

(1, 2, ..., p + q) → (2, 3, ..., p + q, 1) (2, 3, ..., p + q, 1) → (3, 4, ..., p + q, 1, 2) ...

(p, p + 1, ..., p + q, 1, 2, ..., p − 1) → (p + 1, p + 2, ..., p + q, 1, 2, ..., p).

Chacune de ces permutations est un cycle de longueur p + q; c’est donc le produit de p + q − 1 transpositions: cela donne au total: (p + q − 1)p transpositions et la parit´ e de ce nombre est celle de pq .

D’o` u le (−1) ^pq de la formule, signature de la permutation