CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 3:
Calcul differentiel 1
Jeudi 19 octobre 2006
1 Introduction, cas des fonctions num´eriques d’une variable
1.1 D´efinition
On a ´etudi´e aux chapitres pr´ecedent la notion de continuit´e. une fonction num´erique peut ˆetre partout continue sans pour autant ˆetre diff´erentiable.
On dira qu’une fonction est diff´erentiable ou d´erivable en un point x0 si au voisinage de ce point, elle est ”proche” d’une application lin´eaire soit math´ematiquement:
f(x0+h) = f(x0) +A.h+hε(h) (*) Lx0(h) = A.h(=dfx0(h))
est ici une fonction lin´eaire appell´ee diff´erentielle au point x0 et A = f0(x0) est le nombre d´eriv´e au point x0
1.2 Notations diff´erentielles
Comme introduction au calcul tensoriel, nous allons introduire les notations diff´erentielles: Si on note de mani`ere abusive x l’application identit´e de R dans lui mˆeme, (*) donne:
x(x0+h) =x(x0) +h+h.0 La diff´erentielle de ”x” est:
dxx0(h) = dx(h) =h
On d´ecouvre le rˆole jou´e par la dualit´e E ↔E∗: la base de R est le vecteur
”1” en dualit´e avec dx:
< dx,1>=dx(1) = 1 comme d’autre part, dfx0(h) = f0(x0)dx(h)
On dit que dfx0 est une 1 forme diff´erentielle d´efinie sur l’espace vectoriel R En fait en analyse la diff´erentielle,n’est interessante que ”localement dans un voisinage de x0. aussi on parle de 1-forme diff´erentielle d´efinie sur un ouvert U deR, et on note:
dfx0 ∈Ω1(U)
La notion de forme diff´erentielle est tr`es importante en g´eometrie diff´erentielle et permet de construire l’analyse tensorielle antisymetrique, par ailleurs en topologie alg´ebrique les formes diff´erentielles permettent de batir les espaces de cohomologie (de De Rham). Ces espaces permettent de comprendre mieux la topologie des vari´et´es diff´erentielles et sont ´d´efinis dans le cadre de la topologie alg´ebrique.
Remarque
Dans l’´ecriture, dfx0(h) =f0(x0)dx(h) =f0(x0).h
La diff´erentielle peut ˆetre vue comme un produit scalaire du vecteur gra- dient, ici le nombre d´eriv´e f0(x0) par l’accroissement h:
dfx0(h) = ∇x0(f).h
cette op´eration n’est autre que l’identification en alg`ebre lin´eaire entre la forme bilin´eaire crochet de dualit´e et le produit scalaire.
2 Fonctions num´eriques `a plusieurs variables
On dit que f: Rn → R est diff´erentiable au point x0 = (x01, ...x0n) si:
f(x0+h) = f(x0) +Lx0(h) +hε(h) (*) Ici, h est le vecteur (h1, ...hn);
Lx0(h) = a1.h1+...an.hn(=dfx0(h))
est ici une application lin´eaire de Rn → R appell´ee diff´erentielle au point x0 et l’existence des ai assure celle des d´eriv´ees partielles. De mˆeme, en appelant par abus de langage xi l’application projection sur lai−eme` coor- donn´ee on remarque que:
dxi(h1, ..., hn) = hi
Donc en notant ei le vecteur (0, ...1,0...) o`u le 1 porte sur lai`eme coordonn´ee in retrouve comme en alg`ebre lin´eaire:
< dxi, ej >=δji
Remarque, vecteur gradient
On a la mˆeme remarque qu’au dessus:
Dans l’´ecriture, dfx0(h) = ∂x∂f
1(x0)dx1(h) +...∂x∂f
n(x0)dxn(h)
La diff´erentielle peut ˆetre vue comme un produit scalaire du vecteur gra- dient, ici le vecteur (∂x∂f
1, ..., ∂x∂f
n) not´e: ∇x0(f) par le vecteur accroissement h:
dfx0(h) = ∇x0(f).h
En physique math´ematique, on a l’habitude de jongler avec toutes ces diff´erentes notations. Il faut donc y ˆetre initi´e.
Enfin ´etudions le cas plus g´en´eral des applications diff´erentiables deRn dans Rp:
3 Applications diff´erentiable de Rn dans Rp
Une application de Rn dans Rp s’ecrit:
f(x) = (f1(x), f2(x), ...fp(x))
On dira donc qu’une telle application est diff´erentiable si chaque applica- tions partielle l’est:
∀i= 1...p, fi(x0+h) = fi(x0) +Lix0(h) +hε(h) (*) Chaque Lix
0(h) est la forme lin´eaire:
Lix
0(h) = dfix0(h) = ∂x∂fi
1(x0)dx1(h) +...∂x∂fi
n(x0)dxn(h)
et forme une ligne de la matrice Jacobienne de l’application lin´eaire que repr´esente la diff´erentielle:
J(f)x0 =
∂f1
∂x1(x0) ∂f∂x1
2(x0) ... ∂x∂f1
n(x0)
∂f2
∂x1(x0) ∂f∂x2
2(x0) ... ∂x∂f2
n(x0)
: : :
: : :
∂fp
∂x1(x0) ∂f∂xp
2(x0) ... ∂x∂fp
n(x0)
et
dfx0(h) =
∂f1
∂x1(x0) ∂f∂x1
2(x0) ... ∂x∂f1
n(x0)
∂f2
∂x1(x0) ∂f∂x2
2(x0) ... ∂x∂f2
n(x0)
: : :
: : :
∂fp
∂x1(x0) ∂f∂xp
2(x0) ... ∂x∂fp
n(x0)
h1
h2 : : hn
D´efinition
On dit que la fonction f est de classe C1 surU si et seulement si les d´eriv´ees partielles existent et sont continues sur U.
On peut montrer que pour que f soit diff´erentiable sur U , il suffit que les d´eriv´ees partielles existent et soient continues. d’autre part, on peut com- poser les fonctions diff´erentiables on a la proposition:
Proposition
Soit f une fonction deU ⊂Rp `a valeurs dansRq diff´erentiable enx0 etg une fonction d’un voisinage V ⊂Rq def(x0) `a valeurs dans Rn, diff´erentiable en f(x0). On a:
J(g ◦f)x0 =J(g)f(x0)J(f)x0
En particulier si f bijective, dff−1(x
0) =dfx−1
0 soit matriciellement:
J(f−1)f(x0)=J(f)−1x0
D´eriv´ees d’ordre sup´erieur: Th´eor`eme de Schwarz
Si les d´eriv´ees partielles:
∂2f
∂xi∂xj,∂x∂2f
j∂xi
existent et sont continues sur U, elles sont ´egales sur U:
∂2f
∂xi∂xj = ∂x∂2f
j∂xi
la fonction f est alors dite de classe C2. On d´efinie de mˆeme l ’espace Ck.
