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CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle TD 9: D´erivation d’un champ de tenseurs

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(1)

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle TD 9:

D´erivation d’un champ de tenseurs

Jeudi 30 novembre 2006

Exercice 1

On consid` ere dans cet exercice un syst` eme de coordonn´ ees curvilignes.

1) Determiner la diff´ erentielle des tenseurs suivants:

V = V

i

e

i

, G = g

i,j

e

i

⊗ e

j

Exercice 2

Montrer que pour les vecteurs duaux les relations de changement de bases par transport du point M en M

0

deviennent:

de

i

= - Γ

ij,k

e

j

(M)du

k

Exercice 3

1) Calculer l’accroissement au premier ordre des composantes g

i,j

du tenseur m´ etrique.

2) En d´ eduire les identit´ ees de Ricci:

∂g∂ui,j

k

= g

i,l

Γ

lj,k

+ g

l,j

Γ

li,k

1

(2)

Exercice 4

1) Determiner la diff´ erentielle du tenseur m´ etrique.

2) A l’aide de l’exercice pr´ ec´ edent, d´ emontrer que cette diff´ erentielle est nulle.

Exercice 5

On note g

i,j

la matrice inverse de la matrice des g

i,j

Montrer que les symboles de Christoffel peuvent ˆ etre obtenues ` a partir du tenseur m´ etrique par la formule:

Γ

ij,k

=

12

g

i,h

(

∂g∂uk,h

j

+

∂g∂uj,h

k

-

∂g∂uj,k

h

)

2

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