CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 10:
Introduction aux vari´et´es diff´erentiables 1
Jundi 7 d´ ecembre 2006
1 Introduction
D` es l’introduction des coordonn´ ees curvilignes on comprend bien que l’espace euclidien n’est pas mod` ele unique pour repr´ esenter des configurations. Par exemple en resolvant des syst` emes d’´ equations diff´ erentielles particuli` ere pe- riodiques, l’espace des solutions appartient intrins` equement ` a un tore et non
`
a R n . En physique on sait depuis Einstein que la mati` ere courbe locale- ment l’espace et qu’il est par consequent impossible de d´ eplacer un rep` ere de mani` ere rectiligne. Pour toute ces raisons les math´ ematiciens ont ´ et´ e ammen´ e ` a d´ efinir la g´ eom´ etrie diff´ erentielle intrins` eque.
2 Vari´ et´ es diff´ erentiables
Voyons tout d’abord la d´ efinition d’une vari´ et´ e topologique.
2.1 Vari´ et´ es topologiques
Une vari´ et´ e topologique M est un espace topologique s´ epar´ e telle que pour tout point p ∈ M Il existe un ouvert U contenant p et un hom´ eomorphisme ϕ:
ϕ: U →W⊆ R n
Alors n represente la dimension de la vari´ et´ e. Le couple (U, ϕ) est une carte locale, l’hom´ eomorphisme ϕ represente la ”lecture” dans une carte.
D´ efinition
Un ensemble de cartes locales (U i , ϕ i ) qui recouvre la vari´ et´ e s’appelle un atlas.
2.2 Vari´ et´ es diff´ erentiables
Il est naturel ensuite de disposer d’une notion de diff´ erentiabilit´ e. Cepen- dant cette d´ efinition utilise explicitement la structure d’espace vectoriel ainsi l’expression: f(x+h)−f h (x) n’a aucun sens si l’espace topologique n’est pas un espace vectoriel la g´ en´ eralisation de la notion de diff´ erentiabilit´ e vas donc se faire au travers des cartes.
D´ efinition
On dit que M est une vari´ et´ e diff´ erentiable de classe C r si:
-M est une vari´ et´ e topologique
-Les changements de cartes sont de classes C r : Il existe un atlas reunion des (U i , ϕ i ) tel que:
∀(i, j) avec U i ∩ U j 6= ∅ ϕ j ◦ ϕ −1 i :ϕ i (U i ∩ U j ) → ϕ j (U i ∩ U j ) de classe C r
2.3 Fonction diff´ erentiable
On dira qu’une fonction f de la vari´ et´ e M dans R est diff´ erentiable de classe C r quand pour toute carte locale (U, ϕ) de classe l’application:
f ◦ ϕ −1 : ϕ(U ) −→ R
2.4 Coordonn´ ees locales
Soit (U, ϕ) une carte locale de la vari´ et´ e diff´ erentiable M pour tout point p de l’ouvert U , ϕ(p) peut s’´ ecrire:
ϕ(p) = (x 1 (p), ..., x n (p)).
On dira que (x 1 (p), ..., x n (p)) sont les coordonn´ ees de p lues dans la carte (U, ϕ)
3 Espace tangent en un point
Une sph` ere est un cas particulier tr` es simple de vari´ e´ e. On a l’habitude de la voir plong´ ee dans un l’espace R 3 . On visualise donc bien l’espace tangent en un point p de la dite sph` ere: il sagit du plan tangent ` a la sph` ere au point p. Cependant nous aimerions construire cet espace grˆ ace ` a une d´ emarche untrins` eque sans faire r´ ef´ erence ` a un quelconque espace ext` erieur;
deux constructions existent et elles sont bien sˆ ur ´ equivalentes. Suivant les probl` emes on a recours a l’une ou l’autre de ces approches qui sont vraiment compl´ ementaires.
3.1 Premi` ere approche: tangentes ` a une courbe.
Soit p un point de la vari´ et´ e M. On note C, l’ensemble des courbes γ : [−1, 1] → M telles que γ(0) = p . Alors il existe un ε assez petit pour que l’image de l’intervalle [−ε, ε] soit inclus dans un ouvert de carte U. No- tons (U, ϕ), la carte en question et x i les applications coordonn´ ees sur cette carte. Alors la relation binaire ci dessous est une relation d´ equivalence:
γ ∼ γ 0 ⇔ ( dx
i(γ(t)) dt ) t=0 = ( dx
i(γ dt
0(t)) ) t=0
Cette relation signifie que nous consid` erons comme ´ equivalentes deux courbes
qui ont mˆ eme vecteurs tangents en 0 dans R n . Par D´ efinition l’espace tan-
gent est l’ensemble des classes d’´ equivalences de C pour cette relation est par
d´ efinition l’espace tangent au point p
3.2 Seconde approche: d´ erivations
On consid` ere l’espace vectoriel des fonctions C ∞ sur M not´ e:
F (M ) = {f : M → R / f de classe C ∞ }
Sur F (M ) on consid` ere la relation (d’´ equivalence):
f ∼ g ⇔ ∃U (ouvert) ⊂ M, p ∈ U / f |U = g |U
On note f e une classe d’´ equivalence, l’ensemble des classes d’´ equivalences pour cette relation est not´ e C p ∞ (M ). On appelle d´ erivation une application de C p ∞ (M ) dans R qui satisfait la r` egle de Leibniz.On appelle alors espace tangent l’ensemble de telles d´ erivations.
Remarque
Les deux d´ efinitions sont ´ equivalentes on remarquera simplement que l’on d¨ efinit une d´ erivation associ´ e au chemin γ par :
f e → ( df(γ(t)) dt ) t=0
3.3 Espace tangent en p en coordonn´ ees locales
On note toujours (x 1 , ..., x n ) les coordonn´ ees au voisinage de p, une base de T p (M) est donn´ ee par les n-d´ erivations: ∂x ∂
i(p) dont les courbes associ´ ees sont les γ i d´ efinies par:
x i (γ j (t)) = 0 pour i 6= j et x i (γ i (t)) = t
Par suite,on notera X i (p) les coordonn´ ees d’un vecteur tangent dans la base des ∂x ∂
i(p). Ainsi un vecteur tangent s’´ ecrit en coordonn´ ees locales:
X(p) = X i (p). ∂x ∂
i(p)
4 Fibr´ e tangent et champ de vecteurs
En chaque point p de la vari´ et´ e nous avons d´ efinit l’espace tangent. On peut alors consid´ erer l’application qui au point p de M associe un vecteur dans T p M cette application s’appelle un champ de vecteurs.
4.1 Fibr´ e tangent
On va consid´ erer la reunion de tous les espaces tangents quand p parcours la vari´ et´ e M :
T M = S
p∈M T p M
Cet espace s’appelle le fibr´ e tangent.
Notations
L’application π : T M → M d´ efinie par π(p, X) = p est surjective et c’est la projection de T M sur M .
Une section est une application X de M dans T M telle que π◦X est l’identit´ e.
C’est ici un champ de vecteurs.
4.2 D´ erivations et champs de vecteurs
On appelle d´ erivation sur l’alg` ebre F(M ) toute application D de F(M ) dans lui mˆ eme qui v´ erifie ma relation de Leibniz: D(f g) = D(f)g + f D(g). Par exemple Un champ de vecteur d´ efinit une derivation par la relation:
(X.f )(p) = X(p).f qui s’ecrit localement:
(X.f )(p) = X i (p). ∂x ∂f
i(p)
C’est la d´ eriv´ ee dans la direction de X
4.3 Crochet de Lie
Puisque X.f appartient ` a l’alg` ebre F (M ), on peut lui appliquer un autre champ de vecteur Y , on obtient une application lin´ eaire Y X : F (M) → F (M ) Il est facile de voir que ce n’est pas une d´ erivation. Par contre l’application:
[X, Y ] = XY − Y X
est appell´ e crochet de Lie des champs de vecteurs et c’est une d´ erivation (grˆ ace au lemme de Schwarz)
L’expression locale du crochet de Lie est:
[X, Y ] = (X i ∂Y ∂x
ij− Y i ∂X ∂x
ij) ∂x ∂
jExercice
Demontrer l’identit´ e de Jacobi:
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X ]] + [Z, [X, Y ]] = 0
4.4 Flot d’un champ de vecteurs
A partir d’un champ de vecteur donn´ e on peut (en physique par exemple ˆ
etre interess´ e par les lignes de champs (ensemble des points de contacts avec le champ). Un exemple concret est la limaille de fer dessinant les lignes du champ magn´ etique cr´ ee par un aimant. Cela se traduit en math´ ematiques par la resolution de l’´ equation diff´ erentielle:
dγ(t)
dt = X |γ(t) dont l’inconnue est la courbe γ : R → M
D´ efinition
Le flot de X et l’unique solution t → ϕ X (t, p) de condition initiale:
ϕ (0, p) = p.
Remarque
On a la relation suivante traduisant le fait que le que le flot engendre un groupe ` a 1 param` etre de diff´ eomorphisme:
ϕ X (t, ϕ X (s, p)) = ϕ X (t + s, p)
Exercice
Demontrer que: ϕ λX (t/λ, p) = ϕ X (t, p)
5 Espace cotangent
Maintenanr que l’on a fabriquer un espace vectoriel ` a partir de T p M , On peut fabriquer l’espace dual (Les formes lin´ eaires sur T p M et bien sˆ ur not´ e : T p ∗ M . Si X(p) est un vecteur appartenant ` a l”espace tangent T p M , on note α(p) l’´ el´ ement dual qui lui correspond dans T p ∗ M . On a alors :α(p)(X(p)) =
< α(p), X(p) > ∈ R Voyons alors l’exemple classique d’´ elements du dual : les formes exactes: diff´ erentielle d’une fonction.
5.1 Diff´ erentielle d’une fonction
Soit f une fonction d´ efinie sur une vari´ et´ e M . Alors l’application qui a X(p) associe X(p).f est lin´ eaire de T p M dans R . C’est donc un ´ el´ ement de T p ∗ M . On note cet ´ el´ ement df(p) et on a:
df (p)(X(p)) = < df (p), X (p) > = X(p).f
On dit que df(p) est la diff´ erentielle de la fonction f au point p
5.2 Espace cotangent en coordonn´ ees locales
On a vu que localement au dessus d’un ouvert U une carte locale de M est donn´ ee par les x i i = 1, ...n et une base de l’espace tangent est fournie par les ∂x ∂
i
(p) On note alors dx i (p) les ´ el´ ements de la base de l’espace cotangent.
On a aussi:
j ∂ ∂x
ji
Alors dans cette base:
df (p) = ∂x ∂f
i
