CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle TD 12:
Initiation ` a la g´eom´etrie riemannienne 1
Jeudi 21 d´ ecembre 2006
Exercice 1
On consid´ere le tore T2 plong´e dansR3 1) Determiner une param´etrisation.
2) Donner alors une base de l’espace tangent a cette vari´et´e.
3) Deduire l’expression de la m´etrique (de plongement).
4) Donner les symboles de Christoffel de cette m´etrique.
Exercice 2
1) Construire le tore ”plat” T2 comme une vari´et´e abstraite espace quotient du plan R2 par le reseauZ2.
2) D´eduire une nouvelle m´etrique sur le tore.
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Exercice 3
Pour faire du calcul de variation, on a besoin de consid`erer l’extension ”en vitesse” d’une vari´et´e M. On d´efinit alors une fonctionnelle d’action (La- grangien) d´efini surT M par:
(x(t),x(t))˙ →L(x(t),x(t))˙
On d´efinit alors l’int´egrale d’action:
Rb
aL(x(t),x(t))dt˙
o`u a, bsont deux points fix´es de M
1) Etablir que l’´equations des extremales de l’action (Equations d’Euler- Lagrange) sont donn´ees par:
d
dt(∂∂Lx˙i)−∂x∂Li
2) On consid`ere le lagrangienL= m2( ˙xi)2−U(x). Calculer les extr´emales de l’action et retrouver les ´equations fondamentales de la dynamique du point.
3) On consid`ere le lagrangienL= 12gijx˙ix˙j, retrouver l’´equation des g´eod´esiques.
4) D´eterminer les g´eod´esiques de la sph`ere S2.
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