CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 7: Int´egration des formes diff´erentielles

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 7:

Int´egration des formes diff´erentielles

Jeudi 16 novembre 2006

1 Image r´ eciproque d’une forme diff´ erentielle

Comme pour les formes de d´egr´es 1, un usage pratique des formes diff´erentielle se trouve ˆetre l’int´egration sur des surfaces o`u plus g´en´eralement des sous vari´et´es de Rⁿ. Cela va n´ecessiter un param´etrage de ces objets. On a donc besoin d’etendre la d´efinition d’image r´eciproque aux formes diff´erentielles de degr´es quelconques.

D´ efinition

Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies, U un ouvert de E et ϕ : U → F une application diff´erentiable. Soit encore α une forme diff´erentielle de d´egr´er sur l’imageϕ(U). On appelle image r´eciproque de α par ϕ la forme diff´erentielle ϕ^∗α d´efinie par:

∀X₁, X₂, ...X_r∈E, ϕ^∗α(x)(X₁, ..., X_r) =α(ϕ(x))(ϕ⁰(x).X₁, ..., ϕ⁰(x).X_r) Cette d´efinition g´en´eralise l’image r´eciproque vue pour une forme diff´erntielle de degr´e 1.

Propri´ et´ es

-L’application qui `a α associe ϕ^∗α est lin´eaire.

-Si α etβ sont des formes de degr´es quelconques, ϕ^∗(α∧β) = ϕ^∗α∧ϕ^∗β -Si f est une fonction, ϕ^∗(f) = f◦ϕ

-Si f est une fonction, ϕ^∗(f α) = (f◦ϕ) ϕ^∗α -Si α =df, ϕ^∗(df) = d(f ◦ϕ)

Commentaires

La premi`ere propri´et´e est ´evidente; pour la deuxi`eme, on peut d´ej`a voir que c’est correcte quand on compose des 1-formes :

ϕ^∗α∧ϕ^∗β(X, Y) = ϕ^∗α⊗ϕ^∗β(X, Y) -ϕ^∗β⊗ϕ^∗α(X, Y)

= ϕ^∗α(X)ϕ^∗β(Y) -ϕ^∗β(X)ϕ^∗α(Y)

= α(ϕ(x))(ϕ⁰(x).X)β(ϕ(x))(ϕ⁰(x).Y) -β(ϕ(x))(ϕ⁰(x).X)α(ϕ(x))(ϕ⁰(x).Y)

=α(ϕ(x))⊗β(ϕ(x))(ϕ⁰(x).X, ϕ⁰(x).Y)−β(ϕ(x))⊗α(ϕ(x))(ϕ⁰(x).X, ϕ⁰(x).Y)

=(α⊗β)(ϕ(x))(ϕ⁰(x).X, ϕ⁰(x).Y)−(β⊗α)(ϕ(x))(ϕ⁰(x).X, ϕ⁰(x).Y)

= ϕ^∗(α∧β)(X, Y)

On ´etend ce calcul aux formes de degr´es superieures. Les deux propri´et´es suivantes sont assez evidentes, voyons la derni`ere:

df(ϕ(x)).(ϕ⁰(x).X) = d(f◦ϕ)_x.X

On reconnait la compos´ee des diff´erentielles.

1.1 Exemple d´ etaill´ e de calcul d’image r´ eciproque

Nous nous proposons de calculer le pull-back de dx∧dy dans le passage en coordonn´ees polaires:

(r, θ)7→ϕ(r, θ) = (x, y) = (rcosθ, rsinθ)

Pour se faire on calcule d’abord ϕ^∗dx puis ϕ^∗dy:

On applique la d´efinition d’image r´eciproque: (h^r₁, h^θ₂) est le vecteur accroisse- ment dans l’espace des paramˆetres et (h^x₁, h^y₂), le vecteur accroissement dans l’espace (x,y) avec la relation:

h^x₁ h^y₂

=

cosθ −rsinθ sinθ rcosθ

h^r₁ h^θ₂

ϕ^∗dx_(r,θ)(h^r₁, h^θ₂) =dx_(ϕ(r,θ))(h^x₁, h^y₂) Donc:

ϕ^∗dx_(r,θ)(h^r₁, h^θ₂) = dx_(ϕ(r,θ))(cosθh^r₁−rsinθh^θ₂, sinθh^r₁+rcosθh^θ₂) Et comme:

dx_(ϕ(r,θ))(cosθh^r₁−rsinθh^θ₂, sinθh^r₁+rcosθh^θ₂) = cosθh^r₁−rsinθh^θ₂ dr(h^r₁, h^θ₂) = h^r₁

dθ(h^r₁, h^θ₂) = h^θ₂ finalement:

ϕ^∗dx_(r,θ)(h^r₁, h^θ₂) = cosθdr(h^r₁, h^θ₂)−rsinθdθ(h^r₁, h^θ₂) Soit:

ϕ^∗dx_(r,θ)(h^r₁, h^θ₂) = (cosθdr−rsinθdθ)(h^r₁, h^θ₂)

On calcul de mˆeme l’image r´eciproque dedy.

Enfin, ϕ^∗dx∧ϕ^∗dy =rdr∧dθ

2 Integration d’une p-forme diff´ erentielle

On veut g´en´eraliser ici l’integrale d’une 1-forme sur un chemin: On etend ainsi la param´etrisation d’une courbe a celle d’une surface, d’une hypersur- face....

2.1 Nappe param´ etr´ ee

Une nappe paramˆetr´ee ou param´etrisation de dimension p et de classe C¹ est une application ϕ d’un ouvert D de R^p dans E = Rⁿ. Deux nappes paramˆetr´ees sontC¹-´equivalentes quand le changement de domaine de d´epart induit un diff´eomorphisme de classe C¹. Si de plus si le jacobien de ϕ est positif les deux nappes ont la mˆeme orientation.

2.2 Integration d’une p-forme sur une nappe

Pour integrer il suffit de se rammener sur un domaine D compact deR^p par

”pull-back” (image reciproque) Alors, l’integrale de la p-forme sur une nappe ϕ est: R

Dϕ^∗α

2.3 Exemple: int´ egrales de surface

On consid`ere le cas des nappes g´eom´etriques de R³ donc des applications:

ϕ :D→R³: (u, v)7→(X(u, v), Y(u, v), Z(u, v))

Pour calculer une int´egrale de surface, Il faut evaluer une forme diff´erentielle de degr´e 2 sur cette surface. Il faut donc determiner son image r´eciproque sur le param`etrage choisi Donc soit:

α(x, y, z) = P(x, y, z)dy∧dz+Q(x, y, z)dz∧dx+R(x, y, z)dx∧dy :

Pour calculer le Pull-back commencons par calculer l’image r´eciproque de chacune des composantes de l’application On a:

ϕ^∗dX =d(X◦ϕ) =X_u⁰du+X_v⁰dv ϕ^∗dY =d(Y ◦ϕ) = Y_u⁰du+Y_v⁰dv ϕ^∗dZ =d(Z◦ϕ) =Z_u⁰du+Z_v⁰dv

Donc comme ϕ^∗(α∧β) = ϕ^∗α∧ϕ^∗β On a:

ϕ^∗(dX∧dY) = (X_u⁰Y_v⁰−X_v⁰Y_u⁰) du∧dv ϕ^∗(dY ∧dZ) = (Y_u⁰Z_v⁰ −Y_v⁰Z_u⁰)du∧dv ϕ^∗(dZ∧dX) = (Z_u⁰X_v⁰ −Z_v⁰X_u⁰)du∧dv d’autre part :

ϕ^∗(P) = P ◦ϕ etϕ^∗(P dY ∧dZ) = ϕ^∗(P)ϕ^∗(dY ∧dZ) ϕ^∗(Q) =Q◦ϕ et ϕ^∗(QdZ ∧dX) = ϕ^∗(P)ϕ^∗(dZ ∧dX) ϕ^∗(R) = R◦ϕ et ϕ^∗(P dX ∧dY) = ϕ^∗(R)ϕ^∗(dX∧dY) finalement l’image r´eciproque ϕ^∗α est:

((P◦ϕ)(Y_u⁰Z_v⁰−Y_v⁰Z_u⁰)+(Q◦ϕ)(Z_u⁰X_v⁰−Z_v⁰X_u⁰)+(R◦ϕ)(X_u⁰Y_v⁰−X_v⁰Y_u⁰))du∧dv Une notation consacr´ee permet de poser:

Y_u⁰Z_v⁰ −Y_v⁰Z_u⁰ = ^D(Y,Z)_D(u,v) Z_u⁰X_v⁰ −Z_v⁰X_u⁰ = ^D(Z,X)_D(u,v) X_u⁰Y_v⁰−X_v⁰Y_u⁰ = ^D(X,Y_D(u,v)⁾

D’o`u la formule de l’int´egrale de surface sur la nappe Σ:

R

Σα=R R

D(P ◦ϕ^D(Y,Z)_D(u,v) +Q◦ϕ^D(Z,X)_D(u,v) +R◦ϕ^D(X,Y_D(u,v)⁾) du∧dv

Exercice

On consid`ere le param´etrage ”classique”:

ϕ :D→R³: (x, y)7→(x, y, f(x, y))

Donner l’expression de l’int´egrale de surface dans ce paramˆetrage.

Interpretation g´ eom´ etrique flux

On reprend la surface paramˆetr´ee:

ϕ :D→R³: (u, v)7→(X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)) Les vecteurs: ϕ⁰_u = (X_u⁰, Y_u⁰, Z_u⁰) et ϕ⁰_v = (X_v⁰, Y_v⁰, Z_v⁰)

sont les vecteurs tangents au courbes de niveaux respectives ”v =cst” et

”u = cst”. Donc le produit vectoriel de ces vecteurs repr´esente le vecteur normal −→

N a la surface ces composantes sont:

Y_u⁰Z_v⁰ −Y_v⁰Z_u⁰ = ^D(Y,Z)_D(u,v) Z_u⁰X_v⁰ −Z_v⁰X_u⁰ = ^D(Z,X)_D(u,v) X_u⁰Y_v⁰−X_v⁰Y_u⁰ = ^D(X,Y_D(u,v)⁾ Ainsi posant −→

V = (P, Q, R) l’int´egrale s’´ecrit:

R

Σ

−

→V (ϕ(u, v)).k−→

N(u, v)k−→

h(u, v)du∧dv Dans cette expression −→

h d´esigne le vecteur unitaire normal `a la surface au point consid`er´e. La norme du produit vectoriel :−→

N(u, v) = ϕ⁰_u∧ϕ⁰_v est l’aire de l’element de surface. L’interpr´etation physique de l’integrale de surface est le flux d’un champ de vecteur `a travers une surface.

Exemple d’application

Calculons de deux mani`ere diff´erentes le flux du Champ de vecteur−→

V (y, x, y+

z) a travers la surface du triangle d´efini par les ´ın´equations :(2x+y+z = 0, x≥0, y ≥0, z ≥0)

M´ethode 1 par l’image r´eciproque d’une forme diff´erentielle On reprend le param´etrage ”classique”:

ϕ :D→R³: (x, y)7→(x, y, f(x, y))

Il suffit de d´eterminer le pull- back de la 2-forme:

α(x, y, z) = P(x, y, z)dy∧dz+Q(x, y, z)dz∧dx+R(x, y, z)dx∧dy : O`u ici les coordonn´ees du vecteur−→

V sont en correspondances bijectives avec celles de la forme α, donc

P(x, y, z) =y Q(x, y, z) =x R(x, y, z) = y+z

Le pull-back des trois fonctions est donn´e par:

ϕ^∗(P)(x, y, z) =P ◦ϕ(x, y) =y ϕ^∗(Q)(x, y, z) = Q◦ϕ(x, y) =x

ϕ^∗(R)(x, y, z) =P ◦ϕ(x, y) = y+ (2−2x−y) Le pull-back des trois formes est donn´e par:

ϕ^∗(dx∧dy) = (x⁰_xy⁰_y−x⁰_yy_x⁰) dx∧dy =dx∧dy

ϕ^∗(dy∧dz) = (y_x⁰z_y⁰ −y_y⁰z_x⁰) dx∧dy = −f_x⁰(x, y)dx∧dy

ϕ^∗(dz∧dx) = (z_x⁰x⁰_y −z⁰_yx⁰_x) dx∧dy =−f_y⁰(x, y)dx∧dy On trouve alors:

ϕ^∗α(x, y, z) = 2ydx∧dy+xdx∧dy+ (2−2x)dx∧dy

On se ramm`ene a l’int´egrale double sur le domaine D projection du triangle su l’espace des paramˆetres (x, y):

R R

D(2y+x+ (2−2x))dxdy

M´ethode 2 par calcul du flux

On calcul le vecteur normale donn´e par :

−

→N = ^∂

−→ M

∂x ∧ ^∂_∂y^−M→ Donc −→

N = (1,0,−2)∧(0,1,−1) = (2,1,1) On calcul alors:

R R

D

−

→N(x, y).−→

V (ϕ(x, y))dxdy c’est l’int´egrale pr´ec´edente.

On calcul alors l’int´egrale:

R1 0

R2−2x

0 (2y−x+ 2)dxdy= 3