CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 9: D´erivation d’un champ de tenseurs

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 9:

D´erivation d’un champ de tenseurs

Jeudi 30 novembre 2006

1 Introduction

On a pr´ ecedement d´ efinit le calcul ext´ erieur dans un espace vectoriel puis les formes diff´ erentielles sur un ouvert U de R ⁿ Pour ce faire on utilise une appli- cation ”lisse” qui envoie un point x de l’ouvert vers une forme multilin´ eaire altern´ ee (antisym´ etriques). On dit aussi que l’on a d´ efinit un champ formes multilin´ eaires altern´ ees. On peut faire la mˆ eme chose avec des tenseurs quel- conques. On d´ efinit alors des champs de vecteurs, des champs de formes lin´ eaire et plus g´ en´ eralement des champs de tenseurs. On peut alors faire de l’analyse et par exemple d´ eriver un champ. On vera cependant que si U est un ouvert de R ⁿ on peut toujours trouver un syst` eme de coordonn´ ees rectiligne mais que cela n’est plus vrai si U est un ouvert de la sph` ere. On va devoir dune nouvelle sorte de d´ erivation la d´ erivation covariante.

2 D´ erivation d’un champ de tenseur

Nous allons traiter d’abord le cas des coordonn´ ees rectilignes. Sur un ouvert

U de R ⁿ un tel syst` eme de coordonn´ ees existe toujours.

2.1 D´ erivation en coordonn´ ees rectilignes

Si on travail dans l’espace vectoriel euclidien R ⁿ , on peut toujours trouver un syst` eme de coordonn´ ees rectilignes. Un syst` eme de coordonn´ ees est dit rec- tiligne dans un certain espace si partant d’une origine donn´ ee de cet espace, on peut construire des axes de coordonn´ ees independants inclus dans cet es- pace permettant de rep` erer les points. Consid´ erons par exemple le champ de tenseurs suivant d´ efini au point M :

T (M ) = t ^ij _k (M) _i ⊗ _j ⊗ ^k

Notons _i un vecteur g´ en´ erique de la base d’un rep` ere rectiligne de r´ ef´ erence.

La diff´ erentielle de ce champ de tenseur est donn´ e par:

T (M ⁰ ) − T (M ) = (t ^ij _k (M’)−t ^ij _k (M)) _i ⊗ _j ⊗ ^k M ⁰ est le point d´ efini par:

d −−→

OM = −−−→

M M ⁰ = dx ⁱ _i

Les composantes de t ^ij _k en M’ vallent:

t ^ij _k (M’)=t ^ij _k (x ^I + dx ^I ) = t ^ij _k (x ^I ) + _∂x ^∂

I

t ^ij _k dx ^I + dx ^I ε(dx ^I ) On en d´ eduit au premier ordre:

dT = _∂x ^∂

I

t ^ij _k dx ^I _i ⊗ _j ⊗ ^k

Cette quantit´ ee d´ esigne la diff´ erentielle du champ de tenseur dans le syst` eme de coordonn´ ees rectilignes.

2.2 Syst` eme de coordonn´ ees curvilignes

Sur la surface de la sph` ere on ne peut pas d´ efinir d’axes de coordonn´ ees rec-

tilignes. Donc si on suppose donn´ e un espace ”non euclidien” on peut au

moins par la pens´ ee d´ efinir s’il est de dimension n, n lignes de coordonn´ ees

ind´ ependantes not´ ee chacune u ⁱ . On note alors e _i (M ) le vecteur tangent ` a

la i-` eme ligne de coordonn´ ee. Etant donn´ e une ”origine” de notre ”univers”

On envisagera aussi un rep` ere fixe rectiligne: (O, <sub>i</sub> ) Il faut bien prendre garde que ce rep` ere va engendrer des lignes de coordonn´ ees rectilignes qui

”sortirons” de notre espace ”courbe” . Cependant ce rep` ere nous servira de r´ ef´ erence pour les calculs.

On peut g´ en´ eraliser les d´ eriv´ ees partielles; supposons que nous transitons le long de la premi` ere ligne de coordonn´ ee, nous op´ erons un deplacement

´

el´ ementaire;

−−→ dM ₁ = e ₁ du ¹

Par analogie avec les d´ eriv´ ees partielles, on note souvent:

e ₁ = ^∂M _∂u

soit:

−−→ dM 1 = ^∂M _∂u

du ¹

On d´ efinit de mˆ eme les d´ eplacement ´ el´ ementaires et les d´ eriv´ ees partielles suivant les autres lignes de coordonn´ ees.

2.3 Passages de coordonn´ ees rectilignes curvilignes

Tout d´ eplacement ` a partir de M peut s’´ ecrire dans le rep` ere curviligne:

−→ dM = e _i du ⁱ

Puis dans le rep` ere rectiligne:

−→ dM = _i dx ⁱ

Le vecteur est un objet ”intrins` eque (ind´ ependant d’un syst` eme de coor- donn´ ees) donc:

e _i du ⁱ = _i dx ⁱ On a donc:

du ⁱ = ^∂u _∂x

dx ^j puis:

dx ⁱ = ^∂x _∂u

du ^j

Posons maintenant:

∂u

∂x

= b ⁱ _j (M) puis:

∂x

∂u

= a ⁱ _j (M ) Alors:

du ⁱ = ^∂u _∂x

dx ^j = ^∂u _∂x

∂x

∂u

du ^k dx ⁱ = ^∂x _∂u

du ^j = _∂u ^∂x

∂u

∂x

dx ^k

Matriciellement il vient donc les relations:

du ⁱ = b ⁱ _j (M )a ^j _k (M )du ^k dx ⁱ = a ⁱ _j (M )b ^j _k (M )dx ^k

En introduisant le symbole de Kronecker, il vient donc:

du ⁱ = δ ⁱ _k du ^k dx ⁱ = δ ⁱ _k dx ^k

Alors les deux matrices sont inverses l’une de l’autre:

b ⁱ _j (M )a ^j _k (M) = a ⁱ _j (M )b ^j _k (M ) = δ ⁱ _k D’autre part:

dM = e _i (M )du ⁱ = _i dx ⁱ dx ⁱ = a ⁱ _j (M )du ^j

Donc: e i (M ) = a ^j _i (M ) j

et : _i = b ^j _i (M )e _j (M )

3 D´ erivation en coordonn´ es curvilignes

Soit un syst` eme de coordonn´ ees curvilignes u <sup>i</sup> , les bases associ´ ees en M et M <sup>0</sup> sont respectivement les e <sub>i</sub> (M) et les e <sub>i</sub> (M <sup>0</sup> ) Donc si on consid‘re par exemple le tenseur d´ efini au d´ ebut de cet expos´ e au point M on ` a:

T (M ) = t ^ij _k (M) (e _i ⊗ e _j ⊗ e ^k ) _M Et au point M ⁰ :

T (M ⁰ ) = t ^ij k (M ⁰ ) (e i ⊗ e j ⊗ e ^k ) M

Les composantes de T subissent des variations au pr´ emier ordre donn´ ees par:

t ^ij _k (M ⁰ )=t ^ij _k (M)+dt ^ij _k + dt ^ij _k ε(dt ^ij _k ) avec:

dt ^ij k = _∂u ^∂

t ^ij k (M )du ^I

On peut donc exprimer la difference:

T (M ⁰ ) - T (M ) =

t ^ij k (M ) (e i ⊗ e j ⊗ e ^k ) M

+ _∂u ^∂

t ^ij k (M )du ^I (e i ⊗e j ⊗e ^k ) M

-t ^ij k (M ) (e i ⊗e j ⊗e ^k ) M

Cette expression n’est pas pratique car elle met en jeu deux bases diff´ erentes.

Voyons ce que donne la d´ eriv´ ee des vecteurs de bases

3.1 Diff´ erentielles de la base; symboles de Christoffel

Pour d´ evelopper e _i (M ⁰ ) sur e _i (M ) On passe par l’interm´ ediaire de la base

fixe: Si les d´ eriv´ ees partielles secondes ob´ eissent au th´ eor` eme de schwarz, on

peut ´ ecrire:

e i (M ⁰ ) - e i (M ) = [ ^∂x _∂u

(M ⁰ ) − ^∂x _∂u

(M )] j

d( ^∂x _∂u

(M )) = _∂u ^∂

k

( _∂u ^∂

i

(x ⁱ (M )))du ^k Donc:

e i (M ⁰ ) - e i (M ) = [ ^∂x _∂u

(M ⁰ ) − ^∂x _∂u

(M )] j = [d( ^∂x _∂u

(M )) + du ^k ε(du ^k )] _j = [ _∂u ^∂

k

( _∂u ^∂

i

(x ^j (M )))du ^k + duε(du)] _i Finalement: de _i = _∂u ^∂

k

( _∂u ^∂

i

(x ^j (M )))du ^k _j

Si on exprime tout dans le rep` ere rectiligne alors:

_j = b ^l _j (M )e _l (M) = _∂x ^∂u

e _l (M ) Il vient:

de i = _∂u ^∂

k

( _∂u ^∂

i

(x ^j (M )))du ^{k ∂u} _∂x

e l (M ) soit

de _i = _∂u ^∂

k

( _∂u ^∂

i

(x ^j (M ))) _∂x ^∂u

du ^k e _l (M )

Notation: On d´ efinit le symbole de Christoffel qu’on ecrit en permuttant j et l:

Γ ^j _i,k = _∂u ^∂

k

( _∂u ^∂

i

(x ^l (M))) ^∂u _∂x

(M ) d’o` u:

de _i = Γ ^j _i,k e _j (M )du ^k

D’apr` es le th´ eor` eme de schwarz on a: Γ ^j _i,k = Γ ^j _k,i

On remarque alors que les symboles de Christoffel sont sym´ etriques par rap-

port aux deux indices inf´ erieurs.

3.2 Diff´ erentielles de la base duale; symboles de Christof- fel (duaux)

Pour d´ evelopper e ⁱ (M ⁰ ) sur e ⁽ M ) On passe aussi par l’interm´ ediaire de la base fixe. On obtient alors la diff´ erentielle d’un vecteur de base dual laiss´ e en exercice:

de ⁱ = - Γ ⁱ _j,k e ^j (M)du ^k

A partir de ces r´ esultat on peut donner maintenant l’expression de la d´ eriv´ ee covariante c’est ` a dire la diff´ erentielle d’un tenseur.

3.3 D´ eriv´ ee covariante

On reprend la diff´ erence:

T (M ⁰ ) - T (M ) = t ^ij k (M’) (e i ⊗ e j ⊗ e ^k ) ⁰ _M - t ^ij k (M ) (e i ⊗ e j ⊗ e ^k ) M

A l’ordre 1 on a:

t ^ij _k (M ⁰ ) = t ^ij _k (M)+ _∂u ^∂

t ^ij _k (M )du ^l + _∂u ^∂

t ^ij _k (M )du ^I ε( _∂u ^∂

t ^ij _k (M)du ^l ) D’autre part,

e _i (M ⁰ ) = e _i (M) + Γ ^h _i,l e _h (M )du ^l e _j (M ⁰ ) = e _j (M) + Γ ^h _j,l e _h (M )du ^l e ^k (M ⁰ ) = e ^k (M ) - Γ ^h _k,l e ^h (M )du ^l

D’o` u la valeur de la diff´ erence T (M ⁰ ) - T (M ) uniquement en fonction de M :

T (M ⁰ ) - T (M ) = (t ^ij _k (M) + _∂u ^∂

t ^ij _k (M )du ^I )(e _i (M ) + Γ ^h _i,l e _h (M )du ^l )⊗(e _j (M )

+ Γ ^h _j,l e _h (M )du ^l )⊗(e _k (M ) - Γ ^h _k,l e ^h (M )du ^l )⊗(e _i (M ) ⊗ e _j (M ) ⊗ e ^k (M )) − T (M ) On peut donc retirer M.

T (M ⁰ ) - T (M ) = _∂u ^∂

t ^ij k du ^l (e i ⊗ e j ⊗ e ^k ) + (t ^ij k (Γ ^h _i,l e h ⊗ e j ⊗ e ^k ) + Γ ^h _j,l e _i ⊗ e _h ⊗ e ^k ) - Γ ^k _h,l e _i ⊗ e _j ⊗ e ^k ))du ^l

Pour regrouper les termes dans le crochet, on remplace l’indice muet h par celui qui occupe la mˆ eme place dans (e _i ⊗ e _j ⊗ e ^k ) on obtien en permutant h et j:

T (M ⁰ ) - T (M ) = ( _∂u ^∂

t ^ij _k + t ^hj _k Γ ⁱ _h,l + t ^ih _k Γ ^j _h,l - t ^ij _h Γ ^h _k,l ) (e _i ⊗ e _j ⊗ e ^k ))du ^l Finalement en coordonn´ ees la diff´ erentielle du tenseur donne ce que l’on appelle diff´ erentielle covariante:

∇t ^ij _k = ( _∂u ^∂

t ^ij _k + t ^hj _k Γ ⁱ _h,l + t ^ih _k Γ ^j _h,l - t ^ij _h Γ ^h _k,l )du ^l On pose aussi:

∇ _l t ^ij _k = _∂u ^∂

t ^ij _k + t ^hj _k Γ ⁱ _h,l + t ^ih _k Γ ^j _h,l - t ^ij _h Γ ^h _k,l Cette quantit´ ee est la d´ eriv´ ee covariante.

4 M´ etrique et symboles de Christoffel

Dans ce paragraphe, nous d´ ecouvrons dans un cas particulier quelques car-

act´ eristiques de g´ eom´ etrie riemannienne. Un resultat important est le calcul

de la d’eriv´ ee du tenseur m´ etrique. On verra qu’en g´ eom´ etrie riemanienne

la connection (i.e les symboles de Christoffels) doit ˆ etre compatible avec la

m´ etrique. Cela veut dire que le produit scalaire entre deux vecteurs ”en

deplacement” calcul´ e en des points diff´ erents de l’espace doit ˆ etre inchang´ e.

4.1 D´ eriv´ ee du tenseur m´ etrique, identit´ e de Ricci

En utilisant le paragraphe pr´ ec´ edent, d´ eriv´ ee d’un tenseur, on peut donner la d´ eriv´ ee du tenseur m´ etrique, on obtient:

∇ _k g _ij = _∂u ^∂

g _ij + g _lj Γ ^l _i,k - g _il Γ ^l _j,k

Ecrivons maintenant la d´ eriv´ ee des composantes du tenseur mˆ etrique ` a ne pas confondre avec la d´ eriv´ ee covariante calculer pr´ ec´ edement:

dg _i,j = de _i .e _j + e _i .de _j mais,

de _i = Γ ^l _i,k e _l (M )du ^k comme :

dg _i,j = ∂ _k g _il du ^k , on d´ eduit l’identit´ e de Ricci:

∂ _k g _ij = g _il Γ ^l _j,k + g _lj Γ ^l _i,k

Cette identit´ ee est fondamentale en g´ eom´ etrie riemanienne et montre (en autre) que la diff´ erentielle du tenseur m´ etrique est nulle:

∇ _k g _ij = 0.

4.2 Calcul des symboles de Christoffel ` a partir de la m´ etrique

C’est une autre application de l’identit´ ee de Ricci, elle montre que seule les composantes du tenseur m´ etrique sont indispensable pour trouver les sym- boles de Christoffel en g´ eom´ etrie riemannienne.

On r´ ecrit l’identit´ e de Ricci:

0 = ∂ _i g _jk − g _mk Γ ^m _ij − g _jm Γ ^m _ik

Ensuite on op` ere une permutation circulaire sur les indices i,j,k, il vient:

0 = ∂ j g ik − g mk Γ ^m _ji − g im Γ ^m _jk 0 = ∂ _k g _ij − g _mj Γ ^m _ki − g _mi Γ ^m _kj

En sommant ces trois relation on ` a:

2g mk Γ ^m _ij = ∂ i g jk + ∂ j g ik + ∂ k g ij

En multipliant par la matrice inverse de la m´ etrique: g ^ik g _ij = δ _j ^k , on ob- tient:

Γ ^l _ij = ¹ ₂ g ^kl (∂ _i g _jk + ∂ _j g _ik − ∂ _k g _ij )