CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle TD 7: Int´egration des formes diff´erentielles

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle TD 7:

Int´egration des formes diff´erentielles

Jeudi 16 novembre 2006

Exercice 1

On donne ϕ d´ efinie par;

ϕ : R

→ R

(ρ, θ) 7→ (ρcosθ, ρsinθ)

1)Trouver l’image r´ eciproque des formes diff´ erentielles suivantes:

α =

, β = dα

2)Trouver l’image r´ eciproque de la forme diff´ erentielle: γ = dx ∧ dy.

Exercice 2

On donne ϕ d´ efinie par;

ϕ : R

→ R

(ρ, θ, z) 7→ (ρcosθ, ρsinθ, z))

1

Trouver l’image r´ eciproque de la forme diff´ erentielle: γ = dx ∧ dy ∧ dz.

Exercice 3

On donne ϕ d´ efinie par;

ϕ : R

→ R

(ρ, θ, ϕ) 7→ (ρsinθcosφ, ρsinθsinφ, cosθ)

1)Trouver l’image r´ eciproque de la forme diff´ erentielle: α = xdy − ydx.

2)Trouver l’image r´ eciproque de la forme diff´ erentielle: β = zdx ∧ dy.

3) determiner dβ et en deduire:

ϕ

(dx ∧ dy ∧ dz).

Exercice 4

On consid` ere le param´ etrage ”classique”:

ϕ : D → R

: (x, y) 7→ (x, y, f(x, y))

Donner l’expression de l’int´ egrale de surface dans ce paramˆ etrage.

Exercice 5

Determiner le flux de − →

V (y, x, 2 − 2x − 2y) ` a travers la surface du triangle (2x + y + z = 2, x ≥ 0, y ≥ 0; z ≥ 0)

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