CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle TD 11: Introduction aux vari´et´es diff´erentiables 2

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle TD 11:

Introduction aux vari´et´es diff´erentiables 2

Jeudi 14 d´ ecembre 2006

Exercice 1

Prouver que le crochet de Lie v´ erifie les propri´ et´ es suivantes:

1)Il est antisym´ etrique.

2) Il est lin´ eaire par rapport ` a chaque variable.

3) Il verifie l’identit´ ee de Jacobi:

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X ]] + [Z, [X, Y ]] = 0

Exercice 2

On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle ci-dessous:

dγ(t)

dt = X(γ(t))

dont l’inconnue est la courbe γ : R → M

On rappelle qu’apr` es lecture dans une carte l’´ equation pr´ ecedente peut s’´ ecrire:

dx

(t)

dt = X ^µ (x(t))

1

Le flot t → σ _X (t, x ₀ ) du champ de vecteurs est l’unique solution de cette

´

equation diff´ erentielle qui passe en x 0 ` a t = 0

1) Si en coordonn´ ees locales les coordonn´ ees de σ _X sont not´ ees σ _X ^µ ´ ecrire l’´ equation satisfaite par le flot.

2)Montrer que le flot satisfait la condition: σ _X (t, σ _X (s, x ₀ )) = σ _X (t + s, x ₀ )

Exercice 3

3)On consid` ere dans le plan R ² le champ de vecteur donn´ e par:

X((x, y)) = −y _∂x ^∂ + x _∂y ^∂ Determiner son flot.

4)On consid` ere dans le plan R ² le champ de vecteur donn´ e par:

Y ((x, y)) = y _∂x ^∂ + x _∂y ^∂ Determiner son flot.

Exercice 4

1)Montrer que M n ( R ); ensemble des matrices carr´ ees de tailles n × n peut ˆ

etre muni d’une structure de vari´ et´ e.

2) Montrer que Gl(n, R ) est un ouvert dans l’ensemble pr´ ecedent.

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