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CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle TD 8: Formalisme du calcul tensoriel

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(1)

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle TD 8:

Formalisme du calcul tensoriel

Jeudi 23 novembre 2006

Exercice 1

1)Expliciter completement les tenseurs dont on donne les composantes ci- dessous:

(t

ij

), (s

ij

), (r

klln

)

2) Donner le type de chacun d’eux.

Exercice 2

Soit E, un espace vectoriel de dimension finie n, et son dual E

∗

.On consid` ere le tenseur ci dessous d´ efini sur E × E

∗

:

T

M

= a

ij

e

i

⊗ e

j

1) Donner le type de ce tenseur.

2) Donner une base du sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des tenseurs et en deduire la dimension de ce sous espace.

3) On consid` ere l’espace vectoriel M

n

des matrices carr´ ees de tailles n, Etablir un isomorphisme entre E × E

∗

et M

n

1

(2)

4) Que donne la contraction de ce tenseur, quelle quantit´ ee bien connue retrouve t’on?

Exercice 3

On donne la matrice 2 × 2 des g

ij

ci-dessous:

g

ij

= 2 −1

−1 1

!

1) Donner le tenseur T

G

qui lui correspond.

2) Soit les vecteurs u = e

1

− e

2

, v = - e

1

D´ eterminer leurs composantes covariantes.

3) D´ eterminer u.u, u.v.

4) On effectue le changement de base e

0j

= a

ij

e

i

selon la matrice:

a

ij

= 0 1

−1 1

!

Determiner les nouvelles composantes du tenseur T

G

Exercice 4

Montrer qu’un tenseur peut toujours ˆ etre d´ ecompos´ e en la somme d’un tenseur sym´ etrique et d’un tenseur antisym´ etrique.

2

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