CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 8: Formalisme du calcul tensoriel

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 8:

Formalisme du calcul tensoriel

Jeudi 23 novembre 2006

1 Introduction g´ en´ erale d’un tenseur

Nous avons d´ ej` a rencontr´ e des tenseurs; tout ce qui va ˆ etre dit dorenavant ne sera qu’une g´ en´ eralisation de choses connues. Le premier exemple de tenseur est ´ etudi´ e au coll` ege, il sagit du vecteur; puis chemin faisant on arrive au lyc´ ee et d` es les premiers rudiments de calcul diff´ erentiel on d´ ecouvre le symbole ”dx” dont on vient d’apprendre que ce n’est rien d’autre qu’une forme lin´ eaire agissant sur un vecteur son ”dual” en quelques sortes . En dimension finie on ne peut pas creer grand chose de plus et le dual d’une forme redonne a isomorphisme canonique pr` es le vecteur dont on est parti.

On a donc une parfaite sym´ etrie entre ces deux objets qui repr´ esentes les

piliers du calcul tensoriel. Mais encore au lyc´ ee , on est familiaris´ e avec

d’autres outils comme le produit scalaire de deux vecteurs on apprendra qu’il

sagit d’un deux tenseurs sym´ etrique. En bref on en a rencontrer d’autres,

qui se nommes determinants, produits exterieurs...Mais il est important de

remarquer qu’ils sont tous fabriqu´ es ` a partir des mˆ emes ingr´ edients, des

vecteurs et des formes lin´ eaires agissant sur ces mˆ emes vecteurs. L’op´ eration

perm´ ettant de les fabriquer est le produit tensoriel dont on connait d´ ej` a une

forme d´ eg´ ener´ ee: le produit exterieur ` a qui est confi´ e la cr´ eation d’objets

antisym´ etriques.

2 D´ efinition d’un tenseur, exemples

De l’introduction pr´ ec´ edente et de ce qui a ´ et´ e vu pr´ ecedement on rappelle la d´ efinition suivante:

D´ efinition 1

Soit E Un espace vectoriel de dimension finie n, E

l’espace dual de E donc de mˆ eme dimension, le produit tensoriel de p formes lin´ eaires ϕ

est la forme p lin´ eaire ϕ = ϕ

⊗ ϕ

⊗ ... ⊗ ϕ

d´ efinie par:

∀(x

, x

, ..., x

) ∈ E

, ϕ

⊗ ϕ

⊗ ... ⊗ ϕ

(x

, ...x

) = ϕ

(x

)ϕ

(x

)..., ϕ

(x

) On appelle ce produit un tenseur de type (0, p) p fois contravariant. Dans une base e

on a alors: ∀(x

, x

, ..., x

) ∈ E

:

ϕ

⊗ ϕ

⊗ ... ⊗ ϕ

(x

, ...x

) = P

i1,i2,...,ip

T

e

(x

)e

(x

)..., e

(x

) On convient alors des notations suivantes appell´ ees conventions d’Einstein:

Notations

Une forme est not´ e avec un ”indice” en haut, dans une sommation quand un indice en haut apparait en bas ou r´ eciproquement, le signe somme corre- spondant ` a cet indice disparait: c’est la convention d’Einstein ainsi dans une base ϕ s’´ ecrit:

ϕ

⊗ ϕ

⊗ ... ⊗ ϕ

= T

e

e

..., e

Remarque

Si v d´ esigne un vecteur dans la base e

de E on note λ

ses coordonn´ ees donc en notation d’Einstein:

v = λ

e

Si ϕ d´ esigne un co-vecteur (une 1-forme) dans la base e

de E on note λ

ses coordonn´ ees donc en notation d’Einstein:

ϕ = λ

e

Cette d´ efinition se g´ en´ eralise car en dimension finie un vecteur est associ´ e canoniquement ` a une forme comme ´ el´ ement du bidual et on ` a la:

D´ efinition 2

On appelle tenseur de type (p, q), p- contravariant et q-covariant la forme p + q lin´ eaire d´ efinie sur E

× ... × E

× E × ... × E produit de p espaces E

et q espaces E par:

T = T

e

⊗ ... ⊗ e

⊗ e

⊗ ... ⊗ e

Th´ eor` eme et d´ efinition

L’ensemble des tenseurs de type (p, q) forme un espace vectoriel de dimension n

n

not´ e E

N

... N E

N

E N ... N

E = E

N

E

appell´ e produit tensoriel d’espaces vectoriels.

Remarque

On peut aussi melanger les espaces et leurs duaux et par exemple d´ efinir un tenseur sur E N

E

N E

N

E N E:

T = t

ln

e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

il sera de mˆ eme ordre que le tenseur: S = t

e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

d´ efini sur E N

E N E N

E

N

E

, mais pas de mˆ eme type.

2.1 Exemples de tenseurs

Les vecteurs et les formes lin´ eaires sont des tenseurs, plus g´ en´ eralement, tout

objet combinant des vecteurs et des formes et construit en respectant les

r` egles vues plus haut est un tenseur. En particulier, en combinant deux

formes lin´ eaire on peut fabriquer une forme bilin´ eaire qui peut devenir un

produit scalaire si le tenseur qui lui est associ´ e est sym´ etrique. D’autre

part, les formes multilin´ eaires altern´ ees sont un autre exemple de tenseurs (tenseurs antisym´ etriques)

3 Propri´ et´ e fondamentale des tenseurs

De mˆ eme qu’un vecteur reste inchang´ e quand on l’exprime dans des bases diff´ erentes cette propri´ et´ ee devra ˆ etre v´ erifi´ ee par les tenseurs. C’est souvent par ce moyen qu’on peut d´ ecider si une quantit´ ee est tensorielle o` u non. Rap- pelons dans notre nouveau syst` eme de notations comment les coordonn´ ees d’un vecteur se comporte via un changement de base:

3.1 Changement de base cas d’un vecteur ou d’une forme

Soit B = (e

) et B

= (e

) deux bases de E de dimension n, L = (L

)

avec comme d’habitude µ indice de colonne de la matrice de changement de base.

alors : e

= (L

)e

Si on note Λ la matrice inverse : L

= Λ = (Λ

)

alors:

L

Λ

= Λ

L

= δ

Alors,e

= (Λ

)e

Au niveau des vecteurs, ces relations donnent:

v = v

e

= v

Λ

e

et v = v

e

= v

L

e

Soit:

v

= Λ

v

v

= L

v

Ces deux relations correspondent au crit` ere de tensorialit´ e d´ eg´ en´ er´ e aux

vecteurs. En ”dualisant” ces expressions on obtient un crit` ere analogue pour les formes:

Exercice

Montrer que si la matrice de passage de la base B = (e

) ` a la base B

= (e

) est L = (L

)

Alors, la matrice de passage de la base B = (e

) ` a la base B

= (e

) est Λ = (Λ

)

= L

Au niveau des formes donc:

ω = ω

e

= ω

L

e

et ω = ω

e

= ω

Λ

e

Soit:

ω

= L

ω

ω

= Λ

ω

On peut appliquer ces transformations de changement de bases aux tenseurs quelconques.

3.2 Changement de base d’un tenseur

Soit B = (e

) et B

= (e

) deux bases de E supposons que l’expression du tenseur T dans la base B est:

T = T

e

⊗ ... ⊗ e

⊗ e

⊗ ... ⊗ e

et que l’expression du tenseur T dans la base B

est:

T = T

e

⊗ ... ⊗ e

⊗ e

⊗ ... ⊗ e

Alors :

T

= Λ

... Λ

L

... L

T

4 Op´ erations sur les tenseurs

4.1 Produit tensoriel de deux tenseurs

L’addition et la multiplication d’un tenseur sont faciles ` a d´ efinir (structure d’espace vectoriel d’un produit tensoriel de E et E

) le produit tensoriel de deux tenseurs n’est pas plus difficile ` a d´ efinir on a par exemple en posant:

U = u

e

⊗ e

⊗ e

V = v

e

⊗ e

Le produit tensoriel U ⊗ V est:

T = t

e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

= u

v

e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

4.2 Contraction d’un tenseur

Consid´ erons par exemple le tenseur : U = u

e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

⊗ e

. Pour contracter ce tenseur il faut choisir deux indices de variance diff´ erentes i et k par exemple:

Dire que l’on contracte le tenseur en i et k c’est dire qu’on fait la somme des termes ayant mˆ emes indices i et k. Le tenseur ainsi contract´ e s’ecrit alors en notation d’Einstein: u

On obtient alors un nouveau tenseur: w

= u

Remarque l’op´ eration de contraction est tensorielle.

4.3 Formes bilin´ eaires , tenseur m´ etrique

Soit E

, un espace vectoriel de dimension n Si on r´ esume certains resultats

pr´ ec´ edent, on peut remarquer que toute forme bilin´ eaire peut ˆ etre d´ ecompos´ ee

en produit tensoriel de formes lin´ eaires, mieux les e

⊗ e

quand i et j vont

de 1 ` a n. En effet par exemple pour n=2 pour plus de clart´ e:

Si b est une forme bilin´ eaire quelconque sur E

on peut montrer en exer- cice que b s’´ ecrit de mani` ere unique:

b = α

e

⊗ e

+ α

e

⊗ e

+ α

e

⊗ e

+ α

e

⊗ e

Autrement dit l’ensemble des formes bilin´ eaires sur E × E et E

N

E

sont isomorphes.

Si b est sym´ etrique, on rappelle que b est in produit scalaire. Dans le langage du calcul tensoriel on dit aussi que b est une m´ etrique; on pose plutˆ ot α

= g

Alors en notation d’Einstein :

b = g

dx

⊗ dx

On d´ efinit ainsi le tenseur m´ etrique d’ordre 2 et 2 fois covariant.

4.4 Abaissement d’indice

Soit u un vecteur ses coordonn´ ees contravariantes sont not´ es u

Alors on a:

u

= g

u

On dit que l’on a op´ er´ e un abaissement d’indice , on peut faire cette manip-

ulation sur n’importe quel tenseur.