CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Alg`ebre et analyse tensorielle Cours 11:
Introduction aux vari´et´es diff´erentiables 2
Jeudi 14 d´ecembre 2006
1 Introduction
Nous avons d´efinie la notion de vari´et´e diff´erentiables. On peut donc d´ecrire maintenant les ”morphismes” entre vari´et´es. En particulier deux morphismes sont particuli`erement importants: L’application lin´eaire tangente op´erant sur les espaces tangents et sa version duale op´erant sur les formes diff´erentielles.
Ensuite on peut d´efinir les champs de tenseurs sur les vari´et´es.
2 Morphismes entres vari´ et´ es
Voyons la d´efinition d’un morphisme de vari´et´e
D´ efinition
Soient M et N deux vari´et´es diff´erentiables. Une application F : M → N est diff´erentiable de classe Ck si pour tout p∈ M, il existe une carte locale (U, ϕ) de M contenant p de classe Ck, et une carte locale (V, ψ) de N de classe Ck, telle queF(U)⊂V etψ◦F◦ϕ−1 soit de classe Ck. On peut alors parler aussi de d´erivabilit´e d’une telle application.
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2.1 Application lin´ eaire tangente
Soit F : M →N une application diff´erentiable. Si nous munissons les deux vari´et´es de coordonn´ees locales respectivement not´ees (xi) et (yj) autour des points p∈M etF(p)∈N . Nous voulons d´efinir une application lin´eaire de TpM dans TF(p)N associ´ee canoniquement `a F et not´ee TpF. Pour ce faire on peut utiliser l’une des deux d´efinitions ´equivalentes de l’espace tangent et aussi exprimer cette application dans une carte locale.
La premi`ere m´ethode consiste `a d´efinir un vecteur tangent comme la d´eriv´ee d’une courbe param`etr´ee. Donc soit X(p)∈TpM. Alors il existe une courbe γ dans M telle que γ(0) = p et γ0(0) = X(p). Alors F ◦γ est une courbe de N qui passe en F(p) `a t = 0 . Si on la d´erive en ce point, on obtient un vecteur de TF(p)N et par d´efinition on pose:
TpF X(p) = (dF◦γ(t)dt )|t=0
Nous d´efinissons ainsi l’application lin´eaire tangente.
La deuxi`eme d´efinition consiste `a consid´erer X(p) comme une d´erivation sur les fonctions d´efinies sur M. Soit donc une fonction f : N → R une fonction sur N . On remarque que f◦F est une fonction d´efinie surM. Par d´efinition on pose:
TpF X(p).f = X(p).(f◦F)
Il est enfin possible de d´ecrire cette fonction en coordonn´ees locales On a:
Fj(x1(p), ...xn(p)) = yj(F(x1(p), ..., xn(p))) On a alors matriciellement:
TpF(∂x∂i) = ∂F∂xji(p)∂y∂j
On va alors d´ecrire une op´eration analogue pour les formes diff´erentielles qui g´en´eralise l’image r´eciproque d’une forme diff´erentielle sur un ouvert de Rn.
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2.2 Pull-back d’une forme diff´ erentielle sur une vari´ et´ e
On consid`ere maintenant α ∈ Ω1(N) et X ∈ Γ(M). On d´efinit alors F∗α∈Ω1(M) par:
< F∗α(F(p)), X(p)>=< α(F(p), TpF X(p)>
Cette application est l’application de pull-back. On a des relations similaires aux pull-back de formes sur les ouverts de Rn
3 Tenseurs et formes diff´ erentielles sur une vari´ et´ e
Maintenant que l’on dispose d’un espace vectoriel : l’espace tangent et son dual l’espace cotangent en tout point p d’une vari´et´e on dispose de surcroit d’un calcul tensoriel on peut construire l’espace:
Tps,r = TpMO ...O
TpM
| {z }
N Tp∗MO ...O
Tp∗M
| {z }
sf ois rf ois
Un ´el´ement T de l’espace pr´ec´edent, est un tenseur de type (s, r) au dessus de tout point p; et en coordonn´ees locales, un tel tenseur s’´ecrit:
T(p) = Ti1...isj1...js(p) ∂x∂i1(p)⊗...⊗ ∂x∂is(p)⊗dxj1(p)⊗...⊗dxjr(p)
3.1 Champs de tenseurs
On peut consid´erer alors le fibr´e des champs de tenseurs de type (s, r), c’est la vari´et´e diff´erentielle:
Tps,rM =S
p∈MTps,rM
Une section de ce fibr´e est appell´ee champ de tenseur de type (s, r) .Un tel champ s’´ecrit donc au dessus d’une carte locale:
T =Ti1...isj1...js ∂x∂i1 ⊗...⊗∂x∂is ⊗dxj1 ⊗...⊗dxjr
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On peut alors d´efinir les formes diff´erentielles sur une vari´et´e. (il suffit de les d´efinir en coordonn´ees sur des ouverts de cartes et tout cela a d´ej`a ´et´e d´efinie.
3.2 Champs de formes diff´ erentielles
Si dans les expressions pr´ecedentes, on oublie les composantes contravari- antes on obtient les champs de formes diff´erentielles sur une vari´et´e. C’est le calcul ext´erieur sur une vari´et´e et c’est la partie antisym´etrique de l’alg`ebre tensorielle. Une r-forme diff´erentielle sur une vari´et´e M est un ´el´ement de Ωr(M) et s’ecrit:
ω(p) = ωj1...js(p) dxj1(p)∧...∧dxjr(p)
3.3 Cohomologie de de Rham sur une vari´ et´ e
Toute vari´et´e peut ˆetre recouverte par des ouverts et on d´efinie une coho- mologie de De Rham sur les ouverts deRn On peut montrer qu’il est possible de construire la cohomologie de la vari´et´e `a partir de celle des ouverts de Rn au moyen de suites exactes appropri´ees.
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