M1CP3021 Maths alg`ebre II 2015-2016
TD2 - Rappel d’alg` ebre lin´ eaire - Corrig´ e
Exo 7
1) Il s’agit d’un simple calcul matriciel. On ´ecrit
1 1 1
λ1 λ2 λ3 λ21 λ22 λ23
0 1 0
0 0 1
−c0 −c1 −c2
λ1 λ2 λ3 λ21 λ22 λ23 λ31 λ32 λ33
=C tV
o`u l’on a utilis´e les trois formules λ3i =−c0−c1λi−c2λ2i aveci∈ {1,2,3}. On a :
λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3
1 1 1
λ1 λ2 λ3 λ21 λ22 λ23
λ1 λ2 λ3
λ21 λ22 λ23 λ31 λ32 λ33
= tV∆
2) Pour calculer det(V), on va effectuer des op´erations sur les lignes : on remplace la ligne L2 par L2-L1, et de mˆeme L3 par L3-L1. Cela donne
det(V) =
1 λ1 λ21 1 λ2 λ22 1 λ3 λ23
=
1 λ1 λ21 0 λ2−λ1 λ22−λ21 0 λ3−λ1 λ23−λ21
=
1 λ1 λ21
0 λ2−λ1 (λ2−λ1)(λ2+λ1) 0 λ3−λ1 (λ3−λ1)(λ3+λ1)
On remarque que les nouvelles lignes L2 et L3 se factorisent respectivement par λ2−λ1
etλ3 −λ1. Cela donne
det(V) = (λ2−λ1)(λ3−λ1)
1 λ1 λ21 0 1 λ2 +λ1 0 1 λ3 +λ1
On peut alors d´evelopper par rapport `a la premi`ere colonne pour obtenir
det(V) = (λ2−λ1)(λ3−λ1)
1 λ2+λ1 1 λ3+λ1
= (λ2−λ1)(λ3−λ1)(λ3 −λ2).
Cette forme factoris´ee met en ´evidence que det(V) 6= 0 si et seulement si les trois nombres λ1, λ2 etλ3 sont distincts deux `a deux.
1
3) Dans le cas o`u les trois nombres λi sont distincts deux `a deux, la matrice V est inversible (car det(V) 6= 0). D’apr`es la question a), on a det(C tV) = det( tV∆).
Or, on a det(C tV) = det(C) det( tV) = det(C) det(V) (on a utilis´e la multiplica- tivit´e du d´eterminant et l’invariance par transposition du d´eterminant). De mˆeme, on a det(tV∆) = det(tV) det(∆) = det(V)λ1λ2λ3. En combinant ces ´egalit´es avec det(V)6= 0, on obtient det(C) = λ1λ2λ3.
Il nous reste `a exprimer λ1λ2λ3 en fonction de (c0, c1, c2). Pour cela on rappelle que λ1, λ2 etλ3 sont racines du polynˆomeX3+c2X2+c1X+c0 = (X−λ1)(X−λ2)(X−λ3).
Le coefficient constant est exactementc0 =−λ1λ2λ3.
Finalement, det(C) =−c0 (on aurait pu obtenir ce calcul directement en d´eveloppant det(C) par rapport `a sa premi`ere colonne!).
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