Statistical Physics 3 30 October 2009 Corrig´e 7
a) Les minimas de F sont donn´es par dF
dm = m(a + bm
2+ cm
4) = 0 Donc:
m = 0 ou m
2±= 1
2c
³
−b ± p
b
2− 4ac
´
(1) 1. Supposons tout d’abord que b > 0.
Si a < 0, F admet 3 extrema: (0, m
+, −m
+) car m
2−< 0. m = 0 est un maximum et ±m
+sont les deux minima.
Si a > 0, alors m
2±< 0 et donc m = 0 est le seul minima.
La limite lim
a→−0m
2+= 0 nous montre que la transition est continue. Il s’agit donc d’une transition de deuxi`eme ordre car lim
a→−0∂m∂a6= 0.
2. Supposons maintenant que b < 0.
Si a < 0 F admet 3 extrema: (0, m
+, −m
+) car m
2−< 0. m = 0 est un maximum et ±m
+sont les deux minimas.
Si a > 0, il faut encore distinguer 3 cas
(i) b
2< 4ac: Dans ce cas F n’admet qu’un seul minimum en m = 0.
(ii) b
2> 4ac: dans ce cas F poss`ede 5 extremas. On a que m = 0 est un minima. De plus F(0) = 0. La condition pour que d’autres minimas de F soient plus avantageux revient donc `a ce que F poss`ede 4 z´eros disctincts (Fig. 1).
F (m) = 1 2 m
2µ a + b
2 m
2+ c 3 m
4¶
Ces z´eros existent si:
b
24 − 4a c
3 > 0 ⇔ b
2> 16 ac
3 ⇔ b < −4 r ac
3 car b < 0. Proche de la transition on a:
lim
b+4
√
ac3→+0
m = 0
lim
b+4
√
ac3→−0
m
+= µ 3a
c
¶
14
1
Pour obtenir ce dernier r´esultat, il faut ins´erer la valeur de b = −4 p
ac3
dans (1).
Nous voyons donc que la transition est discontinue (premier ordre) b) Nous avons le diagrame de phase suivant:
m>0 m=0
m>0
b
a
point tricritique transition du deuxieme ordre
transition du premier ordre
b=−(4ac) b=−4(ac/3)
0.5
0.5
Figure 1: Diagramme de phase
Le point tri-critique est donn´e par a = b = 0.
c) Pour calculer les exposants critiques, nous nous plac¸ons le long de la courbe b = 0. En ajoutant le terme −hm `a F , nous avons `a satisfaire l’´equation pour m
dF
dm = 0 ⇔ h = Atm + cm
5Pour h = 0, nous pouvons en conclure que
1. m ∼ t
0si t > 0 2. m ∼ (−t)
14si t < 0 Donc β =
14.
La susceptibilit´e magn´etique est donn´ee par:
χ = ∂ m
∂ h
¯ ¯
¯ ¯
h=0
⇔ χ
−1= ∂ h
∂ m
¯ ¯
¯ ¯
h=0
