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f f a f f a f a f a f a I. Rappels DÉRIVATION

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

DÉRIVATION

Rappels du cours de 1ère en vidéo : https://youtu.be/uMSNllPBFhQ

I. Rappels Vidéos

https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ

1) Fonction dérivable

Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que : lim

$→&

𝑓(𝑎+ℎ,−𝑓(𝑎) ℎ = L.

L est appelé le nombre dérivé de f en a.

2) Tangente à une courbe

Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I.

L est le nombre dérivé de f en a.

A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative 𝐶2 de f. Définition : La tangente à la courbe 𝐶2 au point A est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé L.

Propriété : Une équation de la tangente à la courbe 𝐶2 en A est :

𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎).

Exemple :

On considère la fonction trinôme f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥8+ 3𝑥 − 1.

On veut déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2.

(2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 𝑓;(𝑥) = 2𝑥 + 3 donc 𝑓;(2) = 2 × 2 + 3 = 7

Or, 𝑓(2) = 28 + 3 × 2 − 1 = 9

Donc son équation est de la forme : 𝑦 = 𝑓′(2)(𝑥 − 2) + 𝑓(2), soit : 𝑦 = 7(𝑥 − 2) + 9 soit encore 𝑦 = 7𝑥 − 5

Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est 𝑦 = 7𝑥 − 5.

3) Formules de dérivation des fonctions usuelles : Fonction f Ensemble de

définition de f Dérivée f ' Ensemble de définition de f '

𝑓(𝑥) = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ ℝ 𝑓′(𝑥) = 0 ℝ

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑎 ∈ ℝ ℝ 𝑓′(𝑥) = 𝑎 ℝ

𝑓(𝑥) = 𝑥8 ℝ 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ℝ

𝑓(𝑥) = 𝑥C

𝑛 ≥ 1 entier ℝ 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥CFG

𝑓(𝑥) = G

H ℝ\{0} 𝑓;(𝑥) = − G

HI ℝ\{0}

𝑓(𝑥) = G HJ 𝑛 ≥ 1 entier

ℝ\{0} 𝑓′(𝑥) = − 𝑛

𝑥𝑛+1 ℝ\{0}

𝑓(𝑥) = √𝑥 [0 ; +∞[ 𝑓′(𝑥) = G

8√H ]0 ; +∞[

𝑓(𝑥) = 𝑒H ℝ 𝑓′(𝑥) = 𝑒H

𝑓(𝑥) = 𝑒QH, 𝑘 ∈ ℝ ℝ 𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑒QH

Exemples :

a) Soit la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒TH alors f est dérivable sur ℝ et on a pour tout x de ℝ, 𝑓′(𝑥) = 6𝑒TH.

b) Soit la fonction f définie sur ℝ\{0} par 𝑓(𝑥) = G

HV alors f est dérivable sur ]−∞ ; 0[

et sur ]0 ; +∞[ et on a pour tout x de ℝ\{0}, 𝑓′(𝑥) = − 5 𝑥6. 4) Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

𝑢 + 𝑣 est dérivable sur I (𝑢 + 𝑣)′ = 𝑢′ + 𝑣′

𝑘𝑢 est dérivable sur I, où k est une constante (𝑘𝑢)′ = 𝑘𝑢′

𝑢𝑣 est dérivable sur I (𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

G

Y est dérivable sur I, où 𝑢 ne s'annule pas sur I

Z

G

Y

[

;= − Y\ YI Y

] est dérivable sur I, où 𝑣 ne s'annule pas sur I

Z

Y

]

[

;= Y

\]FY]\ ]I

(3)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Exemples :

a) 𝑓(𝑥) = (2𝑥8− 5𝑥)(3𝑥 − 2)

𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) avec 𝑢(𝑥) = 2𝑥8− 5𝑥 → 𝑢;(𝑥) = 4𝑥 − 5 𝑣(𝑥) = 3𝑥 − 2 →𝑣′(𝑥) = 3

Donc : 𝑓′(𝑥) =𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥) = (4𝑥 − 5)(3𝑥 − 2) + (2𝑥8− 5𝑥 )× 3 = 12𝑥8− 8𝑥 − 15𝑥 + 10 + 6𝑥8− 15𝑥

= 18𝑥8− 38𝑥 + 10 b) 𝑔(𝑥) = THFa

HbF8HIFG

𝑔(𝑥) =𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) avec 𝑢(𝑥) = 6𝑥 − 5 → 𝑢;(𝑥) = 6

𝑣(𝑥) = 𝑥c− 2𝑥8− 1 →𝑣;(𝑥) = 3𝑥8− 4𝑥 Donc : 𝑔′(𝑥) = Y\(H)](H)FY(H)]\(H)

](H)I

= T(HbF8HIFG)F(THFa)(cHIFdH) (HbF8HIFG)I

= THbFG8HIFTFGeHbf8dHIfGaHIF8&H (HbF8HIFG)I

= FG8Hbf8gHIF8&HFT (HbF8HIFG)I

5) Application à l'étude des variations d'une fonction

Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.

- Si 𝑓′(𝑥) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.

- Si 𝑓′(𝑥) ≥ 0, alors f est croissante sur I.

- Admis -

Exemple :

Soit la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥8− 4𝑥.

Pour tout x réel, on a : 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 4.

Résolvons l'équation : 𝑓′(𝑥) ≤ 0 2𝑥 − 4 ≤ 0

2𝑥 ≤ 4 𝑥 ≤ 2

La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle ]−∞ ; 2].

De même, on obtient que la fonction f est croissante sur l'intervalle [2 ; +∞[.

(4)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr II. Dérivées d’une fonction composée

1) Définition Exemple :

Vidéo https://youtu.be/08HgDgD6XL8

On considère la fonction f définie par 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3

La fonction f est la composée de deux fonctions 𝑢 et 𝑣 telles que : 𝑢 𝑣

𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑥 − 3⟼ √𝑥 − 3

Les fonctions 𝑢 et 𝑣 sont définies par : 𝑢(𝑥) = 𝑥 − 3 et 𝑣(𝑥) = √𝑥 On dit que la fonction f est la composée de 𝑢 par 𝑣 et on note :

𝑓(𝑥) =𝑣∘𝑢 (𝑥)=𝑣(𝑢(𝑥), = √𝑥 − 3

Définition : Soit une fonction 𝑢 définie sur un intervalle 𝐼 et prenant ses valeurs dans un intervalle 𝐽. Soit une fonction 𝑣 définie sur un intervalle 𝐾 tel que 𝐽 ⊂ 𝐾.

On appelle fonction composée de 𝑢 par 𝑣 la fonction notée 𝑣 ∘ 𝑢 définie sur l’intervalle 𝐼 par : 𝑣 ∘ 𝑢 (𝑥) = 𝑣(𝑢(𝑥),.

Méthode : Composer deux fonctions

Vidéo https://youtu.be/sZ2zqEz4hug

1) On considère les fonctions 𝑢 et 𝑣 définies par : 𝑢(𝑥) = G

H et 𝑣(𝑥) = √𝑥. Exprimer les fonctions 𝑣 ∘ 𝑢 et 𝑢 ∘ 𝑣 en fonction de x.

2) Même question avec 𝑢(𝑥) = 𝑥8+ 𝑥 et 𝑣(𝑥) = H

HfG.

1) On a : 𝑢(𝑥) = G

H et 𝑣(𝑥) = √𝑥 𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) = 𝑣(𝑢(𝑥), =q1

𝑥 𝑢 ∘ 𝑣(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥), = G

√H

2) On a : 𝑢(𝑥) = 𝑥8+ 𝑥 et 𝑣(𝑥) = H

HfG

𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) = 𝑣(𝑢(𝑥), = 𝑥8+ 𝑥 𝑥8+ 𝑥 + 1 𝑢 ∘ 𝑣(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥), = Z𝑥+1𝑥 [8+𝑥+1𝑥

(5)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2) Formule de dérivation d’une fonction composée

Propriété : Soit une fonction 𝑢 définie et dérivable sur un intervalle 𝐼 et prenant ses valeurs dans un intervalle 𝐽.

Soit une fonction 𝑣 définie et dérivable sur un intervalle 𝐾 tel que 𝐽 ⊂ 𝐾.

La fonction 𝑓 = 𝑣 ∘ 𝑢 est dérivable sur l'intervalle 𝐼 et on a : 𝑓′(𝑥) = 𝑣′(𝑢(𝑥), × 𝑢′(𝑥) ou encore 𝑓′ = 𝑣′ ∘ 𝑢 × 𝑢′

Admis

Méthode : Déterminer la dérivée d’une fonction composée (cas général) Vidéo https://youtu.be/lwcFgnbs0Ew

Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒HIfG.

On considère les fonctions 𝑢 et 𝑣 définies par : 𝑢(𝑥) = 𝑥8+ 1 et 𝑣(𝑥) = 𝑒H Alors : 𝑓(𝑥) =𝑒HIfG= 𝑣(𝑢(𝑥),

On a : 𝑢′(𝑥) = 2𝑥 et 𝑣′(𝑥) = 𝑒H Donc : 𝑓′(𝑥) =𝑣;(𝑢(𝑥),×𝑢′(𝑥) =𝑒HIfG×2𝑥

= 2𝑥𝑒HIfG

3) Cas particuliers de fonctions composées

Fonction Ensemble de

définition Dérivée

√𝑢 𝑢(𝑥) > 0 𝑢;

2√𝑢 𝑢C avec 𝑛 ∈ ℤ Si 𝑛 < 0,

𝑢(𝑥) ≠ 0 𝑛𝑢′𝑢CFG

𝑒Y ℝ 𝑢′𝑒Y

Démonstrations :

- w𝑢(𝑥) = 𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) avec 𝑣(𝑥) = √𝑥

Donc (w𝑢(𝑥),; = 𝑣′(𝑢(𝑥),× 𝑢′(𝑥) = G

8wY(H) × 𝑢′(𝑥), car 𝑣′(𝑥)= G 8√H Soit (w𝑢(𝑥),; = 𝑢(𝑥)

2x𝑢(𝑥)

- (𝑢(𝑥))C = 𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) avec 𝑣(𝑥) = 𝑥C

Donc ((𝑢(𝑥))C); = 𝑣′(𝑢(𝑥),× 𝑢′(𝑥) =𝑛(𝑢(𝑥),CFG× 𝑢′(𝑥), car 𝑣′(𝑥)= 𝑛𝑥CFG Soit ((𝑢(𝑥))C); = 𝑛𝑢′(𝑥)(𝑢(𝑥),CFG

- Démonstration analogue pour « 𝑒Y ».

(6)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer la dérivée de fonctions composées (cas particuliers)

Vidéo https://youtu.be/kE32Ek8BXvs

Vidéohttps://youtu.be/5G4Aa8gKH_o

Déterminer la dérivée des fonctions définies par :

a) 𝑓(𝑥) = √3𝑥8+ 4𝑥 − 1 b) 𝑔(𝑥) = (2𝑥8+ 3𝑥 − 3)d c) ℎ(𝑥) = 2𝑒yz

a) On pose : 𝑓(𝑥) = w𝑢(𝑥) avec 𝑢(𝑥) = 3𝑥8+ 4𝑥 − 1 ® 𝑢′(𝑥) = 6𝑥 + 4 Donc : 𝑓′(𝑥) = Y

\(H) 8wY(H) = THfd

8√cHIfdHFG = cHf8

√cHIfdHFG

b) On pose : 𝑔(𝑥) = (𝑢(𝑥))d avec 𝑢(𝑥) = 2𝑥8+ 3𝑥 − 3 ® 𝑢′(𝑥) = 4𝑥 + 3 Donc : 𝑔′(𝑥) = 4𝑢′(𝑥)(𝑢(𝑥))c

= 4(4𝑥 + 3)(2𝑥8+ 3𝑥 − 3)c c) On pose : ℎ(𝑥) = 2𝑒Y(H) avec 𝑢(𝑥) = G

H ® 𝑢;(𝑥) = − G HI Donc : ℎ′(𝑥) = 2𝑢′(𝑥)𝑒Y(H)

= 2× {− 1 𝑥8|𝑒yz = − 2

𝑥8𝑒yz

4) Étude d’une fonction composée Méthode : Étudier une fonction composée (1)

Vidéo https://youtu.be/0MwFVTHZdpo

Vidéo https://youtu.be/j-pKLxjHNJw

Vidéo https://youtu.be/7c7HeV8cMvo ➞ difficile, pour experts

Vidéo https://youtu.be/95eLAWaSwwc

Vidéo https://youtu.be/a1Z29PuSQ64

Vidéo https://youtu.be/mM24gzGuWcA

On considère la fonction f définie par 𝑓(𝑥) =

x

8H

cHfG On note 𝐶 sa courbe représentative dans un repère.

1) Déterminer l'ensemble de définition de f.

(7)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

2) Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations des asymptotes à la courbe 𝐶.

3) Étudier les variations de f.

4) Tracer les asymptotes à la courbe 𝐶 puis la courbe 𝐶.

1) La fonction racine carrée est définie sur [0 ; +∞[ donc la fonction f est définie pour 8H

cHfG ≥ 0

On dresse le tableau de signe :

x −∞ – G

c 0 +∞

2𝑥 – – O + 3𝑥 + 1 – O + +

2𝑥

3𝑥 + 1 + – O + Donc la fonction f est définie sur }−∞ ; −G

c~ ∪ [0 ; +∞[.

2) - Recherche des limites à l'infini :

La limite de la fonction rationnelle sous la racine est une forme indéterminée.

Levons l'indétermination : 8H

cHfG = 8H

HZc f yz[ = 8 c f yz Or lim

H→f€3 +1𝑥 = 3 donc lim

H→f€

2

3 + 1𝑥 = 8 c Et donc : lim

H→f€

3𝑥+12𝑥 = 8 c

On en déduit, comme limite de fonction composée, que lim

H→f€x 2𝑥

3𝑥+1 =

x

8

c. On démontre de même que lim

H→F€x3𝑥+12𝑥 =

x

8

c .

Ainsi, la droite d'équation 𝑦 = x23 est asymptote horizontale à la courbe 𝐶 en +∞ et en −∞.

- Recherche de la limite en −13 :

H→Flimyb3𝑥 + 1 = 0F et lim

H→Fyb2𝑥 = −23 donc lim

H→Fyb

3𝑥+12𝑥 = +∞.

Donc, comme limite de fonction composée, on a : lim

H→Fyb

x 2𝑥

3𝑥+1 = + ∞.

En effet : lim

‚→f€√𝑋 = + ∞, en considérant que 𝑋 =3𝑥+12𝑥

.

(8)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Ainsi la droite d'équation 𝑥 = −13 est asymptote verticale à la courbe 𝐶.

3) On pose : 𝑢(𝑥) =3𝑥+12𝑥 𝑢′(𝑥) =2(3𝑥+1,−3×2𝑥

(3𝑥+1,2

=6𝑥+2−6𝑥

(3𝑥+1,2

= 2

(3𝑥+1,2

Donc :

𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) 2w𝑢(𝑥)=

2

(3𝑥+1,2

2x3𝑥+12𝑥

= 1

(3𝑥+1,2

x 2𝑥 3𝑥+1 Et donc 𝑓′(𝑥) > 0.

On dresse le tableau de variations :

x −∞ 13 0 +∞

𝑓′(𝑥) + ///////////////////////////// +

𝑓(𝑥)

+∞

x8c ///////////////////////////// x8c

0

A noter : On met une double barre pour la dérivée en 0. En effet, si 𝑥 = 0, le

dénominateur de la dérivée s’annulerait. La fonction dérivée 𝑓′ n’est pas définie en 0.

5)

(9)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Étudier une fonction composée (2)

Vidéohttps://youtu.be/I4HkvkpqjNw

Vidéohttps://youtu.be/Vx0H1DV3Yqc

Vidéohttps://youtu.be/2RIBQ1LiNYU

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒FzI. a) Étudier les limites de 𝑓 à l'infini.

b) Calculer la dérivée de la fonction 𝑓.

c) Dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓.

d) Tracer la courbe représentative de la fonction 𝑓.

a) - lim

H→F€𝑥2= +∞, donc comme limite d’une fonction composée : lim

H→F€𝑒FzI = +∞.

En effet, lim

‚→f€𝑒 = +∞ en posant 𝑋 = −𝑥2

.

Or, lim

H→F€𝑥 = −∞.

Donc lim

H→F€𝑥 𝑒FzI = −∞, comme limite d’un produit.

- lim

H→f€𝑒FzI = 0 et lim

H→f€𝑥 = +∞. Il s’agit d’une forme indéterminée du type « 0 × ∞ ».

Levons l’indétermination :

𝑥𝑒FzI = 𝑥 𝑒zI = 2

H 8

𝑒zI Par croissance comparée, on a : lim

H→f€

zI z I

= +∞.

En effet, lim

‚→f€

= +∞, en considérant que 𝑋 = 𝑥2

.

Donc, lim

H→f€

z I

zI = 0, comme inverse de limite.

Et donc : lim

H→f€2

z I

zI = 0 Soit : lim

H→f€𝑥 𝑒FzI = 0.

b) On a :

𝑓;(𝑥) = 𝑒FzI+ 𝑥 × {−1

2| 𝑒FzI = Z1 −𝑥 2[ 𝑒FzI En effet : Z𝑒FzI[; = Z−G8[ 𝑒FzI

c) Comme 𝑒FzI > 0, 𝑓;(𝑥) est du signe de 1 −𝑥2.

𝑓;est donc positive sur l'intervalle ]−∞ ; 2] et négative sur l'intervalle [2 ; +∞[.

On dresse le tableau de variations :

(10)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr x −∞ 2 +∞

𝑓;(𝑥) + 0 – 𝑓(𝑥)

8

−∞ 0 En effet : 𝑓(2) = 2𝑒FII = 2𝑒FG= 2𝑒

d)

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Références