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DÉRIVATION
Rappels du cours de 1ère en vidéo : https://youtu.be/uMSNllPBFhQ
I. Rappels Vidéos
https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ
1) Fonction dérivable
Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que : lim
$→&
𝑓(𝑎+ℎ,−𝑓(𝑎) ℎ = L.
L est appelé le nombre dérivé de f en a.
2) Tangente à une courbe
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I.
L est le nombre dérivé de f en a.
A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative 𝐶2 de f. Définition : La tangente à la courbe 𝐶2 au point A est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé L.
Propriété : Une équation de la tangente à la courbe 𝐶2 en A est :
𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎).
Exemple :
On considère la fonction trinôme f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥8+ 3𝑥 − 1.
On veut déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 𝑓;(𝑥) = 2𝑥 + 3 donc 𝑓;(2) = 2 × 2 + 3 = 7
Or, 𝑓(2) = 28 + 3 × 2 − 1 = 9
Donc son équation est de la forme : 𝑦 = 𝑓′(2)(𝑥 − 2) + 𝑓(2), soit : 𝑦 = 7(𝑥 − 2) + 9 soit encore 𝑦 = 7𝑥 − 5
Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est 𝑦 = 7𝑥 − 5.
3) Formules de dérivation des fonctions usuelles : Fonction f Ensemble de
définition de f Dérivée f ' Ensemble de définition de f '
𝑓(𝑥) = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ ℝ 𝑓′(𝑥) = 0 ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑎 ∈ ℝ ℝ 𝑓′(𝑥) = 𝑎 ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑥8 ℝ 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑥C
𝑛 ≥ 1 entier ℝ 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥CFG ℝ
𝑓(𝑥) = G
H ℝ\{0} 𝑓;(𝑥) = − G
HI ℝ\{0}
𝑓(𝑥) = G HJ 𝑛 ≥ 1 entier
ℝ\{0} 𝑓′(𝑥) = − 𝑛
𝑥𝑛+1 ℝ\{0}
𝑓(𝑥) = √𝑥 [0 ; +∞[ 𝑓′(𝑥) = G
8√H ]0 ; +∞[
𝑓(𝑥) = 𝑒H ℝ 𝑓′(𝑥) = 𝑒H ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑒QH, 𝑘 ∈ ℝ ℝ 𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑒QH ℝ
Exemples :
a) Soit la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒TH alors f est dérivable sur ℝ et on a pour tout x de ℝ, 𝑓′(𝑥) = 6𝑒TH.
b) Soit la fonction f définie sur ℝ\{0} par 𝑓(𝑥) = G
HV alors f est dérivable sur ]−∞ ; 0[
et sur ]0 ; +∞[ et on a pour tout x de ℝ\{0}, 𝑓′(𝑥) = − 5 𝑥6. 4) Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
𝑢 + 𝑣 est dérivable sur I (𝑢 + 𝑣)′ = 𝑢′ + 𝑣′
𝑘𝑢 est dérivable sur I, où k est une constante (𝑘𝑢)′ = 𝑘𝑢′
𝑢𝑣 est dérivable sur I (𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′
G
Y est dérivable sur I, où 𝑢 ne s'annule pas sur I
Z
GY
[
;= − Y\ YI Y] est dérivable sur I, où 𝑣 ne s'annule pas sur I
Z
Y]
[
;= Y\]FY]\ ]I
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Exemples :
a) 𝑓(𝑥) = (2𝑥8− 5𝑥)(3𝑥 − 2)
𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) avec 𝑢(𝑥) = 2𝑥8− 5𝑥 → 𝑢;(𝑥) = 4𝑥 − 5 𝑣(𝑥) = 3𝑥 − 2 →𝑣′(𝑥) = 3
Donc : 𝑓′(𝑥) =𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥) = (4𝑥 − 5)(3𝑥 − 2) + (2𝑥8− 5𝑥 )× 3 = 12𝑥8− 8𝑥 − 15𝑥 + 10 + 6𝑥8− 15𝑥
= 18𝑥8− 38𝑥 + 10 b) 𝑔(𝑥) = THFa
HbF8HIFG
𝑔(𝑥) =𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) avec 𝑢(𝑥) = 6𝑥 − 5 → 𝑢;(𝑥) = 6
𝑣(𝑥) = 𝑥c− 2𝑥8− 1 →𝑣;(𝑥) = 3𝑥8− 4𝑥 Donc : 𝑔′(𝑥) = Y\(H)](H)FY(H)]\(H)
](H)I
= T(HbF8HIFG)F(THFa)(cHIFdH) (HbF8HIFG)I
= THbFG8HIFTFGeHbf8dHIfGaHIF8&H (HbF8HIFG)I
= FG8Hbf8gHIF8&HFT (HbF8HIFG)I
5) Application à l'étude des variations d'une fonction
Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
- Si 𝑓′(𝑥) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.
- Si 𝑓′(𝑥) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
- Admis -
Exemple :
Soit la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥8− 4𝑥.
Pour tout x réel, on a : 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 4.
Résolvons l'équation : 𝑓′(𝑥) ≤ 0 2𝑥 − 4 ≤ 0
2𝑥 ≤ 4 𝑥 ≤ 2
La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle ]−∞ ; 2].
De même, on obtient que la fonction f est croissante sur l'intervalle [2 ; +∞[.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr II. Dérivées d’une fonction composée
1) Définition Exemple :
Vidéo https://youtu.be/08HgDgD6XL8
On considère la fonction f définie par 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3
La fonction f est la composée de deux fonctions 𝑢 et 𝑣 telles que : 𝑢 𝑣
𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑥 − 3⟼ √𝑥 − 3
Les fonctions 𝑢 et 𝑣 sont définies par : 𝑢(𝑥) = 𝑥 − 3 et 𝑣(𝑥) = √𝑥 On dit que la fonction f est la composée de 𝑢 par 𝑣 et on note :
𝑓(𝑥) =𝑣∘𝑢 (𝑥)=𝑣(𝑢(𝑥), = √𝑥 − 3
Définition : Soit une fonction 𝑢 définie sur un intervalle 𝐼 et prenant ses valeurs dans un intervalle 𝐽. Soit une fonction 𝑣 définie sur un intervalle 𝐾 tel que 𝐽 ⊂ 𝐾.
On appelle fonction composée de 𝑢 par 𝑣 la fonction notée 𝑣 ∘ 𝑢 définie sur l’intervalle 𝐼 par : 𝑣 ∘ 𝑢 (𝑥) = 𝑣(𝑢(𝑥),.
Méthode : Composer deux fonctions
Vidéo https://youtu.be/sZ2zqEz4hug
1) On considère les fonctions 𝑢 et 𝑣 définies par : 𝑢(𝑥) = G
H et 𝑣(𝑥) = √𝑥. Exprimer les fonctions 𝑣 ∘ 𝑢 et 𝑢 ∘ 𝑣 en fonction de x.
2) Même question avec 𝑢(𝑥) = 𝑥8+ 𝑥 et 𝑣(𝑥) = H
HfG.
1) On a : 𝑢(𝑥) = G
H et 𝑣(𝑥) = √𝑥 𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) = 𝑣(𝑢(𝑥), =q1
𝑥 𝑢 ∘ 𝑣(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥), = G
√H
2) On a : 𝑢(𝑥) = 𝑥8+ 𝑥 et 𝑣(𝑥) = H
HfG
𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) = 𝑣(𝑢(𝑥), = 𝑥8+ 𝑥 𝑥8+ 𝑥 + 1 𝑢 ∘ 𝑣(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥), = Z𝑥+1𝑥 [8+𝑥+1𝑥
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2) Formule de dérivation d’une fonction composée
Propriété : Soit une fonction 𝑢 définie et dérivable sur un intervalle 𝐼 et prenant ses valeurs dans un intervalle 𝐽.
Soit une fonction 𝑣 définie et dérivable sur un intervalle 𝐾 tel que 𝐽 ⊂ 𝐾.
La fonction 𝑓 = 𝑣 ∘ 𝑢 est dérivable sur l'intervalle 𝐼 et on a : 𝑓′(𝑥) = 𝑣′(𝑢(𝑥), × 𝑢′(𝑥) ou encore 𝑓′ = 𝑣′ ∘ 𝑢 × 𝑢′
Admis
Méthode : Déterminer la dérivée d’une fonction composée (cas général) Vidéo https://youtu.be/lwcFgnbs0Ew
Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒HIfG.
On considère les fonctions 𝑢 et 𝑣 définies par : 𝑢(𝑥) = 𝑥8+ 1 et 𝑣(𝑥) = 𝑒H Alors : 𝑓(𝑥) =𝑒HIfG= 𝑣(𝑢(𝑥),
On a : 𝑢′(𝑥) = 2𝑥 et 𝑣′(𝑥) = 𝑒H Donc : 𝑓′(𝑥) =𝑣;(𝑢(𝑥),×𝑢′(𝑥) =𝑒HIfG×2𝑥
= 2𝑥𝑒HIfG
3) Cas particuliers de fonctions composées
Fonction Ensemble de
définition Dérivée
√𝑢 𝑢(𝑥) > 0 𝑢;
2√𝑢 𝑢C avec 𝑛 ∈ ℤ∗ Si 𝑛 < 0,
𝑢(𝑥) ≠ 0 𝑛𝑢′𝑢CFG
𝑒Y ℝ 𝑢′𝑒Y
Démonstrations :
- w𝑢(𝑥) = 𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) avec 𝑣(𝑥) = √𝑥
Donc (w𝑢(𝑥),; = 𝑣′(𝑢(𝑥),× 𝑢′(𝑥) = G
8wY(H) × 𝑢′(𝑥), car 𝑣′(𝑥)= G 8√H Soit (w𝑢(𝑥),; = 𝑢′(𝑥)
2x𝑢(𝑥)
- (𝑢(𝑥))C = 𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) avec 𝑣(𝑥) = 𝑥C
Donc ((𝑢(𝑥))C); = 𝑣′(𝑢(𝑥),× 𝑢′(𝑥) =𝑛(𝑢(𝑥),CFG× 𝑢′(𝑥), car 𝑣′(𝑥)= 𝑛𝑥CFG Soit ((𝑢(𝑥))C); = 𝑛𝑢′(𝑥)(𝑢(𝑥),CFG
- Démonstration analogue pour « 𝑒Y ».
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer la dérivée de fonctions composées (cas particuliers)
Vidéo https://youtu.be/kE32Ek8BXvs
Vidéohttps://youtu.be/5G4Aa8gKH_o
Déterminer la dérivée des fonctions définies par :
a) 𝑓(𝑥) = √3𝑥8+ 4𝑥 − 1 b) 𝑔(𝑥) = (2𝑥8+ 3𝑥 − 3)d c) ℎ(𝑥) = 2𝑒yz
a) On pose : 𝑓(𝑥) = w𝑢(𝑥) avec 𝑢(𝑥) = 3𝑥8+ 4𝑥 − 1 ® 𝑢′(𝑥) = 6𝑥 + 4 Donc : 𝑓′(𝑥) = Y
\(H) 8wY(H) = THfd
8√cHIfdHFG = cHf8
√cHIfdHFG
b) On pose : 𝑔(𝑥) = (𝑢(𝑥))d avec 𝑢(𝑥) = 2𝑥8+ 3𝑥 − 3 ® 𝑢′(𝑥) = 4𝑥 + 3 Donc : 𝑔′(𝑥) = 4𝑢′(𝑥)(𝑢(𝑥))c
= 4(4𝑥 + 3)(2𝑥8+ 3𝑥 − 3)c c) On pose : ℎ(𝑥) = 2𝑒Y(H) avec 𝑢(𝑥) = G
H ® 𝑢;(𝑥) = − G HI Donc : ℎ′(𝑥) = 2𝑢′(𝑥)𝑒Y(H)
= 2× {− 1 𝑥8|𝑒yz = − 2
𝑥8𝑒yz
4) Étude d’une fonction composée Méthode : Étudier une fonction composée (1)
Vidéo https://youtu.be/0MwFVTHZdpo
Vidéo https://youtu.be/j-pKLxjHNJw
Vidéo https://youtu.be/7c7HeV8cMvo ➞ difficile, pour experts
Vidéo https://youtu.be/95eLAWaSwwc
Vidéo https://youtu.be/a1Z29PuSQ64
Vidéo https://youtu.be/mM24gzGuWcA
On considère la fonction f définie par 𝑓(𝑥) =
x
8HcHfG On note 𝐶 sa courbe représentative dans un repère.
1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
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2) Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations des asymptotes à la courbe 𝐶.
3) Étudier les variations de f.
4) Tracer les asymptotes à la courbe 𝐶 puis la courbe 𝐶.
1) La fonction racine carrée est définie sur [0 ; +∞[ donc la fonction f est définie pour 8H
cHfG ≥ 0
On dresse le tableau de signe :
x −∞ – G
c 0 +∞
2𝑥 – – O + 3𝑥 + 1 – O + +
2𝑥
3𝑥 + 1 + – O + Donc la fonction f est définie sur }−∞ ; −G
c~ ∪ [0 ; +∞[.
2) - Recherche des limites à l'infini :
La limite de la fonction rationnelle sous la racine est une forme indéterminée.
Levons l'indétermination : 8H
cHfG = 8H
HZc f yz[ = 8 c f yz Or lim
H→f€3 +1𝑥 = 3 donc lim
H→f€
2
3 + 1𝑥 = 8 c Et donc : lim
H→f€
3𝑥+12𝑥 = 8 c
On en déduit, comme limite de fonction composée, que lim
H→f€x 2𝑥
3𝑥+1 =
x
8c. On démontre de même que lim
H→F€x3𝑥+12𝑥 =
x
8c .
Ainsi, la droite d'équation 𝑦 = x23 est asymptote horizontale à la courbe 𝐶 en +∞ et en −∞.
- Recherche de la limite en −13 :
H→Flimyb•3𝑥 + 1 = 0F et lim
H→Fyb•2𝑥 = −23 donc lim
H→Fyb•
3𝑥+12𝑥 = +∞.
Donc, comme limite de fonction composée, on a : lim
H→Fyb•
x 2𝑥
3𝑥+1 = + ∞.
En effet : lim
‚→f€√𝑋 = + ∞, en considérant que 𝑋 =3𝑥+12𝑥
.
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Ainsi la droite d'équation 𝑥 = −13 est asymptote verticale à la courbe 𝐶.
3) On pose : 𝑢(𝑥) =3𝑥+12𝑥 𝑢′(𝑥) =2(3𝑥+1,−3×2𝑥
(3𝑥+1,2
=6𝑥+2−6𝑥
(3𝑥+1,2
= 2
(3𝑥+1,2
Donc :
𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) 2w𝑢(𝑥)=
2
(3𝑥+1,2
2x3𝑥+12𝑥
= 1
(3𝑥+1,2
x 2𝑥 3𝑥+1 Et donc 𝑓′(𝑥) > 0.
On dresse le tableau de variations :
x −∞ −13 0 +∞
𝑓′(𝑥) + ///////////////////////////// +
𝑓(𝑥)
+∞
x8c ///////////////////////////// x8c
0
A noter : On met une double barre pour la dérivée en 0. En effet, si 𝑥 = 0, le
dénominateur de la dérivée s’annulerait. La fonction dérivée 𝑓′ n’est pas définie en 0.
5)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Étudier une fonction composée (2)
Vidéohttps://youtu.be/I4HkvkpqjNw
Vidéohttps://youtu.be/Vx0H1DV3Yqc
Vidéohttps://youtu.be/2RIBQ1LiNYU
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒FzI. a) Étudier les limites de 𝑓 à l'infini.
b) Calculer la dérivée de la fonction 𝑓.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓.
d) Tracer la courbe représentative de la fonction 𝑓.
a) - lim
H→F€−𝑥2= +∞, donc comme limite d’une fonction composée : lim
H→F€𝑒FzI = +∞.
En effet, lim
‚→f€𝑒‚ = +∞ en posant 𝑋 = −𝑥2
.
Or, lim
H→F€𝑥 = −∞.
Donc lim
H→F€𝑥 𝑒FzI = −∞, comme limite d’un produit.
- lim
H→f€𝑒FzI = 0 et lim
H→f€𝑥 = +∞. Il s’agit d’une forme indéterminée du type « 0 × ∞ ».
Levons l’indétermination :
𝑥𝑒FzI = 𝑥 𝑒zI = 2
H 8
𝑒zI Par croissance comparée, on a : lim
H→f€
„zI z I
= +∞.
En effet, lim
‚→f€
„…
‚ = +∞, en considérant que 𝑋 = 𝑥2
.
Donc, lim
H→f€
z I
„zI = 0, comme inverse de limite.
Et donc : lim
H→f€2
z I
„zI = 0 Soit : lim
H→f€𝑥 𝑒FzI = 0.
b) On a :
𝑓;(𝑥) = 𝑒FzI+ 𝑥 × {−1
2| 𝑒FzI = Z1 −𝑥 2[ 𝑒FzI En effet : Z𝑒FzI[; = Z−G8[ 𝑒FzI
c) Comme 𝑒FzI > 0, 𝑓;(𝑥) est du signe de 1 −𝑥2.
𝑓;est donc positive sur l'intervalle ]−∞ ; 2] et négative sur l'intervalle [2 ; +∞[.
On dresse le tableau de variations :
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr x −∞ 2 +∞
𝑓;(𝑥) + 0 – 𝑓(𝑥)
8„
−∞ 0 En effet : 𝑓(2) = 2𝑒FII = 2𝑒FG= 2𝑒
d)
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