x nx IIFonctiondérivée f I f ( a ) , f ( a ) ,ettangente.

T STMG- lycée Bertran de Born Cours n˚5 : Dérivation _{janv. 2015}

I f (a) , f

(a) , et tangente.

f est une fonction,aest un nombre.

IMAGE :−→ f(a) estl’image dea.

NOMBRE DERIVE :−→ f^′(a) est lenombre dérivé def en a TANGENTE :−→ La tangente à la courbe def en un pointAd’abs- cisseaest la droite :

• passant par le pointA, et

• dont le coefficient directeur est le nombre dérivé def ena:f^′(a).

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

C_f

bA

T de pentef^′(a)

f(a)

a

T

Remarque

On dit "Coefficient directeur" ou "pente".(Voir le III pour le rappel de la méthode de lecture graphique de la pente).

Exemple

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

b

O 1

1 A

B

C

T1

b

T3

b

T2

b

Cf

f(−4) =... f^′(−4) =...

f(−1) =... f^′(−1) =...

f(2) =... f^′(2) =...

II Fonction dérivée f

Pour chaque fonctionf, il existe une fonction dérivéef^′:x7→f^′(x) qui permet decalculerle nombre dérivé d’un réelx.

II.1 Voici les formules de dérivation qui permettent de trouver les fonctions dérivées des "fonctions usuelles".

Fonction Fonction dérivée f(x) =nombrek f^′(x) = 0

f(x) =x f^′(x) = 1 f(x) =x² f^′(x) = 2x f(x) =x³ f^′(x) = 3x² f(x) =xⁿ f^′(x) =nxⁿ⁻¹

f(x) = 1

x f^′(x) =−1 x²

Pour retenir la 5^ème formule :

x

nx

F onction F onction dérivée

1 2

Pour dériverxⁿ :

1. l’exposantnest multiplié par le terme enx; 2. l’exposant duxest diminué de 1 (n devientn−1).

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II.2 Voici les formules permettant de dériver des fonctions plus complexes :

f,uetv sont des fonctions,kest un nombre.

Fonction Fonction dérivée

f(x) =k×u(x) (kest un nombre) f^′(x) =k×u^′(x) f(x) =u(x) +v(x) f^′(x) =u^′(x) +v^′(x)

f(x) = u(x)

v(x) f^′(x) = u^′(x)v(x)−u(x)v^′(x) (v(x))² Exemple

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 1. f(x) =x³+x²−5

2. B(x) =x+ 5 + 1 x 3. j(x) = 3x²−2x 4. C(x) = 3x²−2x+ 1

1 + 2x

III Petit retour sur les équations de droites

Une droite a une équation de la formey=mx+p.

• m est le "coefficient directeur" ou la "pente" de la droite d.

Sur un graphique :pente= ∆y

∆x.

• p est l’ordonnée à l’origine de la droite: la droite coupe l’axe des ordonnées "enp", ou "au point de coordonnées (0;p)"

O

x

b

y

p

b b

∆x

∆y D

Pour calculerpquand on connaitm, on utilise les coordonnées d’un des points de la droite.

Exemple

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

1

−1

Ci-contre est représentée la courbe de la fonction j(x) = 3x²−2xsur [−1; 2]

1. Calculer j^′(x) ; en déduirej^′(−1).

2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de j au point d’abscisse−1.