Fonctions d'une variable réelle

Stanislas

T.D. 12

Fonctions d'une variable réelle

Approximations de√ 2

MPSI 1 2015/2016

Partie I : Une méthode géométrique

Soit a >0 tel que a² 6= 2. On note (u_n)n∈N la suite dénie par récurrence par u₀ ∈R+\{a} et pour tout entire natureln,un+1 = 2 +au_n

a+un .

1. Montrer que la suite(u_n) est bien dénie et que pour tout entier naturel n,u_n6=a. 2.Représenter, dans un repère orthonormé(O,−→

i ,−→

j), la courbe représentativeC de la fonction f : R+ → R, x7→ x² −2, le point A de C d'abscisse a et, pour tout entier naturel n, le point M_n deC d'abscisse u_n.

On pourra montrer que pour tout entier naturel n, le réel u_n+1 est l'abscisse du point d'intersection de la droite(AMn)avec l'axe(0,−→

i). 3. Soitnun entier naturel.

a)Montrer que un+1−√ 2 = ^a−

√2

a+un(un−√ 2). b)En déduire que |u_n+1−√

2|6 1−

√2 a

· |u_n−√ 2|. c)Montrer nalement que |u_n−√

2|6 1−

√2 a

n· |u₀−√ 2|.

On aurait également pu appliquer l'inégalité des accroissements nis àx7→ ^2+ax_a+x. 4 . a)Choisir un réel apour lequel la suite(un)n∈Nconverge.

b)Ne connaissant pas√

2, écrire une fonction approx1(m) qui donne une valeur approchée de

√2 à 10⁻m près. Déterminer le nombre d'itérations eectuées par cet algorithme en fonction de m.

Partie II : Méthode de Newton - Algorithme de Babylone

On considère la suite(an)n∈N dénie par récurrence para0 = 1,5 et pour tout entier naturel n, a_n+1 = ¹₂(a_n+_a²

n).

5. Montrer que la suite(an)n∈N converge vers√ 2.

On pose pour toutn∈N,bn= ^an−

√2 an+√

2.

6 . a)Montrer que pour tout n∈N,b_n+1=b²_n. b)En déduire que pour toutn∈N,0< a_n−√

26(a₀+√

2)·(a₀−√ 2)²ⁿ. c) Écrire une fonction approx(m) qui donne une valeur approchée de√

2 à 10⁻m près. Déter- miner le nombre d'itérations eectuées par cet algorithme en fonction de m.

7. Proposer une interprétation géométrique de la méthode de Newton.

Partie III : Un problème de point fixe

On généralise dans cette partie les résultats obtenus dans les questions précédentes. Soientϕune fonction dénie sur un intervalleI = [a, b]de Retα∈I tel queϕ(α) =α.

8. On suppose que ϕ est de classe C¹ et qu'il existe un réel m < 1 tel que pour tout x ∈ I,

|ϕ⁰(x)|6m.

Stanislas A. Camanes

T.D. 12. Fonctions d'une variable réelle MPSI 1

Soientε >0 etJ =]α−ε, α+ε[un intervalle inclus dansI et centré enα etu₀ ∈J. On dénit par récurrence la suite(u_n)n∈N paru_n+1 =ϕ(u_n).

a)Montrer que (u_n) est bien dénie.

b)Montrer que pour tout entier n,|u_n−α|6mⁿ|u₀−α|. c)En déduire que la suite (un)n∈N converge.

9. On suppose que ϕ est de classe C² sur l'intervalleI et que m₁ est un réel tel que pour tout x∈I,|ϕ⁰⁰(x)|6m1. On suppose de plus que ϕ⁰(α) = 0.

a)Montrer que pour toutn∈N,|u_n+1−α|6m1|u_n−α|².

b)En déduire qu'on peut choisir u₀ pour rendre la suite(u_n)n∈Nconvergente vers α.

Stanislas A. Camanes