Stanislas
T.D. 12
Fonctions d'une variable réelle
Approximations de√ 2
MPSI 1 2015/2016
Partie I : Une méthode géométrique
Soit a >0 tel que a2 6= 2. On note (un)n∈N la suite dénie par récurrence par u0 ∈R+\{a} et pour tout entire natureln,un+1 = 2 +aun
a+un .
1. Montrer que la suite(un) est bien dénie et que pour tout entier naturel n,un6=a. 2.Représenter, dans un repère orthonormé(O,−→
i ,−→
j), la courbe représentativeC de la fonction f : R+ → R, x7→ x2 −2, le point A de C d'abscisse a et, pour tout entier naturel n, le point Mn deC d'abscisse un.
On pourra montrer que pour tout entier naturel n, le réel un+1 est l'abscisse du point d'intersection de la droite(AMn)avec l'axe(0,−→
i). 3. Soitnun entier naturel.
a)Montrer que un+1−√ 2 = a−
√2
a+un(un−√ 2). b)En déduire que |un+1−√
2|6 1−
√2 a
· |un−√ 2|. c)Montrer nalement que |un−√
2|6 1−
√2 a
n· |u0−√ 2|.
On aurait également pu appliquer l'inégalité des accroissements nis àx7→ 2+axa+x. 4 . a)Choisir un réel apour lequel la suite(un)n∈Nconverge.
b)Ne connaissant pas√
2, écrire une fonction approx1(m) qui donne une valeur approchée de
√2 à 10−m près. Déterminer le nombre d'itérations eectuées par cet algorithme en fonction de m.
Partie II : Méthode de Newton - Algorithme de Babylone
On considère la suite(an)n∈N dénie par récurrence para0 = 1,5 et pour tout entier naturel n, an+1 = 12(an+a2
n).
5. Montrer que la suite(an)n∈N converge vers√ 2.
On pose pour toutn∈N,bn= an−
√2 an+√
2.
6 . a)Montrer que pour tout n∈N,bn+1=b2n. b)En déduire que pour toutn∈N,0< an−√
26(a0+√
2)·(a0−√ 2)2n. c) Écrire une fonction approx(m) qui donne une valeur approchée de√
2 à 10−m près. Déter- miner le nombre d'itérations eectuées par cet algorithme en fonction de m.
7. Proposer une interprétation géométrique de la méthode de Newton.
Partie III : Un problème de point fixe
On généralise dans cette partie les résultats obtenus dans les questions précédentes. Soientϕune fonction dénie sur un intervalleI = [a, b]de Retα∈I tel queϕ(α) =α.
8. On suppose que ϕ est de classe C1 et qu'il existe un réel m < 1 tel que pour tout x ∈ I,
|ϕ0(x)|6m.
Stanislas A. Camanes
T.D. 12. Fonctions d'une variable réelle MPSI 1
Soientε >0 etJ =]α−ε, α+ε[un intervalle inclus dansI et centré enα etu0 ∈J. On dénit par récurrence la suite(un)n∈N parun+1 =ϕ(un).
a)Montrer que (un) est bien dénie.
b)Montrer que pour tout entier n,|un−α|6mn|u0−α|. c)En déduire que la suite (un)n∈N converge.
9. On suppose que ϕ est de classe C2 sur l'intervalleI et que m1 est un réel tel que pour tout x∈I,|ϕ00(x)|6m1. On suppose de plus que ϕ0(α) = 0.
a)Montrer que pour toutn∈N,|un+1−α|6m1|un−α|2.
b)En déduire qu'on peut choisir u0 pour rendre la suite(un)n∈Nconvergente vers α.
Stanislas A. Camanes