Calcul du nombre ζ (2)

Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

Calcul du nombre ζ (2)

Introduction

L’objectif de ce problème est de déterminer une expression explicite des trois sommes

+∞X

n=1

1 n²,

+∞X

n=1

1

(2n−1)² et

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n² . On considère la suite (S_n)_n∈N^∗définie par

∀n∈N^∗, Sn= Xn k=1

1 k².

I. Un encadrement de S

Dans cette partie, nous allons encadrer le nombreSn pour toutn∈N^∗. Rappelons que la fonction co- tangente, notée cotan, est le quotient de cos par sin. On définit la suite (T_n)n∈N^∗ par

∀n∈N^∗, Tn=

n

X

k=1

cotan² µ kπ

2n+1

¶ .

1. Montrer que l’on a l’inégalité sin(x)<x<tan(x) pour toutx∈ i

0,π 2 h

. 2. En déduire que l’on a l’inégalité

∀x∈ i

0,π 2 h

, cotan²(x)< 1

x²<1+cotan²(x).

3. Conclure que l’on a l’inégalité

∀n∈N^∗, T_n<(2n+1)²

π² S_n<n+T_n.

II. Expression simple de T

Dans cette partie, on fixe un entiern∈N^∗. Nous allons déterminer une expression deT_n. On note

∀n∈N^∗, Pn= Xn k=0

Ã2n+1 2k+1

!

(−1)^kX^n−k∈R[X].

1. En utilisant la relation sin((2n+1)t)=Im¡

(cos(t)+i sin(t))²ⁿ⁺¹¢

, montrer que

∀t∈ i

0,π 2 h

, sin((2n+1)t)=P_n¡

cotan²(t)¢

sin²ⁿ⁺¹(t).

2. En déduire que le polynômesP_nest scindé à racines simplesx₁, . . . ,x_n∈Roù

∀k∈J^1,nK^{, x}k=cotan² µ kπ

2n+1

¶ .

3. En utilisant les relations entre les coefficients et les racines deP_n, en déduire que T_n=n(2n−1)

3 .

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Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

III. Conclusion

Dans cette partie, on utilise les résultats des parties précédentes pour calculer les sommes étudiées. On considère les suites (I_n)_n∈N^∗et (A_n)_n∈N^∗ définies par

∀n∈N^∗, I_n=

n

X

k=1

1

(2k−1)² et A_n=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k² .

1. En utilisant les résultats des parties précédentes, montrer que

+∞X

n=1

1 n²=π²

6 . 2. Montrer que les séries X

n>¹

1

(2n−1)²et X

n>¹

(−1)ⁿ⁻¹

n² sont convergentes.

3. Montrer que pour toutn∈N^∗, on a

S_2n+1=1

4S_n+I_n. 4. En déduire une expression explicite de la somme

+∞X

n=1

1 (2n−1)². 5. Montrer que pour toutn∈N^∗, on a

A2n= −1

4Sn+In−1 et A2n+1= −1

4Sn+In.

6. En déduire une expression explicite de la somme X

n>1

(−1)ⁿ⁻¹ n² .

Fin

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