Intégration par partie
1 En effectuant une intégration par parties, calculer : ⌡⌠ 0
p x sin x dx : ⌡⌠ 1
2 x ln x dx : ⌡⌠ 0
1 (2 x + 1) ex dx 2 Calculer : ⌡⌠
1 eln x
x2 dx : ⌡⌠ 1
x ln t dt : ⌡⌠ 2
1/2 (x3 + 1) dx
3 En effectuant deux intégrations par parties successives, calculer :⌡⌠ –1
1 (x + 1)2 e–x dx : ⌡⌠ –p
0 x2 sin 2 x dx 4 En effectuant deux intégrations par parties successives, calculer ⌡⌠
0
π e2x sin x dx
5 On pose I = ⌡⌠ 0
π/4 (2 x + 1) cos2 x dx et J = ⌠⌡0 π 4 ⌡⌠
0
π/4 (2 x + 1) sin2 x dx 1° Calculer I + J.
2° Calculer I – J à l'aide d'une intégration par parties.
3° En déduire les valeurs de I et de J.
6 Intégration par partie
On cherche à calculer les intégrales suivantes : I =
⌡
⌠ 0
1 dx
x2 + 2 : J =
⌡
⌠ 0
1 x2 x2 + 2
dx : K = ⌡⌠ 0
1 x2 + 2 dx.
1° Calcul de I. Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par : f(x) = ln (x + x2 + 2).
a) Calculer la dérivée de la fonction x → x2 + 2. b) En déduire la dérivée f ' de f c) Calculer la valeur de I.
2° Calcul de J et de K a) Sans calculer explicitement J et K, vérifier que J + 2 I = K.
b) A l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K , montrer que K = 3 – J.
c) En déduire les valeurs de J et de K.
7 Intégration par partie
On se propose de calculer l'intégrale J =
⌡
⌠ 0
1 x ex
(1 + ex)3 dx1° Calculer les deux intégrales : A =
⌡
⌠ 0
1 ex 1 + ex dx 2° Déterminer trois nombres a , b et c tels que, pour tout nombre réel t positif ou nul, on ait :
1
(1 + t)2 = a + b t
1 + t + c t (1 + t)2
3° En posant t = ex dans l'égalité (1) , calculer l'intégrale I = ⌡⌠ 0
1 1
(1 + ex)2 dx
4° a) A l'aide d'une intégration par parties exprimer J en fonction de I. b) En déduire la valeur de J. A l'aide de la calculatrice donner une valeur approchée de J à 10–2 près
8 Intégration par partie : ⌡⌠
– π
0 x cos x dx ; ⌡⌠
0
π x2 cos x dx ; ⌡⌠
0
1 x2 ex dx ; ⌡⌠
–1
-2
x ex2 dx ;
