SRC1 Examen janvier 09 maths
Examen de maths. Semestre 1.
Vous pouvez faire les exercices et les questions dans l’ordre que vous souhaitez, et admettre les questions non trouvées pour continuer. Les calculatrices sont autorisées.
Exercice 1. Intégration.
1. CalculezRπ2
0 (t+ 2 cos(t) + 3et)dt.
2. CalculezR3
1 t2lntdt.
3. Soit g la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-contre. CalculezR4
0 g(t)dtpuisR4
−2g(t)dt.
4. Soit la fonctionf(x) =Rx 1
1
tdt que l’on définit pour x ≥ 1. Sans calculer l’intégrale, dites quel est le signe de f(x) pour x∈]1; +∞[. En quel(s) point(s) de[1; +∞[f s’annule-t-elle ? Que vautf(2)?
5. CalculezR2 1
1+t t dt
Exercice 2. Logique.
1. Faites la table de vérité de l’expression[A∧(A⇒B)]⇒B. Comment appelle-t-on une telle expression ? 2. Soit l’expression [A∧[(A∧B)⇒C]]⇒C. Simplifiez cette expression grâce aux règles de la logique (il ne doit
rester que trois lettres...). Ensuite, vérifiez votre résultat au moyen d’une table de vérité.
3. On note Hl’ensemble de tous les hommes,F l’ensemble de toutes les femmes, si H est un homme et F est une femme, on note M(H, F) le fait qu’ils sont mariés. Si I et J sont des individus (homme ou femme), on note V(I, J) le fait qu’ils vivent dans la même ville. Si I est un individu, on note E(I) le fait qu’il peut tomber enceinte. Traduisez en langage mathématiques (en utilisant∀,∃,⇒,∧,∨,¬) les énoncés suivants :
– Toutes les femmes peuvent tomber enceinte et aucun homme ne peut tomber enceinte.
– Un homme et une femme mariés ensemble vivent dans la même ville.
– Il existe des femmes enceintes non mariées.
4. Quelle est la contraposée de ”I a plus de 18 ans⇒I peut voter” ? Quelle en est la réciproque ? Inventez une loi (vous êtes le président d’un pays imaginaire...) qui rende cette implication vraie et sa réciproque fausse.
5. On considère le prédicat P :x6=y⇒(x+ 1)(y−1)6= (x−1)(y+ 1). Quelle est la contraposée de P ? Quelle est la réciproque de P ? Démontrez que pour tout x et pour tout y P est vrai.
6. Que signifie en français l’énoncé : ∀x ∈N,∀y ∈ N∗∃z ∈ Ntq x < z ≤x+y? Démontrez rigoureusement cet énoncé.
