|| INTÉGRATION PAR PARTIES

INTÉGRATION PAR PARTIES

A RETENIR !!!

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. a te b sont deux réels de I.

A. Montrer le théorème suivant :

Théorème (intégration par parties) : Soit deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I. on suppose que les fonctions u ' et v ' sont continues sur I. Alors pour tous réels a et b de I :

 

a bu( x) v′(x )dx=

 

  u( x) v( x)

a b −  

a bu′(x )v (x )dx .

B. Applications : a. Calculer I  

0

x cos(x )dx ; J  

1

4

xln ( x)dx ; K  

0

2

(x 2)e

dx et L  

1

1

x ² e

dx (en appliquant deux fois le théorème)

b. Soit a 0 (réel fixé). Calculer l’intégrale I =

1^a

ln dt t

 . En déduire une primitive de la fonction ln sur ]0 [.

C. Avec des suites…

Le but de l’exercice est d’approcher ln(1 a ) par un polynôme de degré 5 lorsque a appartient à l’intervalle [0 ; + [.

Soit a un réel positif. On note I

(a) =

 

0 a

dt

1+t et pour tout k de *, I

(a )

 



0

a

(t a )

(1 t)

dt . 1. Calculer I

(a ) en fonction de a.

2. A l’aide d’une intégration par parties, exprimer I

( a) en fonction de a . 3. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout k de * : I

(a ) (-1)

a

k +1 I

( a).

4. Soit P le polynôme défini sur par P (x ) 1

5 x

 1

4 x

1

3 x

 1

2 x² x.

Montrer, en calculant I

( a), I

( a) et I

(a ) que I

( a) ln(1+ a)P (a ).

5. Soit J (a)  

0

a

(t −a )

dt . Calculer J( a).

6.

a. Montrer que pour tout t de [0 a], (t a )

(1 t )

(t a )

b. Montrer que pour tout a positif, J (a )  I

(a )  0.

7. En déduire que pour tout a positif, | ^{ln(1+ a)− P( a) } | ^a

6

6 .

8. Déterminer, en justifiant, un intervalle sur lequel P (a ) est une valeur approchée de ln(1 a ) à 10

près.

9. En déduire une valeur approchée de ln(1,4).