ÉCS2
Memento sur les intégrales impropres.
Les essentiels.1 Intégrales de référence
¬ Pour a∈] 0 ; +∞[, Z +∞
a
dt
tag converge si, et seulement si,α >1.
Pour a < b deux réels, Z b
a
dt (t−a)ag et
Z b
a
dt
(b−t)ag convergent si, et seulement si, α <1.
® Z +∞
0
e−αtdtconverge si, et seulement si, α >0.
2 Critères de convergence
¬ Si Z b
a
f(t)dtdiverge etf est positive, alors Z b
a
f(t)dtdiverge vers +∞.
• Pour f : [a;b[ (b 6= +∞) → R continue telle que lim
t→bf(t) existe et est finie, Z b
a
f(t)dtexiste.
f est prolongeable par continuité enbet Z b
a
f(t)dtestfaussement impropre.
• De même, pourf : ]a;b] (a6=−∞)→Rcontinue telle que lim
t→af(t)existe et est finie,
Z b
a
f(t)dtexiste.
® Pour f, g: ]a;b[→Rcontinues, POSITIVES, telles quef 6g, on a :
• Z b
a
g(t)dt existe=⇒ Z b
a
f(t)dt existe ;
• Z b
a
f(t)dtn’existe pas=⇒ Z b
a
g(t)dt n’existe pas.
¯ • Pourf, g: [a;b[→Rcontinues, POSITIVES, telles que f(t) ∼
t→bg(t), Z b
a
f(t)dtet Z b
a
g(t)dt sont de même nature.
• Pourf, g: ]a;b]→Rcontinues, POSITIVES, telles que f(t) ∼
t→ag(t), Z b
a
f(t)dtet Z b
a
g(t)dt sont de même nature.
° • Pour f, g: [a;b[→Rcontinues, avecg POSITIVE, telles que f(t) = o
t→b g(t) , on a :
Z b
a
g(t)dt existe=⇒ Z b
a
f(t)dt existe ;
• Pour f, g: ]a;b]→Rcontinues, avecg POSITIVE, telles quef(t) = o
t→a g(t) , on a :
Z b
a
g(t)dtexiste=⇒ Z b
a
f(t)dtexiste ;
± Si Z b
a
|f(t)|dtexiste, alors Z b
a
f(t)dtexiste, et on a l’inégalité triangulaire :
Z b
a
f(t)dt
6 Z b
a
|f(t)|dt.
On dit que Z b
a
f(t)dt estabsolument convergente.
3 Techniques de calcul et/ou de convergence
3.1 Intégration par parties
On réalise l’intégration par parties sur un segment [a; B ] (resp.[ A ; b]), puis on fait tendreBversb− (resp.Aversa+).
Pour un exemple, voir fiche «Fonction Gamma d’Euler », paragraphe 7.
3.2 Changement de variable
Soitϕ: ]a;b[→RdeclasseCCC111 et strictement monotone.
Soitf :ϕ ]a;b[
−→Rcontinue.
Alors Z lim
b−
ϕ lim
a+ ϕ
f(u)duet Z b
a
f(ϕ(t))ϕ0(t)dtsont de même nature, et égale en cas d’exis- tence.
En général, on baptiseu: ]a;b[→R, t7→ϕ(t)et on écrit du
dt =ϕ0(t). Autrement dit, on assimile la nouvelle variable à la fonctionϕ.
4 Fonction Gamma d’Euler
Pour toutx >0, Γ(x)déf.= Z +∞
0
tx−1e−tdt existe.
Propriété deΓ:
¬ Γest définie sur] 0 ; +∞[;
∀x >0, Γ(x+ 1) =xΓ(x);
® ∀n∈N∗, Γ(n) = (n−1)!;
¯ Γ(1/2) =√ π.
Lycée HenriPoincaré 1/1 lo
