Intégration, transformations intégrales et applications

(1)

F. Maisonneuve, Mathématiques 2. Intégration, transformations intégrales et applications.

Cours et exercices, Paris : Presses des MINES, Collection Les cours, 2014.

ISBN : 978-2-35671-074-1

60, boulevard Saint-Michel - 75272 Paris Cedex 06 - France presses@mines-paristech.fr

www.pressesdesmines.com

Dépôt légal : 2014

Achevé d’imprimer en 2014 (Paris)

Tous droits de reproduction, de traduction, d’adaptation et d’exécution réservés pour tous les pays.

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Mathématiques 2

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(4)

Mathématiques 2

Intégration, transformations intégrales et applications

Cours et exercices

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(5)

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CALCUL INTÉGRAL

(7)

(8)

Sommaire

Préface v

Remerciements vii

Introduction ix

1 Tribus et applications mesurables 1

1.1 Tribus et tribus engendrées . . . 1

1.2 Applications mesurables . . . 5

1.3 Sous espaces mesurables . . . 9

1.4 Produit d’espaces mesurables . . . 11

1.5 Exercices corrigés . . . 15

1.6 Exercices . . . 19

2 Mesures positives 21 2.1 Généralités . . . 21

2.2 Mesures positives de Radon surR. . . 25

2.3 Ensembles négligeables . . . 28

2.4 Image d’une mesure par une application . . . 30

3 Intégration des fonctions positives 39 3.1 Définition de l’intégrale surE⁺ . . . 39

3.2 L’intégrale surM⁺ . . . 42

3.3 Intégrale sur un espace produit . . . 51

(9)

ii SOMMAIRE

4 Intégration des fonctions réelles. . . 63

4.1 Définition de l’intégrale . . . 63

4.2 Espace vectorielL¹(E,T, µ) . . . 66

4.3 Comparaison des méthodes d’intégration . . . 70

4.4 Le théorème de convergence dominée de Lebesgue . . . 74

4.5 Fonctions définies par une intégrale . . . 79

4.6 Changements de mesures . . . 86

4.7 Intégrale sur un espace produit . . . 88

4.8 Intégrale des fonctions à valeurs complexes . . . 91

4.10 Exercices . . . 100

5 L’espace de Hilbert L²(E,T, µ) 103 5.1 Rappels sur les espaces préhilbertiens . . . 103

5.2 Les espacesL²_K(E,T, µ)etL²_K(E,T, µ). . . 106

5.3 Théorème de projection et orthogonalité . . . 108

5.4 Bases hilbertiennes et séries de Fourier . . . 113

5.5 Séries de Fourier des fonctions périodiques . . . 116

5.7 Exercices . . . 129

6 Transformation de Fourier des fonctions. . . 131

6.1 Définitions et premières propriétés . . . 132

6.2 Inversion de la transformation de Fourier . . . 136

6.3 Transformation de Fourier et dérivation . . . 140

6.4 Transformation de Fourier dansL²(R) . . . 144

6.6 Exercices . . . 159

7 Transformation de Laplace des fonctions. . . 161

7.1 Transformation de Laplace dansL¹_loc(R) . . . 162

7.2 Transformation de Laplace et dérivation . . . 166

7.3 Transformation de Laplace des mesures positives de Radon . . . 169

(10)

SOMMAIRE iii

7.5 Exercices . . . 179

8 Convolution des mesures et des fonctions 181 8.1 Convolution des mesures positives . . . 182

8.2 Convolution des fonctions . . . 185

8.3 Convolution et transformation de Fourier – Laplace . . . 190

8.5 Exercices . . . 202

9 Echantillonnage et analyse de Fourier 207 9.1 Conversion analogique-digitale . . . 208

9.2 Aliasing et repliement spectral . . . 215

9.3 Preuves élémentaires des résultats précédents . . . 218

A – Conversion analogique-digitale . . . 218

B – Repliement spectral et pré-filtrage . . . 220

9.4 Filtrage linéaire homogène . . . 225

9.5 Conclusion . . . 227

9.7 Exercices . . . 234

10 Une introduction aux distributions 237 10.1 Représentation des grandeurs physiques . . . 237

10.2 Distributions d’ordre fini . . . 239

10.3 Dérivation des distributions . . . 243

10.4 Multiplication et convergence des distributions . . . 247

10.6 Exercices . . . 258

A Exercices et problèmes annotés 259 A.1 Exercices . . . 259

A.2 Problèmes . . . 261

Indications bibliographiques 271

Index alphabétique 273

(11)

(12)

Préface

Être titulaire pendant plus de quinze ans des quatre chaires d’enseignement du tronc commun de mathématiques du cycle ingénieurs civils de l’Ecole des Mines de Paris est une gageure que peu auraient accepté de relever.

Bénéficier, dans l’exercice de ce travail, du respect et du soutien constant de ses élèves, qui, s’ils n’ont pas tous pu, su ou voulu apprécier la richesse du problème de Cauchy, ont toujours en revanche loué la rigueur scientifique et la qualité pédagogique des cours et supports de cours de mathématiques, bénéficier de ce soutien et de ce respect donc est certainement ce qui restera quand viendra le temps de saluer ce grand professeur qu’est Francis Maisonneuve.

Je sais que ces ouvrages resteront longtemps une référence, et espère que les promotions futures et autres lecteurs sauront apprécier la finesse et la qualité de ce qui leur est proposé ici.

Je souhaite à tous les établissements d’enseignement de disposer de tels cours.

Nicolas Cheimanoff

Directeur de l’Enseignement MINES ParisTech

(13)

(14)

Remerciements

Je tiens à exprimer ma reconnaissance aux jeunes — et moins jeunes — ma- thématiciens professionnels et ingénieurs de recherche qui m’ont fait l’honneur d’animer une ou plusieurs années les séances d’exercices illustrant les éléments de cours, et qui m’ont suggéré à cette occasion de multiples améliorations tou- chant au fond comme à la forme. Je tiens aussi à remercier les nombreux étudiants « utilisateurs » qui, par la qualité de leurs questions, la rigueur de leurs critiques ou la logique apparente de certaines interprétations parfois fort éloignées de celles escomptées, ont contribué à faire évoluer la rédaction des documents vers plus de clarté.

De manière plus générale, je voudrais souligner la qualité des relations intel- lectuelles et humaines qui prévaut à tout niveau dans l’établissement où j’ai le plaisir d’exercer mon métier d’enseignant mathématicien depuis de nombreuses années, et où s’expriment des talents très divers. Que tous en soient remerciés ! Francis Maisonneuve

(15)

(16)

Introduction

Dans de nombreuses situations, et en particulier en probabilités, on a besoin d’étendre la notion d’intégrale à des fonctions définies sur des espaces “abs- traits” E bien plus généraux queR ou R^m. Comme on ne dispose en général sur de tels espaces ni de structure d’ordre ni de topologie, on ne peut plus conserver le schéma banal de construction de l’intégrale, fondé sur des sub- divisions de plus en plus fines de l’ensemble de définition E des fonctions considérées, suivi d’un passage à la limite.

L’idée fondamentale de la théorie de l’intégration par les mesures abstraites consiste à utiliser la structure d’ordre de l’espace d’arrivée Rdes fonctions à intégrer pour faire les découpages (coupes horizontales et non plus verticales du graphe).

Ceci conduit à considérer dans une première étape la classe desfonctions in- dicatricesde sous-ensembles deE, et à tenter de définir leur intégrale comme lamesuredes sous-ensembles correspondants : à charge pour cette fonction de mesure de vérifier une propriété forte d’additivité, qui garantisse la linéarité de l’intégrale, ainsi qu’une forme convenable de “continuité” permettant son prolongement par passage à la limite.

L’intérêt de cette démarche nouvelle, fondée sur un jeu d’hypothèses minimum, est sa grande généralité : la liberté du choix de la fonction de mesure permettra de définir une intégrale “sur mesure” adaptée à chaque contexte, et ce déjà dans le cas E =R où la nature commune des séries et des intégrales usuelles sera enfin élucidée. De plus on verra que la classe des fonctions intégrables relativement à une mesure est un espace vectoriel complet, caractéristique d’une théorie mathématique achevée.

Il reste d’abord à identifier la classe des sous-ensembles de E qu’une mesure peut effectivement prendre en compte, car ils ne pourront être tous mesurés que dans des cas très particuliers (si on accepte l’axiome du choix) : une telle classe, qui vérifie certaines propriétés de stabilité (notion de tribu), doit

(17)

x INTRODUCTION

impérativement être assez vaste pour que l’ensemble des fonctionsmesurables (c’est-à-dire candidates à être intégrées) qu’elle détermine contienne toutes les fonctions courantes !

Cette présentation élémentaire de l’intégrale de Lebesgue, qui répond très pré- cisément aux besoins des probabilistes, constitue la première partie de ce cours.

La seconde partie du cours est consacrée à l’étude de la transformation de Fourier (et de Laplace), encore appelée analyse harmoniqueou fréquentielle: il s’agit de la théorie mathématique de la décomposition d’une fonction en modes propres, selon la variable d’espace ou de temps.

Cette transformation intégrale joue un rôle majeur en sciences physiques et en mathématiques appliquées, par exemple lors de l’étude :

– du rayonnement électromagnétique et des transferts thermiques en physique ; – de la diffraction en cristallographie ;

– de la sismique en géophysique ;

– des fonctions de transfert des systèmes dynamiques linéaires et du traitement du signal en automatique ;

– du filtrage en analyse d’images.

Elles sert également d’outil de référence en électronique (fondement du calcul opérationnel d’Heaviside) et en probabilités (transformées des variables aléa- toires).

L’opération deconvolutionse présente de manière naturelle dans des contextes divers : régularisation des fonctions, (c’est-à-dire approximation des fonctions localement intégrables par des fonctionsC^∞), équations intégro-différentielles de Volterra, solutions élémentaires d’équations différentielles ou aux dérivées partielles linéaires en Analyse ; mais aussi loi de la sommede deux variables aléatoires indépendantes en Probabilités, relation d’entrée / sortie d’un sys- tème linéaire stationnaire en Automatique, . . . Le fait que l’opération “duale”

qui lui correspond par transformation de Fourier — ou de Laplace — soit la multiplicationordinaire des fonctions numériques explique, pour une bonne part, l’usage intensif de ces transformations intégrales.

Transformation de Fourier – Laplace et convolution s’étendent de manière fé- conde aux espaces de distributions. La théorie des distributions, synthèse du calcul différentiel et du calcul intégral, s’est rapidement imposée pour l’étude

(18)

INTRODUCTION xi

des équations aux dérivées partielles dans le cadre hilbertien des espaces de Sobolev, et comme un langage obligé en physique mathématique. Nous don- nerons un simple aperçu du sujet au dernier chapitre en se restreignant aux distributions d’ordre fini.

(19)

(20)

Chapitre 1

Tribus et applications mesurables

1.1 Tribus et tribus engendrées

Définition 1.1.1 On appelle tribu de parties d’un ensemble E tout sous- ensemble T de l’ensemble P(E) des parties de E (c-à-d. des sous-ensembles de E), vérifiant les trois propriétés :

(1) A∈ T ⇒A^c∈ T (^c pour complémentaire) (2) E ∈ T et∅ ∈ T

(3) (A_n)_n∈

N∈ T^N =⇒ S

n

A_n ∈ T et T

n

A_n∈ T

où on remarque que, grâce à (1), on peut remplacer etpar ou dans(2)et (3).

AinsiA∈ T =⇒A⊂E : un élémentAdeT est un sous-ensemble (unepartie) deE; d’autre part une tribu esta fortioristable parréunion et intersection finies, comme on le déduit des propriétés de stabilité dénombrable (3), en choisissant tous lesAn sauf un nombre fini d’entre eux égaux à∅(resp. àE).

Définition 1.1.2

• On appelle espace mesurable le couple (E,T), où T est une tribu de parties de l’ensemble E.

• Toutepartie(cf. ci-dessus)AdeE telle queA∈ T est dite (T-)mesurable.

(21)

2 chapitre 1. TRIBUS ET APPLICATIONS MESURABLES

Proposition 1.1.3 (tribu engendrée)

Etant donné un sous-ensemble S ⊂ P(E) de l’ensemble des parties de E, il existe uneplus petite tribu(au sens de l’inclusion) contenantS, notéeT_E(S) et appelée tribu engendréepar S.

Preuve On vérifie immédiatement que l’intersection de toute famille non vide de tribus de parties de E est encore une tribu ; de sorte que TE(S) est simplement l’intersection de toutes les tribus contenantS, famille dont fait partieP(E). ut Remarque 1.1.4 La notion de tribu engendrée constitue le mode principal de définition d’une tribu, du fait de l’absence fréquente de caractérisation explicite de ses éléments ; ceci conduit à des raisonnements indirects, du type suivant : pour établir qu’une propriété Pr est vérifiée sur une tribu donnée, on montre que c’est le cas sur un de ses sous-ensembles générateurs S, puis que le sous- ensemble de P(E)où P_r est vérifiée est structurellement une tribu.

Définition 1.1.5

• On appelletribu de Boreld’un espace métriqueE la tribuB(E) =TE(O) engendrée par l’ensembleO⊂ P(E)des ouverts deE.

• Toute partie A∈ B(E) est dite partie borélienneou boréliendeE. Ainsi lesouverts, lesfermés— en particulier lessingletons— deE sont des boréliens.

De multiples sous-ensembles de parties peuvent engendrer la même tribu : Proposition 1.1.6

• La tribu de Borel de R est engendrée par l’une quelconque des familles d’intervalles

{]a, b[}_a<b;{[a, b]}_a<b;{[a, b[}_a<b;{]a, b]}_a<b;

{]− ∞, a[}_a∈R;{]− ∞, a]}_a∈R;{]a,+∞[}_a∈R;{[a,+∞[}_a∈R .

• La tribu de Borel de R est engendrée par l’une quelconque des familles d’intervalles

{[−∞, a[}_a∈_R;{[−∞, a]}_a∈_R;{]a,+∞]}_a∈_R;{[a,+∞]}_a∈_R.

(22)

1.1. Tribus et tribus engendrées 3

Preuve

• Un ouvert deR est par définition une réunion d’intervalles ouverts, dont on peut imposer que les extrémités soient rationnelles ; ainsi tout ouvert s’exprime comme une réunion finie ou dénombrable d’éléments deS={]a, b[}_a<b, de sorte queO⊂T_R(S) et donc T_R(O) ⊂ T_R(S) (cf. le complément ci-dessous, corollaire 1.1.10) ; comme d’autre partS ⊂O, doncT_R(S)⊂T_R(O), on conclutB(R)^d´=^efT_R(O) =T_R(S).

L’égalité avec les tribus engendrées par les autres familles d’intervalles découle alors des points suivants :

· [a, b],[a, b[,]a, b],]− ∞, a[,]− ∞, a],]a,+∞[,[a,+∞[∈ B(R)

(chacun de ces intervalles est soit ouvert, soit réunion d’un ouvert et de 1 ou 2 singletons) ;

· ]a, b[ = S

n∈N^∗

[a+_n¹, b−¹_n] = S

n∈N^∗

[a+_n¹, b[ = S

n∈N^∗

]a, b−_n¹];

· [a, b[ = ]− ∞, b[∩]− ∞, a[^c= [a,+∞[∩[b,+∞[^c et]a, b] = ]− ∞, b] ∩ ]− ∞, a]^c= ]a,+∞[∩]b,+∞[^c.

•Raisonnement voisin laissé au soin du lecteur. ut

Complément : indications sur les cardinaux d’ensembles Définition 1.1.7 Un ensemble E est dit (de cardinal) dénombrable (au sens strict) s’il existe une bijection n7→an de N^∗ sur E, qui constitue une numé- rotation et qui fournit une énumération exhaustive des éléments deE :

E={a1, a2, . . . , an, . . .}.

Exemples 1.1.8

• NetZ sont dénombrables : considérer les numérotations respectives n∈N^∗7−→n−1∈N et n∈N^∗7−→(−1)ⁿE n

2 ∈Z

oùEdésigne la fonction partie entière ; ce qui détermine les énumérations N={0,1,2, . . .} et Z={0,1,−1,2,−2, . . .}.

Proposition 1.1.9

• SoitF un ensemble dénombrable et soitE un ensemble en bijection avec F (E est dit équipotent àF) ; alors E est aussi dénombrable.

• Soit E un ensemble dénombrable ; tout sous-ensemble infini (c’est-à-dire non fini) F ⊂E est aussi dénombrable.

(23)

• Soit(Em)_m∈N∗ une suite d’ensembles dénombrables ; leur réunion S

m∈N^∗

Em

est aussi dénombrable.

• Soient E etF deux ensembles dénombrables ; l’ensemble produit E×F ^d´=^ef

(x, y) :x∈E ety∈F est aussi dénombrable.

Preuve

• Soitn∈N^∗7−→an∈F une numérotation deF et soitϕ:F →Eune bijection deF surE; alorsn∈N^∗7−→ϕ(an)est une numérotation deE.

• Soitn∈N^∗7−→an∈E une numérotation deE. On pose ϕ(1) =n1

d´ef

= min{n∈N^∗:an∈F} et par récurrence,∀k≥2,ϕ(k) =nk

d´ef

= min{n > nk−1:an∈F}.

CommeF n’est pas un ensemble fini, l’applicationϕest bien définie surN^∗et c’est une injection croissante deN^∗dansN^∗. De plus,∀k∈N^∗, on aaϕ(k)∈F et tous les éléments deF sont de cette forme ; de sorte quek∈N^∗7−→aϕ(k)est une numérotation deF ( a_ϕ(k)

k∈N^∗ est la suite extraite de(an)_n∈N∗ constituée des points de cette suite qui sont dansF).

• Soit pour toutm∈N^∗,Em={a^(m)₁ , a^(m)₂ , . . .} une énumération de l’ensemble Em; on a l’énumération de S

m∈N^∗

Em : S

m∈N^∗

Em={a⁽¹⁾₁ , a⁽¹⁾₂ , a⁽²⁾₁ , a⁽¹⁾₃ , a⁽²⁾₂ , a⁽³⁾₁ , . . .}

obtenue en balayant en diagonale le matrice infinie A= a^(m)n

(m,n)∈N^∗2 qui contient tous les points de S

m∈N^∗

Em.

• Soitn∈N^∗7−→an∈E une numérotation deE. On aE×F = S

m∈N^∗

{a_m} ×F, où∀m∈N^∗,Em

d´ef

= {a_m} ×F est en bijection évidente avecF : on applique

les points 1 et 3 précédents. ut

Corollaire 1.1.10 Qet Q² sont des ensembles dénombrables.

Preuve En effet l’ensemble produit Z×N^∗ est dénombrable d’après ci-dessus, et l’application

r∈Q7→(p, q)∈Z×N^∗ où p

q est la forme irréductible der

est injective. Q est donc en bijection avec un sous-ensemble infini de Z×N^∗, qui est dénombrable d’après le deuxième point de la proposition précédente ; doncQest aussi dénombrable d’après le premier point de cette proposition, ainsi queQ²d’après

son quatrième point. ut

(24)

1.2. Applications mesurables 5

A contrario, il importe de savoir que

Proposition 1.1.11 R, et plus généralement tout sous-ensemble de R qui contient un intervalle non trivial (c’est-à-dire ni vide, ni réduit à un point) est infini non dénombrable.

Preuve On raisonne par l’absurde : S’il existait un tel sous-ensemble dénombrable, l’intervalle non trivial qu’il contient serait aussi dénombrable, puisqu’il n’est pas fini, de même que l’intervalle]0,1[qui est en bijection avec son intérieur (cf. la proposition précédente).

Soit alorsn∈N^∗7−→an∈]0,1[une numérotation de]0,1[; chaqueanadmettrait un développement décimal illimité de la forme :

an= 0, a⁽¹⁾n a⁽²⁾n . . . a^(m)n . . . où∀m∈N^∗,a^(m)n ∈ {0,1, . . . ,9}.

Alors l’élémentb∈Rdéfini par son développement décimal illimité : b= 0, b⁽¹⁾b⁽²⁾. . . b^(m). . . où∀m∈N^∗,b^(m)∈ {1, . . . ,8}est tel que

b^(m)−a^(m)m

≥2 vérifieraitb∈]0,1[et∀m∈N^∗,|b−am| ≥10^−m, de sorte queb6=am : contradiction avecn∈N^∗7−→an∈]0,1[numérotation de]0,1[. ut Remarques1.1.12

• Le raisonnement ci-dessus, appelé procédé diagonal, a été élaboré par le grand mathématicienCantor, fondateur de lathéorie des ensembles.

• La conjecture de Cantor, également dite hypothèse du continu, est que tout ensemble infini non dénombrable contient nécessairement une partie équipotente àR, ou aussi bien à l’intervalle]0,1[. On sait à présent qu’il s’agit d’un énoncéindécidable dans le cadre des axiomes habituels.

1.2 Applications mesurables

Etant donné une application f d’un ensemble E dans un ensemble E⁰, on désigne comme l’image réciproque de A⁰ ⊂E⁰ parf le sous-ensemble deE

f⁻¹(A⁰) ={x∈E :f(x)∈A⁰} ⊂E;

ceci revient à considérer une “application ensembliste” f⁻¹ : P(E⁰) → P(E), dont on rappelle qu’elle commute avec les opérations ensemblistes ^c,∪ et

∩^†1.

1Voir par exemple [1], paragraphe A.1

(25)

SiE⁰=R ouR, on notera en abrégé poura∈R:

{f < a}={x∈E:f(x)< a}=f⁻¹( ]− ∞, a[ )ouf⁻¹([−∞, a[ ) et, de manière analogue,{f ≤a},{f > a}et{f≥a}.

Etant donné un sous-ensemble S⁰ ⊂ P(E⁰), on désigne encore (abusivement) comme l’image réciproque de S⁰ par f le sous-ensemble de P(E)

f⁻¹(S⁰)^d´=^ef{f⁻¹(A⁰) :A⁰ ∈ S⁰}.

D’après les propriétés de commutation rappelées ci-dessus, on vérifie immédia- tement que

• si T⁰ est une tribu de parties de E⁰, f⁻¹(T⁰)est une tribu de parties de E appeléetribu réciproque deT⁰ par f.

• siT est une tribu de parties deE,Tf ={A⁰⊂E⁰ :f⁻¹(A⁰)∈ T }est une tribu de parties de E⁰ appelée tribu induite deT par f.

Définition 1.2.1 Soient (E,T)et (E⁰,T⁰)deux espaces mesurables.

• Une application f :E→E⁰ est dite mesurable pour T et T⁰, ce qu’on notera souvent

f : (E,T)→(E⁰,T⁰) mesurable

si f⁻¹(T⁰)⊂ T , c’est-à-dire ∀A⁰∈ T⁰, f⁻¹(A⁰)∈ T.

• Si T et T⁰ sont les tribus de Borel respectives de E et E⁰ espaces mé- triques, on dit encore que f estborélienne.

Remarque 1.2.2 Au sens de l’inclusion, la tribu réciproque f⁻¹(T⁰) (resp. la tribu induiteT_f) est donc laplus petite tribude parties deE (resp. laplus grande tribude parties deE⁰) telle quef : (E,T)→(E⁰,T⁰)soit mesurable.

Exemples 1.2.3

• L’application identiquede E idE : (E,T)→(E,T)est mesurable pour toute tribuT de parties deE puisqueid_E⁻¹(T) =T.

• Les applicationsconstantesf : (E,T)→(E⁰,T⁰)sont mesurables pour toutes tribusT etT⁰, car l’image réciproque parf de toute partie deE⁰ estE ou∅.

• Pour A∈ P(E), l’indicatrice(dite aussifonction caractéristique) deA:

(26)

1.2. Applications mesurables 7

1lA(x) =







1si x∈A 0si x /∈A

est mesurable si et seulement siA∈ T, car1l⁻¹_A B(R)

={∅, E, A, A^c}.

Théorème 1.2.4 (image réciproque d’un sous-ensemble générateur) Soit une application f :E →E⁰.

• Pour tout sous-ensembleS⁰⊂ P(E⁰), on a TE

f⁻¹(S⁰)

=f⁻¹[TE⁰(S⁰)] .

• f: (E,T)→(E⁰,T⁰)estmesurable si (et seulement si)

∃ S⁰ sous-ensemble générateur deT⁰ tel quef⁻¹(S⁰)⊂ T .

Preuve

• S⁰ ⊂TE⁰(S⁰)⇒f⁻¹(S⁰)⊂f⁻¹[TE⁰(S⁰)]⇒TE

f⁻¹(S⁰)

⊂f⁻¹[TE⁰(S⁰)] puisque f⁻¹[TE⁰(S⁰)]est une tribu (réciproque).

Inversement, S⁰ ⊂ TE

f⁻¹(S⁰)

f puisque ∀A⁰ ∈ S⁰, on a f⁻¹(A⁰) ∈ f⁻¹(S⁰) ⊂ TE

f⁻¹(S⁰)

; doncTE⁰(S⁰)⊂ TE

f⁻¹(S⁰)

f, ce qui veut dire que∀A⁰ ∈TE⁰(S⁰), f⁻¹(A⁰)∈TE

f⁻¹(S⁰)

: ceci établit l’autre inclusionf⁻¹[TE⁰(S⁰)]⊂TE

f⁻¹(S⁰) .

• D’après le point précédent, f⁻¹(S⁰) ⊂ T ⇒f⁻¹[TE⁰(S⁰)] = TE

f⁻¹(S⁰)

⊂ T ;

inversement, il suffit de prendreS⁰=T⁰. ut

Corollaire 1.2.5 Soient (E,T) et (E⁰,T⁰) deux espaces mesurables et soit f :E →E⁰; f est mesurablesi :

• T etT⁰sont lestribus de Borelrespectives deE etE⁰espaces métriques et f estcontinue;

• E⁰ = R ou R, muni de sa tribu de Borel, et f vérifie l’une des quatre conditions suivantes :

(1) ∀a∈R,{f < a} ∈ T ou (2) ∀a∈R,{f ≤a} ∈ T ou (3) ∀a∈R,{f > a} ∈ T ou (4) ∀a∈R,{f ≥a} ∈ T .

(27)

Preuve

•f continue vérifief⁻¹(O⁰)⊂O, oùOetO⁰ désignent l’ensemble des ouverts deE etE⁰ respectivement ; doncf⁻¹(O⁰)⊂TE(O) =T avecTE⁰(O⁰) =T⁰.

•Montrons par exemple la suffisance de la première condition dans le cas deR:

∀a ∈ R, on a {f < a} = f⁻¹([−∞, a[ ), donc si on note S⁰ = {[−∞, a[}_a∈R, on a f⁻¹(S⁰)⊂ T avecT_R(S⁰) =T⁰ (proposition 1.1.6). ut Voici une application importante de ce corollaire dans le cas où (E⁰,T⁰) =

R,B(R) :

Théorème 1.2.6 Soit(E,T)un espace mesurable et soient(fn)_n∈N une suite d’applicationsmesurables de(E,T)dans R,B(R)

.

• Pour tout sous-ensembleI ⊂N non vide, les applications

n∈Iinffn et sup

n∈I

fn sont mesurables ;

• les applications lim inf

n→∞ fn et lim sup

n→∞ fn sont mesurables ^†2;

• en particulier, si la suite(fn)_n∈N converge simplement dansR,

n→∞lim fn est mesurable .

Preuve

• ∀a ∈ R,{inf

n∈Ifn ≥ a} = T

n∈I

{f_n ≥ a} ∈ T et {sup

n∈I

fn ≤ a} = T

n∈I

{f_n ≤ a} ∈ T puisque les fn sont mesurables et queT est stable par intersection finie ou dénom- brable.

•Par définition, lim inf

n→∞ fn = sup

n∈N

( inf

p∈N

fn+p)etlim sup

n→∞

fn= inf

n∈N

(sup

p∈N

fn+p); d’après le point précédent, gn= inf

p∈Nfn+p est mesurable pour tout n∈N, donc lim inf

n→∞ fn= sup

n∈N

gn est aussi mesurable ; et on obtient le même résultat pourlim sup

n→∞ fn en consi- dérant la suitehn= sup

p∈N

fn+p.

•On sait que∀x∈E,lim inf

n→∞ fn(x)(resp. lim sup

n→∞ fn(x)) est la plus petite (resp. la plus grande) valeur d’adhérence de la suite(f_n(x))_n∈

Ndans R; de sorte que

2Pour des précisions surlim inf

n→∞ etlim sup

n→∞

, voir par exemple [1], paragraphe B.2

(28)

1.3. Sous espaces mesurables 9

(fn(x))_n∈_N converge dansR⇔lim inf

n→∞ fn(x) = lim sup

n→∞ fn(x), auquel cas la limite est la valeur commune ci-dessus.

En conséquence, si la suite de fonctions(f_n)_n∈

N converge simplement, on a

n→∞lim fn= lim inf

n→∞ fn= lim sup

n→∞

fn, mesurable.

ut

Proposition 1.2.7 La composée g◦f de deux applications mesurables f : (E,T)→(E⁰,T⁰)et g: (E⁰,T⁰)→(E⁰⁰,T⁰⁰) est encoremesurable.

Preuve On a(g◦f)⁻¹=f⁻¹◦g⁻¹, égalité entre applications deP(E⁰⁰)dansP(E); donc(g◦f)⁻¹(T⁰⁰) =f⁻¹

g⁻¹(T⁰⁰)

⊂f⁻¹(T⁰)⊂ T. ut

1.3 Sous espaces mesurables

Proposition 1.3.1 Soit(E,T)un espace mesurable et soitF un sous-ensemble deE.

• Le sous-ensemble de P(F)noté (abusivement) T ∩F ^d´=^ef{A∩F :A∈ T }

est une tribu de parties deF dite tribu trace deT sur F.

• On a F ∈ T ⇔ T ∩F ={A∈ T :A⊂F} ⊂ T.

• Si S est un sous-ensemble générateur de T,S ∩F est un sous-ensemble générateur deT ∩F : TE(S)∩F =TF(S ∩F);

• en particulier, si E est un espace métrique, on a B(E)∩F =B(F)

et F ∈ B(E)⇔ B(F) ={A∈ B(E) :A⊂F} ⊂ B(E).

Preuve

•Soitil’injection canonique deF dansE; on aT ∩F =i⁻¹(T), tribu réciproque.

• ∀A∈ T tel que A⊂ F, on aA =A∩F ∈ T ∩F ; si on supposeF ∈ T, alors

∀A∈ T,A⁰=A∩F vérifieA⁰∈ T etA⁰⊂F, doncT ∩F ={A∈ T :A⊂F}.

(29)

Inversement, si cette dernière égalité est vérifiée, on aF =E∩F ∈ T ∩F ⊂ T.

• On aS ∩F =i⁻¹(S), donc d’après le théorème 1.2.4 TF(S ∩F) =i⁻¹[TE(S)] = TE(S)∩F.

• Ce dernier point se déduit immédiatement des deux précédents, compte tenu du fait que siOdésigne l’ensemble des ouverts deE, alorsO∩F ={Ω∩F : Ω∈O}est

l’ensemble des ouverts deF^†3. ut

Application 1.3.2

•E =R, F =R⁺ : la tribu de Borel deR⁺ est engendrée par l’une quelconque des quatre familles d’intervalles :

{[0, a[}_a∈R

+;{[0, a]}_a∈R

+;{]a,+∞]}_a∈R

+;{[a,+∞]}_a∈R

+

et on peut même dans tous les cas restreindrea à varier dansR^∗+.

•CommeR⁺ est un borélien deR, B(R⁺) ={A∈ B(R) :A⊂R⁺}.

• CommeR est un (intervalle) ouvert de R, R ainsi que son complémentaire {−∞,+∞}sont des boréliens deR; donc

A∈ B(R)⇔A∩R∈ B(R)etA∩ {−∞,+∞} ∈ B({−∞,+∞}), autrement dit un borélien deRest un borélien deRou la réunion d’un borélien de Ravec{−∞}, {+∞}ou{−∞,+∞}.

Proposition 1.3.3 Soient (E,T) et (E⁰,T⁰) deux espaces mesurables et soit une application f :E →E⁰.

• Etant donné un sous-ensemble F ⊂E, soitf_|

F : (F,T ∩F)→(E⁰,T⁰) la restriction def à la source F; on a f mesurable ⇒f_|

F mesurable.

• Etant donné un sous-ensemble F⁰ ⊂ E⁰ tel que f(E) ⊂ F⁰, on note de manière analogue f|^F⁰: (E,T)→(F⁰,T⁰∩F⁰)la restriction def au but ; on a l’équivalencef mesurable ⇔ f|^F⁰ mesurable.

Preuve

•f_|

F =f◦ioù l’injection canoniqueideF dansE est mesurable puisquei⁻¹(T) = T ∩F.

• ∀A⁰∈ T⁰, on af⁻¹(A⁰) =f⁻¹(A⁰∩F⁰), doncf⁻¹(T⁰) =f⁻¹(T⁰∩F⁰). ut

3Voir par exemple [1], paragraphe B.1

(30)

1.4. Produit d’espaces mesurables 11

1.4 Produit d’espaces mesurables

Etant donném≥2espaces mesurables(E1,T1), . . . ,(Em,Tm), on veut définir sur l’ensemble produit E1 × · · · ×Em une tribu produit à partir des tribus T1, . . . ,Tm.

Dans la suite, lorsqu’on considère m sous-ensembles 1≤ i ≤ m,Si ⊂ P(Ei), l’écritureS₁× · · · × S_m désignera (abusivement) l’ensemble :

A1× · · · ×Am:∀i∈ {1, . . . , m}, Ai∈ Si

(au lieu du produit cartésien{(A1, . . . , Am) :∀i∈ {1, . . . , m}, Ai ∈ Si}).

Comme l’ensembleT1× · · · × Tmdespavés mesurablesne forme pas en général une tribu de parties de E₁× · · · ×E_m (ensemble non stable par passage au complémentaire ou par réunion finie), on va naturellement considérer la tribu engendréepar T1× · · · × Tm :

Théorème 1.4.1 Soient(E₁,T1), . . . ,(E_m,Tm) mespaces mesurables et soit

1≤i≤m⊗ Ti =TE1×···×Em(T1× · · · × Tm)

la tribu de parties deE1× · · · ×Em engendrée parT1× · · · × Tm, appelée tribu produit (tensoriel) des tribus T1, . . . ,Tm.

• Etant donné un espace mesurable (E,T) et une application f = (f₁, . . . , f_m) :E →E₁× · · · ×E_m, on a l’équivalence :

f : (E,T)→

E1× · · · ×Em, ⊗

1≤i≤mTi

mesurable m

∀i∈ {1, . . . , m}, fi: (E,T)→(Ei,Ti)mesurable

• En particulier, ⊗

1≤i≤mTi est la plus petite tribude E1× · · · ×Em (au sens de l’inclusion) rendant mesurablesles mprojections canoniques :

1≤i≤m, πi:E1× · · · ×Em→Ei.

(31)

Preuve

• ∀A1× · · · ×Am∈ T1× · · · × Tm, on af⁻¹(A1× · · · ×Am) =

m

T

i=1

fi−1

(Ai)puisque

∀x∈E, on af(x)∈A1× · · · ×A_m⇔ ∀i∈ {1, . . . , m}, f_i(x)∈Ai; donc si lesfisont mesurables,fl’est aussi d’après le théorème 1.2.4 et la définition de la tribu produit.

Inversement,∀i∈ {1, . . . , m}et∀A_i∈ T_i, f_i⁻¹(A_i) =f⁻¹(E₁× · · · ×A_i× · · · ×E_m), donc lesfisont mesurables sif l’est.

•En particulier si E =E1× · · · ×Em etf = idE, application identique de E, on a donc

∀i∈ {1, . . . , m}, f_i=πi: (E,T)→(Ei,T_i)mesurable m

idE : (E,T)→ E, ⊗

1≤i≤m

T_i

mesurable⇔ ⊗

1≤i≤m

T_i⊂ T.

ut

Remarque1.4.2 Le couple

E1× · · · ×Em, ⊗

1≤i≤mTi

est appeléespace mesurable produitdes(Ei,Ti).

En ce qui concerne les sous-ensembles générateurs, on a :

Proposition 1.4.3 Soient (E1,T1), . . . ,(Em,Tm)mespaces mesurables.

Si ∀i∈ {1, . . . , m},S_i est un sous-ensemble générateur de T_i tel que E_i ∈ S_i, alorsS1× · · · × Sm est unsous-ensemble générateur de ⊗

1≤i≤mTi.

Preuve Comme ∀i∈ {1, . . . , m},S_i ⊂ T_i, on a S₁× · · · × S_m ⊂ T₁× · · · × T_m et doncTE1×···×Em(S₁× · · · × S_m)⊂ ⊗

1≤i≤mT_i.

Inversement, on a∀i∈ {1, . . . , m}, π_i⁻¹(T_i) =πi−1[TEi(S_i)] =TE1×···×Em

πi−1(S_i) d’après le théorème 1.2.4, et comme

πi−1(S_i) ={E₁× · · · ×Ai× · · · ×Em:Ai∈ S_i} ⊂ S₁× · · · ×Sm

puisque ∀j, Ej ∈ Sj, on obtient ∀i, πi−1(Ti) ⊂ TE1×···×Em(S1× · · · × Sm); donc cette dernière tribu rend mesurables lesπ_i, ce qui assure l’autre inclusion ⊗

1≤i≤mT_i⊂ TE1×···×Em(S₁× · · · × S_m)d’après le théorème 1.4.1. ut Corollaire 1.4.4 Soient F1, . . . , Fm msous-ensembles deR. On a :

B(F1× · · · ×Fm) = ⊗

1≤i≤mB(Fi)

(32)

1.4. Produit d’espaces mesurables 13

Preuve Soit S = {]a, b[ : (a, b) ∈ Q², a < b} ∪ {R} et ∀i ∈ {1, . . . , m}, soit S_i = S ∩Fi; comme tout ouvert de R est une réunion d’éléments de S, finie ou dénombrable puisque S est dénombrable, on a B(R) = T_R(S) et B(F_i) = TFi(S_i) d’après la proposition 1.3.1 ; de sorte queTF1×···×Fm(S₁× · · · × S_m) = ⊗

1≤i≤mB(F_i) d’après la proposition précédente.

D’autre part,S₁×· · ·×S_mest une famille dénombrable d’ouverts de l’espace métrique F1× · · · ×Fm⊂R^m, telle que tout ouvert deF1× · · · ×Fmest une réunion d’éléments de cette famille ; donc on a aussiTF1×···×Fm(S₁× · · · × S_m) =B(F₁× · · · ×Fm). ut Exemple1.4.5 B(R^m) = B(R)m⊗

, B(R^m+) = B(R+)m⊗

.

Application 1.4.6 En identifiantR² àCau moyen de l’isométrie canonique (x, y)7→x+i y,

les ouverts de R² s’identifient à ceux de C, de sorte que B(C) s’identifie à B(R²) = B(R)⊗ B(R); ainsi, une application f : (E,T) → C,B(C)

est mesurable si et seulement si ses parties réelle<f et imaginaire =f le sont.

Lemme 1.4.7 Soit (Ei)_i∈I, I ⊂ N, unepartition finie ou dénombrable d’un espace mesurable (E,T) en sous-ensembles mesurables, et soit (fi)_i∈I une famille d’applications mesurables de (E,T) dans un autre espace mesurable (E⁰,T⁰).

Alors l’applicationf : (E,T)→(E⁰,T⁰) définie surE par f(x) =f_i(x) six∈E_i

estmesurable.

Preuve ∀A∈ T⁰, f⁻¹(A) = S

i∈I

Ei∩fi−1

(A)

∈ T. ut

Corollaire 1.4.8 Soit (E,T)un espace mesurable.

• L’ensemble

f : (E,T)→ R,B(R)

mesurable est une sous algèbre deR^E.

• Plus généralement, soientf, g: (E,T)→ R,B(R)

mesurables ;

– si on convient de poser 0×(±∞) = (±∞)×0 = 0 dansR, alors le produit f g : (E,T) → R,B(R)

de f et g est bien défini et mesurable;

(33)

– si on suppose que f et g ne prennent en aucun point des valeurs infinies de signe opposé, alors lasommef+g: (E,T)→ R,B(R) def et g est bien définie etmesurable.

• L’ensemble

f : (E,T)→ C,B(C)

mesurable est une sous algèbre deC^E.

Preuve

•Soientf etgdeux applications mesurables deE dansR; d’après le théorème 1.4.1 et le fait que B(R²) =B(R)⊗ B(R), l’application (f, g) : (E,T)→ R²,B(R²)

est mesurable. Comme l’addition et la multiplication de R² dans R sont des applications continues, donc boréliennes, les composées f+g etf g sont aussi mesurables (proposition 1.2.7).

En particulier en prenantg constante (donc mesurable), on obtient que∀a∈R, a f est mesurable.

•Montrons le résultat par exemple pour la sommef+g : d’après le lemme 1.4.7, les applications f˜=







f sur{|f|<∞}

0sur{|f|=∞} et g˜=







gsur{|g|<∞}

0sur{|g|=∞} sont mesurables, et

il en est de même def+g=











f˜+ ˜gsur{|f|<∞} ∩ {|g|<∞}

+∞sur{f= +∞} ∪ {g= +∞}

−∞sur{f=−∞} ∪ {g=−∞}

,

puisquef˜+ ˜gest mesurable d’après le premier point.

•On obtient le résultat analogue à celui du premier point avec Cau lieu deR, par

exemple en se référant à l’application 1.4.6. ut

Corollaire 1.4.9 Soient(E₁,T1), . . . ,(E_m,Tm)mespaces mesurables ; soient mapplications mesurables 1≤i≤m, fi: (Ei,Ti)→ R,B(R)

. Alors l’application produit tensorieldes fi :

f1⊗ · · · ⊗fm:

E1× · · · ×Em, ⊗

1≤i≤mTi

→ R,B(R)

définie par : (f1⊗ · · · ⊗fm)(x1, . . . , xm) =f1(x1)× · · · ×fm(xm) estmesurable.

Preuve f1⊗ · · · ⊗fmest le produit desmapplications 1≤i≤m, f_i◦π_i:

E₁× · · · ×E_m, ⊗

1≤i≤mT_i

→ R,B(R)

qui sont mesurables comme composées d’applications mesurables ; on applique le

corollaire 1.4.8. ut

(34)

1.5. Exercices corrigés 15

1.5 Exercices corrigés

1. Soit ∆^d´=^ef {(x, x) :x∈ R}la diagonale de R² et soit i :x7−→ (x, x) la bijection naturelle deRsur∆.

Etablir : i⁻¹(B(∆)) =i⁻¹(B(R²)) =T_R

i⁻¹(B(R)× B(R))

=B(R).

. . . .Solution . . . . On a B(∆) =B(R²)∩∆d’après la proposition 1.3.1, de sorte que

i⁻¹(B(∆)) =i⁻¹(B(R²))

(puisque∀B∈ B(R²),i⁻¹(B) ={x∈R: (x, x)∈B}=i⁻¹(B∩∆)).

D’autre part on a B(R²) = B(R)⊗ B(R) ^d´=^ef T_R2(B(R)× B(R)) (cf.

l’exemple 1.4.5), donc

i⁻¹(B(R²)) =T_R

i⁻¹(B(R)× B(R)) d’après le théorème 1.2.4. Or

∀A, B ∈ B(R), i⁻¹(A×B) ={x∈R:x∈Aetx∈B}=A∩B∈ B(R) et en particulier∀A∈ B(R), i⁻¹(A×A) =A; on en déduit

i⁻¹(B(R)× B(R)) =B(R)et doncT_R

i⁻¹(B(R)× B(R))

=B(R).

On conclut en définitive i⁻¹(B(∆)) =B(R).

2. Montrer, en considérant la diagonale deR² ∆^d´=^ef{(x, x) :x∈R}, que la tribu de BorelB(R²)ne coïncide pas avec l’ensemble

D^d´=^efn S

n∈N

An×Bn :An∈ B(R)etBn∈ B(R)o .

. . . .Solution . . . . On aR²=R×R= S

n∈NR×R∈ D,Dest stable par réunion dénombrable (car N ×N est dénombrable), et D paraît à première vue stable par complémentation, en observant que

∀A, B∈ B(R),(A×B)^c = (A^c×B)∪(A×B^c), avecA^c, B^c ∈ B(R); de sorte queT seraitune tribu.

On a de plus les inclusions évidentes

B(R)× B(R)⊂ D etD ⊂T_R2 B(R)× B(R) ,

(35)

puisque une tribu est stable par réunion dénombrable ; donc on aurait D=B(R)⊗ B(R)par définition de la tribu produit tensoriel, et on sait (cf. l’exemple 1.4.5) queB(R)⊗ B(R) =B(R²).

Or considérons la diagonale deR²∆ ={(x, x) :x∈R}.

- Dune part, ∆est un fermé deR² comme image réciproque de{0}par l’application continue(x, y)7→x−y; donc∆est un élément deB(R²).

- D’autre part ∆ est en bijection avec R par l’application x 7→ (x, x), donc∆est de cardinal infini non dénombrable ; et on a :

∀A, B⊂Rnon vides, A×B⊂∆ =⇒A=Best un singleton, puisque sinon ∃a 6= b dans R tels que a ∈ A et b ∈ B, qui vérifient (a, b)∈(A×B)∩∆^c.

On en déduit que ∆ n’admet pas d’écriture de la forme S

n∈N

An ×Bn, c’est-à-dire que∆∈ D. Ceci prouve que/ D 6=B(R²)(inclusion stricte).

3. Soit(E,T)un espace mesurable quelconque et soit∼une relation d’équi- valence surE. On noteC ⊂ P(E)l’ensemble des classes de∼-équivalence etT_∼le sous-ensemble deP(E)constitué des éléments deT qui sont des réunions (quelconques) d’éléments de C :

T∼d´ef

=

A∈ T :A= S

C∈C,C⊂A

C .

a) Montrer que T_∼ est une sous-tribu deT, ditecompatible avec la relation d’équivalence.

b) Caractériser les applicationsf :E →Rqui sont(T∼,B(R))-mesurables.

c) On considère la relation d’équivalence surE =R : y∼x⇐⇒ |y|^déf =|x|.

Identifier B(R)∼ et caractériser les applications f : R → R qui sont (B(R)_∼,B(R))-mesurables.

d) On considère la relation d’équivalence surE=R: y∼x⇐⇒^déf y−x∈Q.

(36)

1.5. Exercices corrigés 17

Identifier B(R)∼ et caractériser les applications f : R → R qui sont (B(R)_∼,B(R))-mesurables et continues en au moins un point.

. . . .Solution . . . . a) On a bien E ∈ T∼ (E ∈ T est la réunion de toutes les classes d’équi- valence), et T_∼ est évidemment stable par réunion dénombrable comme T ; de plusT∼ est stable par complémentation, carC partitionneE :

∀A∈ T_∼,A= S

C∈C,C⊂A

C, donc A^c= S

C∈C,C⊂A^c

C,

et commeA∈ T∼ ⊂ T, on a a aussiA^c∈ T, donc A^c ∈ T∼. Ainsi T_∼ est une sous-tribu de T.

b) Soitf :E →Rune application (T∼,B(R))-mesurable ;∀x∈E, on a {f(x)} ∈ B(R)(un singleton est un fermé deR), doncf⁻¹({f(x)})∈ T∼. Ainsif⁻¹({f(x)})qui contientxcontient toute la classe de∼-équivalence de x, autrement dit f garde la valeur constante f(x) sur cette classe d’équivalence ; et commeT∼⊂ T,f esta fortiori (T,B(R))-mesurable.

Inversement, sif :E →R est une application (T,B(R))-mesurable qui est constante sur chaque élément deC, on a pour toutB∈ B(R):

∀y∈B∩f(E), f⁻¹({y})est une réunion d’éléments deC, doncf⁻¹(B) = S

y∈B∩f(E)

f⁻¹({y})l’est aussi ; et commef⁻¹(B)∈ T, on af⁻¹(B)∈ T∼.

En conclusion, pour une applicationf:E →R: f est(T_∼,B(R))-mesurable⇔







f est(T,B(R))-mesurable

f est constante sur les éléments deC . c)∼ est évidemment une relation d’équivalence, dont les classes d’équi- valence sont le singleton{0}et les doublons{x,−x},x∈R^∗+.

B(R)∼ est donc constituée des boréliens B tels que ∀x ∈ B, −x ∈ B; autrement dit

B(R)_∼ ={B∈ B(R) :B=−B} où −B={−x:x∈B}.

Soitf:R→Rune application ; commef constante sur les éléments de C signifie ici

∀x∈R^∗+,f(−x) =f(x),

(37)

on a d’après la question b l’équivalence

f est(B(R)_∼,B(R))-mesurable⇐⇒f est borélienne et paire.

d) Comme (Q,+) est un groupe, ∼ est bien une relation d’équivalence, dont les classes d’équivalence sont de la formeQ+x,x∈R.

B(R)∼ est donc constituée des boréliensB tels que∀x∈B,Q+x⊂B, soit Q+B ={q+x:q ∈Q etx∈B} ⊂B; comme ⊃est évident, on obtient

B(R)_∼={B∈ B(R) :B=Q+B}.

On en déduitB(R)∼ ⊂ {Q+B:B∈ B(R)}; inversement,∀B∈ B(R): - d’une partQ+B= S

q∈Q

(q+B)∈ B(R)car Qest de cardinal dénom- brable et car∀q∈Q,q+B∈ B(R)(les translations sont continues, donc boréliennes) ;

- d’autre partQ+ (Q+B) = (Q+Q) +B=Q+B.

Ainsi B(R)∼={Q+B:B∈ B(R)}.

Soitf:R→R(B(R)_∼,B(R))-mesurable et continue en un pointx₀∈R. On a ∀ε >0,∃α >0tel que∀x∈]x0−α, x0+α[,|f(x)−f(x0)|< ε.

Comme S

x∈]x0−α,x0+α[

(Q+x) =R(car∀y∈R,−Q+y=Q+yest dense dansR, donc(Q+y)∩]x0−α, x0+α[6=∅) et commef est constante sur les sous-ensemblesQ+xd’après la question b, on a|f−f(x₀)|< ε;ε >0 étant arbitraire, on conclut quef ≡f(x0)est une fonction constante.

Inversement, toute fonction constante est continue sur R, donc boré- lienne, et constante en particulier sur les classes d’équivalence ; donc elle est(B(R)_∼,B(R))-mesurable d’après la question b.

Remarque : on retrouvera au chapitre suivant cette relation d’équiva- lence “modulo Q” pour établir que tout sous-ensemble de R n’est pas un borélien et que la restriction à B(R) s’impose (cf. l’exercice 2 du paragraphe 2.6).

(38)

1.6. Exercices 19

1.6 Exercices

Exercice 1

SoientT1etT2deux tribus sur un ensembleE, engendrées respectivement par deux sous-ensemblesS1 etS2 deP(E).

1) La tribuT1∩ T2 est-elle nécessairement engendrée par S1∩ S2? 2) ComparerT1∪ T2 avec les tribus engendrées :

I =TE({A1∩A2:A1∈ T1et A2∈ T2}) U =TE({A1∪A2:A1∈ T1 etA2∈ T2}).

Exercice 2

1)Qest-il un borélien deR? Qu’est-ce que la tribu de Borel deQ? 2) Soient A=

{x}:x∈R et K={K ⊂R:K compact}.

ComparerT_R(A),T_R(K)etB(R).

3) Montrer que B(R)n’est pas l’ensemble des réunions dénombrables d’intervalles.

Exercice 3

SoientA un sous-ensemble non vide deR et f une application deA dans R, supposéemonotone. Montrer que f est borélienne.

Exercice 4

Soit(fn)_n∈Nune suite d’applications mesurables d’un espace mesurable(E,T) dans R,B(R)

. 1) Montrer queF =

x∈E: fn(x)

n∈N converge dans R ∈ T. 2) Montrer queG=

x∈E: f_n(x)

n∈N converge dans R ∈ T.

(39)

(40)

Chapitre 2

Mesures positives

2.1 Généralités

Définition 2.1.1 Soit (E,T)un espace mesurable.

On appelle mesure positivesur (E,T)une application µ:T →R⁺ vérifiant

• µ(∅) = 0

• La propriété dite deσ-additivité:

pour toute suite(An)_n∈N ∈ T^N telle que les An sont2 à 2 disjoints, µ ]

n∈N

A_n

=

∞

X

n=0

µ(A_n) (U

pour union disjointe),

où

∞

P

n=0

µ(An) désigne lim

n→∞

n

P

i=0

µ(Ai)∈R⁺.

On dit alors que(E,T, µ) est un espace mesuré.

On peut remarquer que si la suite (A_n)_n∈

N vérifie les conditions indiquées ci- dessus, il en est de même de la suite A_σ(n)

n∈N pour toute permutation σ de N; et comme U

n∈N

A_σ(n)= U

n∈N

An, on a donc

∞

P

n=0

µ A_σ(n)

=

∞

P

n=0

µ A_n

dansR+.