TD 3 : Applications de la transformation de Fourier

Universit´ e Paris-Saclay Ann´ ee 2020–2021 Licences L3 PAPP

Math´ ematiques pour la Physique II

TD 3 : Applications de la transformation de Fourier

On rappelle la d´ efinition de la transform´ ee de Fourier d’une fonction f , sommable sur R, et de la transform´ ee inverse

f ˆ (k) = F _k [f ]

= 1

√ 2π Z

R

dx f (x) e ^−ikx et f (x) = F _x ^† [ ˆ f ] = 1

√ 2π Z

R

dk f ˆ (k) e ^ikx (1)

On rappelle ´ egalement quelques propri´ et´ es utiles (` a savoir retrouver rapidement ) :

* ”Translation” : F _k [f(x − b)] = e ^−ikb f ˆ (k)

* Propri´ et´ e duale : F _k

f (x)e ^ibx

= ˆ f (k − b)

* ”Dilatation” : F _{k 1}

a f (x/a)

= ˆ f(ka)

* D´ erivation : F _k [f ⁰ (x)] = i k f ˆ (k) Exercice 1 : Convolutions

1 – La Lorentzienne est L _a (x) = a/π

x ² + a ² (2)

Calculer la fonction L _a ∗ L _b .

Indication : Utiliser la transformation de Fourier ; on donne L b _a (k) = ^{√ 1}

2π e ^−a|k|

2 – On introduit la gaussienne g _σ (x) = ^{√ 1}

2π σ exp n

− _2σ ^x

o

. Pour σ = 1, la fonction est invariance par transformation de Fourier :

ˆ

g 1 = F[g ₁ ] = g 1 (3)

D´ eduire ˆ g σ .

En utilisant le mˆ eme truc qu’` a la question 1, calculer g _a ∗ g _b .

3 – Application : marche al´ eatoire et mouvement brownien.– On consid` ere un pro- cessus al´ eatoire

x _t = x t−1 + η _t pour x ₀ = 0 , (4)

o` u {η <sub>1</sub> , η <sub>2</sub> , · · · , η <sub>t</sub> , · · · } sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement dis- tribu´ ees, selon la loi de probabilit´ e g σ (η). On note P t (x) la densit´ e de probabilit´ e pour la variable x <sub>t</sub> . Justifier qu’elle ob´ eit ` a la r´ ecurrence

P _t = g _σ ∗ P t−1 . (5)

R´ esoudre l’´ equation en supposant que P ₀ = g _a (utiliser le 2/).

4 – Vols de L´ evy.– (Facultatif) ^Mˆ eme question si les η t sont distribu´ es par la loi L _σ (x)

(on suppose que P ₀ = L _a ).

Exercice 2 : ´ Equations diff´ erentielles 1 – On introduit la fonction

G _λ,µ (x) = θ _H (x) sin(λx) e ^−µx (6)

o` u θ _H (x) = 1 pour x > 0 et θ _H (x) = 0 pour x < 0 (fonction de Heaviside).

a) Pr´ eliminaire : calculer ˆ G _λ,µ = F[G _λ,µ ].

b) R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰⁰ (x) + 2λ y ⁰ (x) + 2λ ² y(x) = 1

2a e ^−|x|/a . (7)

Discuter la limite a → 0 ⁺ sur le r´ esultat (au niveau des transform´ ees de Fourier d’abord).

2 – Diffusion quantique ?— On ´ etudie la solution de l’´ equation de Schr¨ odinger i ~ ∂ψ(x, t)

∂t = − ~ ² 2m

∂ ² ψ(x, t)

∂x ² (8)

d´ ecrivant l’´ evolution libre d’une particule non relativiste de masse m. On posera λ = ~ /m.

a) D´ eduire une ´ equation diff´ erentielle pour la transform´ ee de Fourier (spatiale) ˆ ψ(k, t) = F _k [ψ(x, t)] puis la r´ esoudre.

b) Initialement, la fonction d’onde est une gaussienne ˆ ψ(k, 0) =

√ a

π

exp[− ¹ ₂ (ka) ² ]. D´ eduire ψ(k, t) puis ˆ ψ(x, t).

Indication : on donne R

R dy exp{− ¹ ₂ Ay ² + ixy} = q 2π

A exp{− _2A ^x

} pour Re(A) > 0.

c) ´ Etudier l’´ evolution de la densit´ e de probabilit´ e |ψ(x, t)| ² . Comparer avec la diffusion classique (cf. cours).

Exercice 3 : Une ´ equation int´ egrale R´ esoudre l’´ equation int´ egrale

Z

R

dy e ^−λ|x−y| f (y) = 1

√ 4πa e ^−x

^/(4a) (9)

Indication : appliquer F aux deux membres de l’´ equation

Exercice 4 : Transform´ ee de Fourier d’une fonction radiale dans R ³

1 – Soit f (||~ x||) une fonction radiale. Exprimer sa transform´ ee de Fourier dans R ³ comme une int´ egrale radiale.

D´ eduire la transform´ ee de Fourier de la fonction f (||~ x||) = 1 pour ||~ x|| < a et f (||~ x||) = 0 sinon.

2 – Potentiel de Yukawa.– Si l’on introduit une charge ´ electrique dans un m´ etal, les charges ´ electriques de ce dernier se meuvent afin d’´ ecranter la charge ext´ erieure. Consid´ erons la densit´ e de charge

ρ ext (~ x) = Q 1

(2π ε ² ) ^3/2 exp n

− ~ x ² 2ε ²

o

(10)

L’´ equation d´ ecrivant le potentiel dans le m´ etal en pr´ esence de cette densit´ e est

−∆ + κ ²

V (~ x) = 4π ρ _ext (~ x) (11)

o` u 1/κ est la longueur d’´ ecran (dans un bon m´ etal, c’est une ´ echelle atomique). Le terme

−κ ² V (~ x) correspond ` a la densit´ e induite par le d´ eplacement des charges du m´ etal.

a) Prendre la transform´ ee de Fourier de l’´ equation diff´ erentielle.

b) Discuter le sens physique de la limite ε → 0 ⁺

c) D´ eduire ˆ V ( ~ k) dans cette limite puis revenir ` a V (~ x).