TD 2 : Transformation de Fourier

Universit´ e Paris-Saclay Ann´ ee 2020–2021 Licences L3 PAPP

Math´ ematiques pour la Physique II

TD 2 : Transformation de Fourier

On prendra comme d´ efinition de la transform´ ee de Fourier d’une fonction f , sommable sur R , f ˆ (k) = F _k [f ]

= 1

√ 2π Z

R

dx f (x) e ^−ikx (1)

La transform´ ee de Fourier inverse est f (x) = F _x ^† [ ˆ f ] = 1

√ 2π Z

R

dk f ˆ (k) e ^ikx (2)

Exercice 1 : Espaces L ^p ( R )

L ^p ( R ) est l’espace des fonctions f telles que |f (x)| ^p soit sommable sur R . 1 – Les fonctions suivantes sont-elles dans L ¹ ( R ) ou L ² ( R ) ?

f (x) = sin x

x , g(x) = 1

p |x| e ^−|x| , h(x) = x ² 1 + x ⁴

Exercice 2 : Trois transform´ ees de Fourier importantes

1 – Calculer les transform´ ees de Fourier des fonctions suivantes (i) Π 1 (x) = 1 pour |x| < 1/2 et Π 1 (x) = 0 sinon.

(ii) T 1 (x) = 1 − |x| pour |x| < 1 et T 1 (x) = 0 sinon.

(iii) t 1 (x) = ¹ ₂ e ^−|x|

2 – Dilatation.– Exprimer F _k [f (x/λ)] en fonction de ˆ f (k) = F _k [f].

Dans les cas suivant, tracer soigneusement la fonction et sa transform´ ee de Fourier : (i) Π _a (x) = ¹ _a Π ₁ (x/a).

(ii) T _a (x) = ¹ _a T ₁ (x/a).

(iii) t a (x) = _2a ¹ e ^−|x|/a

3 – D´ eduire la transform´ ee de Fourier de la fonction Π _a (x − b) (tracer d’abord la fonction).

4 – La fonction gaussienne g(x) = e ^−x

^/2 est stable sous la transformation de Fourier, i.e.

ˆ

g = F [g] = g. D´ eduire F _k

1

√ 2πv exp

− (x − µ) ² 2v

(3)

o` u v > 0.

Exercice 3 : D’autres transform´ ees de Fourier

1 – Soient λ et µ positifs. Calculer la transform´ ee de Fourier de la fonction f(x) = cos(λx) e ^−µ|x|

Suggestion : rappeler F

[e

] 2 – Soit la fonction

g(x) = (1 + |x|) e ^−|x|

Discuter les propri´ et´ es de d´ erivabilit´ e de la fonction ` a l’origine. Calculer sa transform´ ee de Fourier. Commenter.

3 – On a vu en cours que √

2πF _k [ _x

^a/π +a

] = e ^−a|k| pour a > 0. D´ eduire F _k

1 (x ² + a ² ) ²

en utilisant un truc (sans calcul d’int´ egrale).

Exercice 4 : ` A propos du th´ eor` eme d’inversion

1 – Parit´ e.– Soit f ± (x) une fonction de parit´ e d´ efinie : f ± (−x) = ± f ± (x).

a) Montrer que ˆ f ± (k) = F _k [f ± ] a la mˆ eme parit´ e.

b) On introduit la fonction

φ(x) =

( e ^−x pour x > 0

0 pour x < 0 (4)

Calculer sa transform´ ee de Fourier.

c) On introduit maintenant les fonctions

f ± (x) = φ(x) ± φ(−x) (5)

Tracer ces deux fonctions. D´ eduire les deux transform´ ees de Fourier ˆ f ± (k).

d) V´ erifier que F _x ^† [ ˆ f + ] → 1 pour x → 0 ^± .

e) En utilisant la propri´ et´ e de sym´ etrie, justifier que F _x ^† [ ˆ f − ] s’annule en x = 0.

Commentaire : On peut aussi comprendre ce r´ esultat en utilisant la

partie principale de Cauchy

. Pour lim x→±∞ f (x) = C, on d´ efinit ⁻ R

dx ^{f (x)} _x

= lim B→+∞

R +B

−B dx ^{f (x)} _x = R +∞

−∞ dx ^f(x)−f _2x ^(−x)

2 – On consid` ere maintenant une fonction

ψ(x) = a φ(x − x ₀ ) + b φ(−x + x ₀ ) pour x 6= x ₀ . (6) On ne pr´ ecise pas la valeur de la fonction en x ₀ .

a) Tracer la fonction ψ(x).

b) D´ ecomposer cette fonction sur f ₊ et f − . c) D´ eduire la valeur de F _x ^† [ ˆ ψ(k)] = F _x ^†

F _k [ψ]

en x = x 0 .