TD 7 : Transformation de Fourier

Universit´ e Paris-Sud Ann´ ee 2018–2019 Licences L3 PAPP & PMEC

Math´ ematiques pour la Physique II

TD 7 : Transformation de Fourier

On prendra comme d´ efinition de la transform´ ee de Fourier d’une fonction f , sommable sur R , f ˆ (k) = F _k [f ]

= 1

√ 2π Z

R

dx f (x) e ^−ikx (1)

La transform´ ee de Fourier inverse est f (x) = F _x ^† [ ˆ f ] = 1

√ 2π

Z

R

dk f ˆ (k) e ^ikx (2)

Exercice 1 : Pr´ eliminaire : S´ eries de Fourier

1 – On ´ etudie la fonction p´ eriodique f (x) = sin x

cosh λ − cos x pour λ > 0 . (3)

Calculer Im e

e

−e

.

D´ eduire le d´ eveloppement en s´ erie de Fourier f (x) = P

n∈ Z f ˆ n e ^inx de cette fonction.

2 – On consid` ere la fonction p´ eriodique g de p´ eriode 2π qui vaut g(x) = x pour x ∈] − π, π].

Justifier que la s´ erie de Fourier g(x) = P

n∈ Z g ˆ _n e ^inx peut se r´ e´ ecrire g(x) = 2 P ∞

n=1 b _n sin nx et donner la relation entre les coefficients ˆ g n et b n . Calculer b n .

3 – Comparer les deux s´ eries de coefficients ˆ f n et ˆ g n .

Exercice 2 : Espaces L ^p ( R )

L ^p ( R ) est l’espace des fonctions f telles que |f (x)| ^p soit sommable sur R . 1 – Les fonctions suivantes sont-elles dans L ¹ ( R ) ou L ² ( R ) ?

f (x) = sin x

x , g(x) = 1

p |x| e ^−|x| , h(x) = x ² 1 + x ⁴

Exercice 3 : Trois transform´ ees de Fourier

1 – Calculer les transform´ ees de Fourier des fonctions suivantes (i) Π ₁ (x) = 1 pour |x| < 1/2 et Π ₁ (x) = 0 sinon.

(ii) T 1 (x) = 1 − |x| pour |x| < 1 et T 1 (x) = 0 sinon.

(iii) t ₁ (x) = ¹ ₂ e ^−|x|

2 – Dilatation.– Exprimer F _k [f (x/λ)] en fonction de ˆ f (k) = F _k [f].

Dans les cas suivant, tracer soigneusement la fonction et sa transform´ ee de Fourier : (i) Π a (x) = ¹ _a Π 1 (x/a).

(ii) T _a (x) = ¹ _a T ₁ (x/a).

(iii) t a (x) = _2a ¹ e ^−|x|/a

3 – D´ eduire la transform´ ee de Fourier de la fonction Π _a (x − b) (tracer d’abord la fonction).

Exercice 4 : D’autres transform´ ees de Fourier

1 – Gaussienne.– V´ erifier que la fonction gaussienne g(x) = e ^−x

^/2 est stable sous la transformation de Fourier,

ˆ

g = g o` u ˆ g = F[g] . (4)

2 – On introduit la fonction f (x) = _x

+a ¹

. a) Calculer F _k [f (x)].

b) D´ eduire F _k [xf (x)].

c) Calculer F _k [f (x) ² ].

Suggestion : Utiliser la d´ erivation sous le signe R

pour relier F _k [f (x) ² ] et F _k [f (x)].

3 – Calculer la transform´ ee de Fourier de la fonction

f (x) = 1

x ² − 2x + 2 (5)

Indication : utiliser le th´ eor` eme des r´ esidus 4 – On consid` ere la fonction

f (x) =

( x ^−α pour x > 0

0 pour x < 0 (6)

a) Discuter la convergence de l’int´ egrale R ∞

0 dx x ^−α e ^−ikx .

b) En ´ etudiant l’int´ egrale de la fonction de la variable complexe ϕ(z) = z ^−α e ^−ikz sur l’un ou l’autre des deux contours suivant, d´ eduire ˆ f(k) = F _k [f ] :

0 +R

0

+R

Indication : On rappelle la d´ efinition de la fonction Gamma d’Euler Γ(a) = R ∞

0 dt t ^a−1 e ^−t . c) Si la loi de puissance caract´ erise seulement le comportement asymptotique de la fonc-

tion, ψ(x) ∼ x ^−α pour x → +∞, y a-t-il une relation entre ˆ ψ(k) et ˆ f (k) ? Pour k → 0

ou k → ∞ ?

Exercice 5 : ` A propos du th´ eor` eme d’inversion

1 – Parit´ e.– Soit f ± (x) une fonction de parit´ e d´ efinie : f ± (−x) = ± f ± (x).

a) Montrer que ˆ f ± (k) = F _k [f ± ] a la mˆ eme parit´ e.

b) On introduit la fonction

φ(x) =

( e ^−x pour x > 0

0 pour x < 0 (7)

Calculer sa transform´ ee de Fourier.

c) On introduit maintenant les fonctions

f ± (x) = φ(x) ± φ(−x) (8)

Tracer ces deux fonctions. D´ eduire les deux transform´ ees de Fourier ˆ f ± (k).

d) V´ erifier que F _x ^† [ ˆ f + ] → 1 pour x → 0 ^± .

e) En utilisant la propri´ et´ e de sym´ etrie, justifier que F _x ^† [ ˆ f − ] s’annule en x = 0.

Commentaire : On peut aussi comprendre ce r´ esultat en utilisant la

partie principale de Cauchy

. Pour lim x→±∞ f (x) = C, on d´ efinit ⁻ R

dx ^{f (x)} _x

= lim B→+∞ R +B

−B dx ^{f (x)} _x = R +∞

−∞ dx ^f(x)−f _2x ^(−x)

2 – On consid` ere maintenant une fonction

ψ(x) = a φ(x − x 0 ) + b φ(−x + x 0 ) pour x 6= x 0 . (9) On ne pr´ ecise pas la valeur de la fonction en x ₀ .

a) Tracer la fonction ψ(x).

b) D´ ecomposer cette fonction sur f ₊ et f − . c) D´ eduire la valeur de F _x ^† [ ˆ ψ(k)] = F _x ^†

F _k [ψ]

en x = x 0 .