3 Transformation de Fourier

Université Paris-Dauphine Licence de Mathématiques Appliqués Intégrale de Lebesgue et Probabilités Année 2018–19

TD 5 : Intégration dans R

(chapitre 6)

On traitera en priorité les exercices notés d’une ^∗

1 Convolution

Exercice 1.^∗ Soit G la gaussienne centrée réduite et G_λ(x) :=G(x/λ). Calculer G_s∗G_t pour tout t, s >0.

Exercice 2.^∗ Poura, λ >0, on définit

γ_a,λ(x) = λ^a

Γ (a)e^−λxx^a−11_R+(x), Γ(a) :=

Z ∞

0

e^−xx^a−1dx.

Montrer que γ_a,λdx est une mesure de probabilité. En déduire γ_a,λ∗γ_b,λ.

Exercice 3. Montrer que sif ∈ L¹ etg ∈ L^p alors f∗g ∈ L^p etkf ∗gk_p ≤ kfk₁kgk_p. Exercice 4. Soient µet ν sont deux mesures finies sur R^d. On pose

σ(A) :=

Z

R^d×R^d

1x+y∈Ad(µ⊗ν)(x, y), pour tout borélien A⊂R^d.

a) Montrer que σ est une mesure positive surR^d, on note µ∗ν.

b) Remarquer que µ∗ν est une mesure finie et que µ∗ν=ν∗µ.

On suppose désormais que µ=f λavec 0≤f ∈ L¹(R^d)et λ la mesure de Lebesgue.

c) Montrer qu’il existe une fonctionω_f :R⁺ →R⁺ telle que ω_f(s)→0 lorsque s→0et Z

B

f dx≤ω(λ(B)), pour tout borélien B ⊂R^d.

[On pourra écrire f =f∧M + (f −M)₊]

d) Montrer que µ∗ν est une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Le- besgue. [On pourra utiliser le théorème de Fubini-Tonelli]

e) Montrer qu’il existe une fonction0≤h∈ L¹(R^d)telle µ∗ν =hλ et que h satisfait Z

R^d

ϕh dx= Z

R^d

ϕd(µ∗ν),

pour toute fonction borélienne et positive ϕ.

e) En déduire que

h(x) = (f∗ν)(x) :=

Z

R^d

f(x−y)ν(dy) pour p.t.x∈R^d.

1

2 Densité

Exercice 5. Montrer queC_c^∞(R^d) est dense dansL^p(R^d). [On pourra utiliser l’exercice 3]

Exercice 6.^∗ Soient µet ν deux mesures finies sur R^d. Montrer que µ=ν si, et seulement si

∀ϕ∈C_c^k(R^d), k ∈N¯, Z

R^d

ϕ dµ= Z

R^d

ϕ dν.

[On pourra ne traiter que le casd= 1,k = 0et commencer par montrer queµ([a, b]) = ν([a, b]) pour tout a, b∈R]

Exercice 7. [Théorème de Stone-Weierstrass de densité des polynômes dans C(K)] Pour un compact K ⊂R^d, on noteC(K)l’espace des fonctions continues (bornées) deK dans R. Mon- trer que l’ensemble des polynômes est dense dansC(K)au sens de la convergence uniforme. [On pourra ne traiter que le cas K = [−1/4,1/4]en dimension d= 1 et introduire l’approximation de l’identité (ρ_n) définie par ρ_n(x) := c_n(1−x²)ⁿ si x ∈ [−1,1], ρ_n(x) := 0 si x /∈ [−1,1], c_n convenablement choisie]

Exercice 8. [Moments] Soit f ∈L¹([a, b]), a, b∈R. Montrer que

M_k(f) :=

Z

R

x^kf(x)dx= 0, ∀k ∈N, implique f = 0.

[On pourra utiliser l’exercice 7]

3 Transformation de Fourier

Exercice 9.^∗ Calculer fˆlorsque a) f := 1;

b) f :=1[−a,a], a >0; c) f(x) := ^λ₂e^−λ|x|, λ >0; d) f(x) := _π(x2^λ+λ²), λ >0;

Exercice 10.^∗ Montrer que la transformation de Fourier satisfait les propriétés suivantes : a) F est linéaire au sense où F(f +tg) =F(f) +tF(g).

b) F(xf)(ξ) =i( ˆf(ξ))⁰ pourf ∈ L¹(R)telle que x7→xf(x)∈ L¹(R) c) f[∗g =fbbg pourf, g ∈ L¹(R)

d) Fτ_af = e^−iaξfˆpour a ∈ R^d, où on note (τ_af)(x) := f(x−a) la fonction translatée de f ∈L¹(R^d).

e) ( ˇFf)(ξ) := (Ff)(−ξ) = (Ffˇ)(ξ), où on noteg(x) :=ˇ g(−x). Que dire deFf si f est une fonction paire ?

Exercice 11.^∗ Soit f(x) = (1− |x|)1[−1,1](x).

2

a) Montrer que f(x) =1[⁻¹2 ,¹₂]∗1[⁻¹2 ,¹₂] (x)et calculer R∞

−∞e^itxf(x)dx.

b) En déduire que f(x) = ¹_πR∞

−∞e^{−itx1−cos}_t2 ^tdx.

Exercice 12.^∗ Soient µet ν deux mesures finies sur R^d telles queF(µ) = F(ν).

1) Montrer que F(ρ∗µ) = F(ρ∗ν) pour toutρ∈Cc(R^d).

2) Montrer que ρ∗µ=ρ∗ν pour tout ρ∈C_c(R^d).

3) Montrer que

Z

R^d

(ϕ∗ρ)µ(dy) =ˇ Z

R^d

(ϕ∗ρ)ν(dy),ˇ ∀ϕ, ρ∈C_c(R^d).

4) Montrer que µ=ν. [On pourra utiliser l’exercice 6]

4 Autres transformations

Exercice 13.^∗ Soit µ une mesure de probabilité sur R. On définit sa fonction de répartion F :R→R par

∀x∈R, F(x) = µ(]− ∞, x]).

1) Montrer que F est càd-làg (continue à droite et admet des limites à gauche), croissante, F(−∞) = 0 et F(+∞) = 1. Montrer en particulier que F admet un nombre au plus dénombrable de points de discontinuité.

On considère maintenant une fonction F càd-làg, croissante et tq F(−∞) = 0, F(+∞) = 1.

2) Montrer que la fonction G:]0,1[→R définie par

G(u) := inf{ x∈R, F(x)≥u}

est càg-làd.

3) En notant λ la mesure de Lebesgue sur [0,1], montrer que la mesure image G_]λ a pour fonction de répartition F.

Exercice 14. Soientµune mesure de probabilité surRetF sa fonction de répartition. Montrer que F est absolument continue, au sens où il existe un module de continuité ω_F tel que pour toute suite [ai, bi] d’intervalles d’intérieurs disjoints

X

i

(b_i−a_i)< δ implique X

i

(F(b_i)−F(a_i))≤ω_F(δ),

si, et seulement si, µ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue λ sur R. [Ind. Utiliser le théorème de Radon-Nikodym]

Exercice 15.^∗ Donner l’expression de la fonction de répartition F des mesures de probabilité µ suivantes :

a) µ=δa (mesure de Dirac) ;

b) µ=pδ_b+ (1−p)δ_a (loi de Bernouilli de paramètre p∈[0,1]) ; c) µ=Pn

k=0C_n^kp^k(1−p)^n−kδ_k(loi binomialeB(n, p)de paramètrep∈[0,1]sur{0, . . . , n}) ; d) µ=λe^−λx1_R+dx (loi exponentielle Exp(λ)de paramètre λ >0).

e) µ= (b−a)⁻¹λ, a, b∈R et λ la mesure de Lebesgue sur[a, b] (loi uniformeU(a, b)).

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