Universit´ e Paris-Sud Ann´ ee 2018–2019 Licences L3 PAPP & PMEC
Math´ ematiques pour la Physique II
TD 8 : Applications de la transformation de Fourier
On prendra comme d´ efinition de la transform´ ee de Fourier d’une fonction f , sommable sur R , f ˆ (k) = F
k[f ]
def= 1
√ 2π
Z
R
dx f (x) e
−ikx(1)
La transform´ ee de Fourier inverse est f (x) = F
x†[ ˆ f ] = 1
√ 2π
Z
R
dk f ˆ (k) e
ikx(2)
Exercice 1 : Convolution 1 – La Lorentzienne est
L
a(x) = a/π
x
2+ a
2(3)
Calculer la fonction L
a∗ L
b.
Indication : Utiliser la transformation de Fourier 2 – Mˆ eme question pour g
a∗ g
bo` u g
σ(x) =
√12π σ
exp n
−
2σx22o . 3 – Mouvement brownien.– On consid` ere un processus al´ eatoire
x
t= x
t−1+ η
tpour x
0= 0 , (4)
o` u {η
1, η
2, · · · , η
t, · · · } sont des variables ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees, selon la loi de probabilit´ e g
σ(η). D´ eduire quelle est la distribution de x
t, que l’on notera P
t(x) (on pourra supposer que P
0= g
a).
4 – Vols de L´ evy.– Mˆ eme question si les η
tsont distribu´ es par la loi L
σ(x) (on pourra supposer que P
0= L
a).
Exercice 2 : Une ´ equation int´ egrale R´ esoudre l’´ equation int´ egrale
Z
R
dy e
−λ|x−y|f (y) = 1
√
4πa e
−x2/(4a)(5)
Exercice 3 : Transform´ ee de Fourier d’une fonction radiale dans R
31 – Soit f (||~ x||) une fonction radiale. Exprimer sa transform´ ee de Fourier dans R
3comme une int´ egrale radiale.
D´ eduire la transform´ ee de Fourier de la fonction f (||~ x||) = 1 pour ||~ x|| < a et f (||~ x||) = 0 sinon.
2 – Potentiel de Yukawa.– Si l’on introduit une charge ´ electrique dans un m´ etal, les charges ´ electriques de ce dernier se meuvent afin d’´ ecranter la charge ext´ erieure. Consid´ erons la densit´ e de charge
ρ
ext(~ x) = Q 1
(2π ε
2)
3/2exp n
− ~ x
22ε
2o
(6) L’´ equation d´ ecrivant le potentiel dans le m´ etal en pr´ esence de cette densit´ e est
−∆ + κ
2V (~ x) = ρ
ext(~ x) (7)
o` u 1/κ est la longueur d’´ ecran (dans un bon m´ etal, c’est une ´ echelle atomique). Le terme
−κ
2V (~ x) correspond ` a la densit´ e induite par le d´ eplacement des charges du m´ etal.
a) Prendre la transform´ ee de Fourier de l’´ equation diff´ erentielle.
b) Discuter le sens physique de la limite ε → 0
+c) D´ eduire ˆ V ( ~ k) dans cette limite puis revenir ` a V (~ x).
Exercice 4 : ´ Equations diff´ erentielles
1 – R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y
00(x) − 2λy
0(x) + 2λ
2y(x) = 1
2a e
−|x|/a(8)
On ´ etudiera la solution pour a → 0
+2 – ´ Equation de la diffusion.— On ´ etudie la densit´ e de particules ρ
t(~ x) dans R
d, o` u ρ
t(~ x) d
d~ x repr´ esente le nombre de particules dans le volume d
d~ x au temps t. Cette densit´ e ob´ eit ` a une ´ equation de la diffusion. En l’absence de force ext´ erieure, les particules migrent depuis les r´ egions de haute densit´ e vers les r´ egions de basse densit´ e, ce qui g´ en` ere un courant de diffusion
~j
t(~ x) = −D ~ ∇ρ
t(~ x) (loi de Fick), (9)
o` u D est la constante de diffusion. En utilisant l’´ equation de conservation ∂
tρ
t(~ x)+div~j
t(~ x) = 0, on obtient finalement l’´ equation de la diffusion
∂ρ
t(~ x)
∂t = D ∆ρ
t(~ x) , (10)
qui gouverne l’´ evolution de la densit´ e, ` a partir d’une densit´ e initiale ρ
0(~ x) donn´ ee. On se restreint ci-dessous au cas undimensionnel, d = 1.
a) Trouver une ´ equation diff´ erentielle pour la transform´ ee de Fourier spatiale de la densit´ e ˆ
ρ
t(k) = F
k[ρ
t]. La r´ esoudre, en supposant ˆ ρ
0(k) connue.
b) Propagateur de la diffusion.– Justifier que la solution a la forme
ρ
t= G
t∗ ρ
0(11)
et pr´ eciser l’expression de la fonction G
t(x).
c) On choisit ρ
0(x) =
√12π σ
