8 TRANSFORMATION DE FOURIER

8 TRANSFORMATION DE FOURIER 32

8 Transformation de Fourier

8.1 Transformation de Fourier sur l’espace de Schwartz

Pourϕ∈ S, on d´efinit la transformation de Fourier par la relation F(ϕ)(ξ) = ˆϕ(ξ) = (2π)^−1/2

Z

R

e^−ixξϕ(x)dx.

Th´eor`eme 8.1. Pour tout ϕ ∈ S, la fonction ϕˆ appartient `a S. De plus, l’op´erateur lin´eaire F:S → S est continue et v´erifie les relations

F(ϕ^(j))(ξ) = (iξ)^jF(ϕ)(ξ), F(x^jϕ)(ξ) = (i∂ξ)^jF(ϕ)(ξ), (8.1) F(ϕ(x−b))(ξ) =e^−iξbF(ϕ)(ξ), F(e^ixbϕ)(ξ) =F(ϕ)(ξ−b), (8.2) F(f∗g) = (2π)^1/2F(f)F(g) (8.3) pour toutb∈Retj≥0.

D´emonstration. En int´egrant par parties, on obtient F(ϕ^(j))(ξ) = (2π)^−1/2

Z

R

e^−ixξϕ^(j)(x)dx= (2π)^−1/2 Z

R

(−∂x)^je^−ixξϕ(x)dx

= (2π)^−1/2 Z

R

(iξ)^je^−ixξϕ(x)dx, F(x^jϕ)(ξ) = (2π)^−1/2

Z

R

x^je^−ixξϕ(x)dx= (2π)^−1/2 Z

R

(i∂ξ)^je^−ixξϕ(x)dx

= (i∂ξ)^jF(ϕ)(ξ).

Les relations (8.1) entraˆınent queF(S)⊂ S et que l’op´erateurF est continu.

La d´emonstration de (8.2) est encore plus facile (exercice). On ´etablit main- tenant (8.3) :

F(f∗g)(ξ) = (2π)^−1/2 Z

R

e^−ixξ Z

R

f(y)g(x−y)dy dx

= (2π)^−1/2 Z

R

f(y) Z

R

e^−ixξg(x−y)dx dy

=F(g)(ξ) Z

R

e^−iyξf(y)dy= (2π)^1/2F(f)F(g).

On d´efinit la transformation inverse de Fourier par

F⁻¹(ϕ)(x) = (2π)^−1/2 Z

R

e^ixξϕ(ξ)dξ.

8 TRANSFORMATION DE FOURIER 33

Th´eor`eme 8.2. L’op´erateur F⁻¹:S → S est continu. De plus,

F⁻¹◦F =F ◦F⁻¹= Id, (8.4)

F⁻¹=F◦S, F◦F =S, (8.5)

o`u (Sϕ)(x) =ϕ(−x).

D´emonstration. La premi`ere relation de (8.5) est ´evidente, et la deuxi`eme re- lation est cons´equence de (8.4). De plus, la continuit´e de F⁻¹ se d´emontre facilement en utilisant (8.5) et la continut´e des applicationsF et S. Montrons maintenant la premi`ere formule d’inversion (8.4). On a pour toutϕ∈ S

(F⁻¹◦F)(ϕ)(x) = lim

R→∞(2π)⁻¹ Z R

−R

Z

R

e^i(x−y)ξϕ(y)dydξ

= lim

R→∞(2π)⁻¹ Z

R

Z R

−R

e^i(x−y)ξdξ

ϕ(y)dy

= lim

R→∞π⁻¹ Z

R

sin(R(x−y))

x−y ϕ(y)dy. (8.6)

En utilisant l’exercice 2.8 (ii), on conclut que le membre de droite dans (8.6) est

´egal `aϕ(x). La d´emonstration de la deuxi`eme formule (8.4) est similaire.

Corollaire 8.3. L’op´erateur F:S → S est un isomorphisme.

Exercice 8.4. Montrer que siϕ1, ϕ2∈ S, alors Z

R

F(ϕ1)(ξ)ϕ2(ξ)dξ = Z

R

ϕ1(x)F(ϕ2)(x)dx, Z

R

F⁻¹(ϕ1)(ξ)ϕ2(ξ)dξ = Z

R

ϕ1(x)F⁻¹(ϕ2)(x)dx.

8.2 Transformation de Fourier des distributions temp´ er´ ees

D´efinition 8.5. On d´efinit la transformation de Fourier F sur S^′ comme l’operateur adjoint deF :S → S, c’est-`a-dire,

(F(f), ϕ) = (f, F(ϕ)) pour toutϕ∈ S.

De mˆeme, l’op´erateur adjoint de F⁻¹ : S → S est appel´e la transformation inverse de Fourier surS^′:

(F⁻¹(f), ϕ) = (f, F⁻¹(ϕ)) pour toutϕ∈ S.

Th´eor`eme 8.6. La transformation de Fourier F : S^′ → S^′ est un isomor- phisme, et son inverse est donn´e par F⁻¹. De plus, on a les relations (8.1), (8.2),(8.4),(8.5).

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8.3 La cas des distributions ` a support compact

Th´eor`eme 8.7. Soit f ∈ S^′,suppf ⋐R. Alors F(f)∈C^∞ et fˆ(ξ) = (2π)^−1/2 f(x), η(x)e^−ixξ

, (8.7)

o`u η ∈ D(R) est ´egale `a 1 dans un voisinage de suppf. De plus, il existe m, C >0 tels que

|fˆ(ξ)| ≤C(1 +|ξ|)^m, ξ∈R.

Exercice 8.8. Montrer que sif ∈ S^′, suppf ⋐R, alors il existe un entierm≥0 tel que pour toutj≥0

|fˆ^(j)(ξ)| ≤Cj(1 +|ξ|)^m+j, ξ∈R.

Exemples 8.9. On a les relations suivantes:

F(δ)(ξ) = (2π)^−1/2, F(δ(x−b))(ξ) = (2π)^−1/2e^−iξb, F(1) = (2π)^1/2F(F(δ)) = (2π)^1/2δ(−x) = (2π)^1/2δ,

F(δ^(j))(ξ) = (iξ)^jF(δ) = (2π)^−1/2(iξ)^j, F(x^j)(ξ) = (2π)^1/2(−i)^jF(F(δ^(j))) = (2π)^1/2i^jδ.

8.4 Transformation de Fourier de la convolution

Th´eor`eme 8.10. Soit f, g∈ S^′,suppg⋐R. Alors la relation (8.3)a lieu.

Exemples 8.11. (a)F(θ(R− |x|)) = _π²1/2 sin(Rξ) ξ . (b)F(θ) = (2π)^−1/2 πδ(ξ)−iv.p.¹_ξ

.