M ath ematiques ´ - ECS1
8
F ormule du bin ome ˆ
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
8 Formule du binôme.
8.1 Objectifs
Coefficients binomiaux, notation n p
! . Formule du triangle de Pascal.
En lien avec le programme de terminale, le nombre n
p
!
sera introduit comme le nombre de chemins réalisant p succès pour n répéti- tions dans un arbre binaire.
Formules n p
!
= n!
p!(n−p)!. n
p
!
= n n−p
! et n
p
!
= n p
n−1 p−1
! .
Formule du binôme de Newton donnant (a+ b)n.
Lorsque a et b sont strictement positifs, on pourra faire le lien avec la loiB(n,a+ab).
8.2 Coefficients binômiaux
Définition 1. Soitn∈Netk∈Ntel que 0≤k≤n.
L’expression n k
!
(lire «kparmin») désigne le nombre de chemins réalisantksuccès dans l’arbre obtenu pournrépétitions d’une épreuve à deux issues.
Le nombre n k
!
est donc un entier naturel.
Exemple 1. n 0
!
=1, n n
!
=1, n 1
!
=n, n n−1
!
=n
Formule de symétrie .Soitn∈Netk∈Ntel que 0≤k≤n.
n n−k
!
= n k
!
Formule de Pascal .Soitn∈N∗etk∈Ntel que 1≤k≤n.
n k
!
= n−1 k
!
+ n−1 k−1
!
Triangle de Pascal. La formule de Pascal permet un calcul de proche en proche des coefficients binômiaux :
2
8.3 Formule du binôme 3
n n
0
n
1
n
2
n
3
n
4
n
5
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
8.3 Formule du binôme
On cherche une formule donnant le développement de (a+b)n.
— L’expression (a+b)nest le produit denfacteurs (a+b).
— Lors du développement, chacun de ces facteurs contribue soit à la lettrea, soit à la lettreb.
— Le développement de (a+b)n fait donc apparaître des termes de la formeakbn−k: si kfacteurs (a+b) ont contribué à la lettrea, c’est que lesn−kautres facteurs ont contribué à la lettreb.
Pour obtenir une formule complète, il reste donc à compter le nombre de termes de la formeakbn−kdans le développement.
Le développement de (a+b)npeut être schématisé à l’aide d’un arbre.
1
1a 1b
1a2 2ab 1b2
1a3 3a2b 3ab2 1b3
1a4 4a3b 6a2b2 4ab3 1b4
a b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
Désignons par « succès » l’apparition d’un facteuraet par « échec » l’apparition d’un facteurb.
Un terme de la formeakbn−kest obtenu en faisant le produit des lettres rencontrées en suivant un chemin réalisantksuccès dans l’arbre associé au développement de (a+b)n. Par définition, il y an
k
chemins réalisantksuccès dans un tel arbre.
Formule du binôme .Soientaetbdeux nombres complexes etnun entier naturel.
(a+b)n=
n
X
k=0
n k
! akbn−k.
4 Formule du binôme.
En échangeant les rôles deaetb, on obtient aussi (a+b)n=
n
X
k=0
n k
! an−kbk.
Exemple 2. Aveca=1 etb=x, on obtient (1+x)n =
n
X
k=0
n k
! xk
donc n k
!
est le coefficient du monômexkdans le polynôme (1+x)n. Exemple 3. Aveca=1 etb=1, on obtient
2n=
n
X
k=0
n k
!
Exemple 4. Aveca=−1 etb=1 etn∈N∗, on obtient 0=
n
X
k=0
(−1)k n k
!
Autre interprétation den
k
Soitn∈Netk∈~0,n.
Dans l’arbre desnrépétitions, un chemin menant àksuccès est déterminé en choisis- sant les rangs des épreuves pour lesquelles l’issue est un succès.
Il y a donc autant de chemins menant àksuccès que de sous-ensemble de cardinalk de~1,n.
Proposition 1. Le nombre n k
!
est le nombre de manières de choisir k éléments (d’un seul coup donc sans ordre) dans un ensemble qui en contient n.
Définition 2. SoitEun ensemble possédant un nombre fini d’éléments. Le nombre d’
éléments deEs’appelle cardinal deEet se note cardE.
Proposition 2. Soit n∈Net k∈~0,n.
• Un ensemble de cardinal n, possèden
k
sous-ensembles de cardinal k.
• Le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble de cardinal n est
n
X
k=0
n k
!
=2n.
Formules de calcul des coefficients binômiaux.
Proposition 3. Soient n et p des entiers tels que0≤p≤n n
p
!
= n!
p!(n−p)!
8.4 Exercices. 5
ou encore
n p
!
=n(n−1). . .(n−p+1) p!
Formule d’absorption-extraction .Soientnetpdes entiers tels que 1≤p≤n n
p
!
= n p
n−1 p−1
!
8.4 Exercices.
Exercice1. Calculer les expressions suivants : 7
2
!
, 6
4
!
, 10
3
!
, 9
7
! ,
5
2
6
3
, 7 5
! 5 3
! 3 1
!
Exercice2. Montrer que pour tout entiern≥3, n+2
3
−n
3
=n2
Exercice3. Quel est le coefficient dex9dans le polynôme
1−12x13
?
Exercice4. Soientmetndeux entiers positifs non nuls. On appelle chemin du plan toute suite de déplacements d’une unité vers la droite ou vers le haut. Combien de chemins du plan mènent de l’origine (0,0) au point (m,n) ?
Exercice5. Soientnetkdes entiers tels que 1≤k≤n. Montrer que k n
k
!
=(n−k+1) n k−1
!
Exercice6. Soientnetrdeux entiers tels quen>r≥1. Montrer que n−1
r−1
! n r+1
! n+1 r
!
= n−1 r
! n r−1
! n+1 r+1
!
6 Formule du binôme.
Exercice7. Soientnetkdes entiers positifs tels quek≤n−1.Montrer que 1
n+1
k
+ 1 n+1
k+1
= n+2 (n+1)n
k
Exercice8. Dans un jeu de 32 cartes, on appelle main un sous-ensemble formé de huit cartes.
— Combien de mains ne comportant pas l’as de pique peut on former ?
— Combien de mains comportant au moins un as peut-on former ?
— Combien de mains comportant au plus un pique peut on former ?
Exercice9. Simplifier les sommes suivantes :
7
X
k=0
2k 7 k
! ,
12
X
k=0
ik3k2 12 k
! ,
15
X
k=0
(−1)k 15 k
! e2ikπ3
Exercice10. Soitx∈R. Linéariser cos6x.
Exercice11. Soitn∈Netθ∈R. Simplifier la somme
n
X
k=0
n k
! cos(kθ).
Exercice12. Montrer l’égalité :2n
n
=22n−2
n−1
X
k=0
2n k
!
Exercice13. Montrer que pour tout entiern≥3, X
0≤k≤n kpair
n k
!
= X
0≤k≤n kimpair
n k
!
Exercice14. Soitn∈N∗. Montrer que
n
X
k=1
k2= n+1 2
! +2
n
X
k=2
k 2
!
8.4 Exercices. 7
Exercice15. Soit (an) une suite arithmétique. Montrer que pour tout entiern≥3
n
X
k=0
(−1)k n k
!
ak+1 =0.
Exercice16. Montrer pour tout entiern≥2, l’inégalité 4n n+1 ≤ 2n
n
!
Exercice17. Soientnetpdes entiers positifs tels quen≥1 et 0≤p≤n. Montrer que
p
X
k=0
(−1)k n k
!
=(−1)p n−1 p
!
Exercice18. En calculant (1+i)npourn∈N,n≥1, déterminer pourp∈N∗les valeurs des sommes suivantes
p
X
k=0
(−1)k 2p 2k
! ,
p−1
X
k=0
(−1)k 2p 2k+1
!
Exercice 19. Pour n ∈ N∗, on pose ω = e2iπn. Calculer la somme double :
n−1
X
p=0 n−1
X
q=p
q p
! ωp+q
Exercice20. Montrer que quelque soient les entiers naturelsi,k,n n
i
! i k
!
= n k
! n−k n−i
!
lorsque les coefficients ci-dessus sont définis. En déduire la somme double
n
X
k=0 n
X
i=k
n i
! i k
! .
Exercice21. Déterminer la suite (an) pour laquelle
∀n∈N∗,
n
X
k=1
n k
!
ak= n n+1
8 Formule du binôme.
Exercice22. Soitn∈Ntel quen≥2. Simplifier les sommes suivantes : S1=
n
X
k=0
1 k+1
n k
!
, S4=
p
X
k=0
n k
! m p−k
!
S2=
n
X
k=0
2k k+1
n k
!
, S5=
r
X
k=0
n+k k
!
S3=
n
X
k=1
1
(2k−1)!(2n−2k+1)!,
Exercice23. Soitn∈N∗. Simplifier la somme
n
X
k=0
n
k
2n−1
k
Exercice24. Soitθ∈Retn ∈N. En combinant les formules de Moivre et du binôme, exprimer le polynômeTntel queTn(cosθ)=cosnθ.
Exercice25. Pourn≥2, calculer (1+1)n,(1+j)net (1+j2)nde deux façons différentes.
En déduire les sommes
[n/3]
X
k=0
n 3k
! ,
[(n−1)/3]
X
k=0
n 3k+1
! ,
[(n−2)/3]
X
k=0
n 3k+2
!
Exercice26. A partir de
n−1
X
k=0
(1−t)k, montrer que
n
X
i=1
(−1)i−1 n i
!1 i =
n
X
i=1
1 i
Exercice27. Pour toutn∈N,on poseSn =
bn2c
X
k=0
(−1)k n−k k
! . (1) Montrer que, pour toutn∈N∗, Sn+1=Sn−Sn−1. (2) Etablir que la suite (Sn) est périodique de période 6.
Exercice28. Soitx∈i
−π
2,π2h
etn∈N. Montrer que cosnx
cosn(x) =
bn2c
X
k=0
(−1)k n 2k
!
(tanx)2ket sinnx (cosn(x) =
bn−12 c
X
k=0
(−1)k n 2k+1
!
(tanx)2k+1
8.5 Indications pour les exercices 9
Exercice29. Soitx∈Retm∈N.Montrer que 22m(cosx)2m= 2m
m
! +2
m−1
X
k=0
2m k
!
cos(2(m−k)x) et
22m(sinx)2m= 2m m
! +2
m−1
X
k=0
(−1)m+k 2m k
!
cos(2(m−k)x) Trouver des formules analogues pour 22m(cosx)2m+1et 22m(sinx)2m+1
Exercice30. Soitx∈Retn∈N.Montrer que (1+x2)n=
bn2c
X
p=0
(−1)p n 2p
! xn−2p
2
+
bn−12c
X
p=0
(−1)p n 2p+1
! xn−2p−1
2
Exercice31. Etablir les formules suivantes pour toutn∈N∗:
n
X
k=0
n+k n
!1 2k =2n
n
X
k=0
k n k
!2
=n 2n−1 n−1
!
8.5 Indications pour les exercices
Indication pour l’exercice5. Utiliser la formule avec les factorielles et constater que les deux membres sont égaux
Indication pour l’exercice6. Utiliser la formule avec les factorielles et constater que les deux membres sont égaux
Indication pour l’exercice7. Utiliser la formule avec les factorielles et constater que les deux membres sont égaux
Indication pour l’exercice8. Pour former une main ne comportant pas l’as de pique, il suffit de choisir huit cartes dans le jeu duquel l’as de pique aura ’eté écarté.
Indication pour l’exercice9. Réecrire les sommes de façon à faire apparaître la formule du binôme (a+b)navec les bonnes valeurs pouraetb
Indication pour l’exercice10. Combiner la formule du binôme avec les formules d’Euler.
Indication pour l’exercice11. cos(kθ)= Re(eikθ)
10 Formule du binôme.
Indication pour l’exercice12. Penser à 22ncomme (1+1)2n. Appliquer ensuite la formule du binôme et montrer que les sommes de part et d’autre du terme central sont égales.
Indication pour l’exercice13. Cette égalité n’est qu’une conséquence immédiate d’une égalité vue en cours.
Indication pour l’exercice15. Raisonner par récurrence. On pourra prendre pourPn la propriété «
n
X
k=0
(−1)k n k
!
ak+1=0. »
Indication pour l’exercice16. Exprimer2n+2
n+1
en fonction de2n
n
et raisonner par récur- rence.
Indication pour l’exercice17. Une récurrence finie sur pdoit permettre d’établir la for- mule.
Indication pour l’exercice18. Développer (1+i)n pourn = 2pet séparer la somme en deux : somme sur les indices pairs plus somme sur les indices impairs et ne pas oublier que 1+ise met aussi sous forme trigonométrique
Indication pour l’exercice19. Intervertir les symbolesX
en étant attentif aux indices.
Indication pour l’exercice20. Après avoir établi l’égalitén
i
i
k
=n
k
n−k
n−i
, pensez à inter- vertir les symbolesX
.
Indication pour l’exercice21. Calculera1,a2,a3eta4, puis conjecturer une formule pour anà établir par récurrence forte surn.
Indication pour l’exercice22. — PourS1, voir le terme 1
k+1 comme 1k+1
k+1qui doit faire penser à
Z 1 0
xkdx.La même idée permet de simplifierS2.
— PourS3, il ne manque pas beaucoup au terme 1
(2k−1)!(2n−2k+1)! pour être égal à 2n
2k−1
! .
— PourS4, siP(x)=a0+a1x+a2x2+· · ·+anxnetQ(x)=b0+b1x+b2x2+· · ·+bmxm, quel est le coefficient dexp, après développement, dans le polynômeP(x)×Q(x), puis penser à choisir deux polynômesPetQbien particuliers.
— Pour la sommeS5 commencer par geler l’indice du bas grâce à la symétrie puis entamer un raisonnement par récurrence (le résultat est connue sous le nom de théorème de la chaussette de Noel).
Indication pour l’exercice23. Exprimer le terme n
k
2n−1
k
avec des factorielles pour le ré- exprimer avec un dénominateur qui ne dépend pas de l’indice de sommation.
Indication pour l’exercice24. cos(nθ) est la partie réelle de einθ qui est égal à (eiθ)n = (cosθ+i sinθ)n. Développer par la formule du binôme puis extraire la partie réelle. Reste à gérer les termes en sin qui sont tous à un exposant pair si vous ne vous trompez pas. On doit trouver
Tn(X)=
bn2c
X
k=0
(−1)k n 2k
!
Xn−2k(1−X2)k
8.5 Indications pour les exercices 11
oùbn2cdésigne la partie entière de n2.
Indication pour l’exercice25. Bien sûr j = e2iπ3 . La relation 1+ j+ j2 = 0 donne une première façon de calculer les nombres proposés. L’autre façon est bien sûr d’employer la formule du binôme. En posantS0=
[n/3]
X
k=0
n 3k
! ,S1=
[(n−1)/3]
X
k=0
n 3k+1
! , S2=
[(n−2)/3]
X
k=0
n 3k+2
! , former un système linéaire vérifié parS0,S1,S2.
Indication pour l’exercice26. Penser à intégrer entre 0 et 1.
Indication pour l’exercice27. Pour la première question, en supposantnpair, reformuler Sn−Sn−1à l’aide d’une seule somme dans le but d’appliquer la formule de Pascal.
Pour la seconde question, procédez par récurrence surn.
Indication pour l’exercice28. Commencer par exprimer cos(nx) et sin(nx) en appliquant la formule de De Moivre et celle du binôme.
Indication pour l’exercice29. Appliquer la formule d’Euler et celle du binôme, puis gérer adroitement les sommes.
Indication pour l’exercice30. 1+x2=|x+i|2
