E511 Le valet de pique [**** à la main]
Solution
Les quinze participants désignent parmi eux le leader L qui fait les comptages.
Selon la position de la carte, le leader L va définir avec les 14 participants et avant leur mise en isolement la procédure suivante :
Cas n°1 : on sait à l’avance que le valet de pique est visible.
- Chaque participant à l’exception de L retourne la carte la première fois (et seulement la première fois) qu’il trouve le valet de pique visible. Sinon il laisse la carte en l’état.
- Le leader L fait apparaître le valet de pique chaque fois qu’il voit le dos de la carte et fait le décompte correspondant des cartes qu’il retourne. Comme chaque participant a reçu consigne de ne retourner la carte qu’une seule fois, quand L obtient le total de 14, il est certain que tout le monde est passé devant le table.
Cas n°2 : on ignore la position de la carte (valet de pique visible ou invisible).
- Chaque participant à l’exception de L retourne la carte 2 fois chaque fois qu’il trouve le valet de pique visible. Sinon (dos visible ou valet de pique visible mais déjà affiché 2 fois par l’intéressé), il laisse la carte en l’état.
- Le leader L fait apparaître le valet de pique chaque fois qu’il voit le dos de la carte et fait le décompte correspondant. Quand il arrive à 28, il peut annoncer que tout le monde est passé devant la table.
Qu’est-ce qui différencie ce deuxième cas du premier ? Dans le deuxième cas, lorsque L voit pour la première fois le dos d’une carte, il ne sait pas si la carte a cette position depuis l’origine ou si elle a été retournée par l’un des participants. Imaginons qu’il fixe les mêmes règles pour le deuxième cas que pour le premier. Quand son compteur marquerait 14, ce résultat pourrait être atteint avec un dos de carte à l’origine puis avec 13 cartes retournées par 13 participants sachant que le 14ème participant ne serait toujours passé devant la table.
Avec 14 cartes supplémentaires, cette fois-ci L est certain que 13 participants ont retourné la carte 2 fois soit 13*2 = 26 et que le 14ème l’a retournée au moins une fois ce qui donne au minimum le nombre de 26+1 = 27 cartes retournées par 14 participants, nombre auquel s’ajoute éventuellement le dos de la carte à l’origine.
Nota : l’énoncé précise que l’animateur fait venir les participants devant la table à intervalles de temps pas nécessairement réguliers si bien que chacun d’eux est incapable de déterminer le rang qu’il occupe dans la liste de ceux qui défilent devant la table. Si a contrario,
l’animateur avait précisé que l’épreuve commençait à 10 heures du matin et que les
participants étaient convoqués toutes les dix minutes, alors le cas n°2 étudié ci-dessus aurait été beaucoup plus simple à traiter : le premier candidat convoqué fait en sorte que la valet de pique soit visible après son passage et à 10 heures 10 minutes, on est dans les conditions du cas n°1.
