ECE2-B 2017-2018
Formule du binôme
Exercice 1. (☀) (d’aprèsEDHEC 2008) On considère les matrices :
D=
0 0 0 0 2 0 0 0 2
et N =
0 0 0 0 0 1 0 0 0
et on poseT =D+N. a. Déterminer N2.
b. Utiliser la formule du binôme pour montrer que :
∀n∈N∗, Tn=Dn+nDn−1N
c. Donner explicitement, pour toutn∈N∗, la matrice Tn en fonction den.
Exercice 2. (☀) (d’aprèsEDHEC 2016) On considère les matrices :
N =
0 0 1 0 0 1 0 0 0
et T = 2I+N =
2 0 1 0 2 1 0 0 2
Déterminer, pour tout entier naturel n, la matrice Tn comme combinaison linéaire de I et deN puis deI et deT.
Exercice 3. (☀) (d’aprèsESSEC III - 2007)
À l’aide de la formule du binôme de Newton et de la décomposition suivante : T =
2 0 0 0 2 0 0 0 2
+
0 1 0 0 0 1 0 0 0
déterminer l’expression de la matriceTn en fonction de l’entier natureln.
Exercice 4. (☀)(d’après ESC 2006)
À tout triplet(a, b, c) de réels, on associe la matrice M(a, b, c) définie par :
M(a, b, c) =
a a a 0 b b 0 0 c
Cas particulier de la matrice M(1,1,1)
On poseJ =M(1,1,1)−I3, la matrice I3 représentant la matrice unité de M3(R).
a. Calculer les matricesJ2, J3. En déduire, sans démonstration, l’expression de Jn, pour tout entier natureln>3.
b. Montrer que pour tout entier natureln>0 :
[M(1,1,1)]n=I3+n J+n(n−1) 2 J2
c. En déduire l’écriture matricielle de [M(1,1,1)]n pour tout n∈N. Cas particulier de la matrice M(1,1,2)
On noteT =
1 1 0 0 1 0 0 0 2
etR=
1 0 2 0 1 1 0 0 1
.
a. Montrer que pour tout entier natureln :Tn=
1 n 0 0 1 0 0 0 2n
.
b. Montrer que R a pour matrice inverse la matriceQ=
1 0 −2 0 1 −1 0 0 1
.
c. Démontrer que M(1,1,2) =R T Q.
d. Sans l’expliciter, écrire [M(1,1,2)]nen fonction de n, Q, R, T.
(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1
