3 - Étude d’une série.

ÉCS2

Memento sur les séries numériques.

1 - Pour prendre un bon départ.

Soit(u_n)_n>n0 une suite réelle, c’est-à-dire une succession infinie de termes réels u_n0,u_n0+1,u_n0+2, . . .,u_n0+m,. . ..

On peut s’intéresser aux propriétés de la suite (un)n>n₀ pour elle-même : est-elle croissante, décroissante, majorée, minorée, convergente, divergente vers+∞... ?

Toutes ces notions relèvent de l’étude des suites ...

D’autres fois⁽¹⁾, on s’intéresse à la suite obtenue en cumulant les termesu_n, c’est- à-dire à la succession :

u_n0,u_n0+u_n0+1,u_n0+u_n0+1+u_n0+2, . . . ou encore, en posant ∀n>n0, Sn =

n

X

k=n0

uk , on étudie la suite : Sn₀,Sn₀+1,Sn₀+2, . . .,Sn₀+m,. . ..

+ La série de terme général un est la suite(Sn)n>n₀. On la note X

n>n₀

un ouPun. + La série est convergente si la suite (Sn)n>n₀ converge. Dans ce cas, la limite de

(S_n)_n>n0 s’appellela somme de la série et se note

+∞

X

n=n0

u_n. Ainsi :

+∞

X

n=n₀

un= lim

n→+∞

n

X

k=n0

uk= lim

n→+∞Sn. + La série est divergente quand elle n’est pas convergente.

+ S_n estla somme partielle d’ordre n de la série.

+ Lorsque la série converge, le reste d’ordre n de la série est le nombreR_n défini par : R_n =

+∞

X

k=n+1

u_k=

+∞

X

k=n₀

u_k−S_n. On a alors lim

n→+∞R_n = 0.

- Ne pas confondre la série X

n>n₀

u_n et sa somme

+∞

X

n=n0

u_n.

- ∀n>n0, Sn+1−Sn=un+1 et

n

X

k=n0

uk+1−uk

=un+1−un₀, par conséquent :

¬ la sérieP

n>n₀un est croissante si, et seulement si, la suiteuest positive,

­ si la série converge, alors lim

n→+∞un= 0,

® la sérieP

n>n₀ un+1−un

et la suiteusont de même nature.

(1). notamment en probabilité avec le calcul des espérances, variances et autres réjouissances ...

2 - Les séries de référence.

ª Séries de Riemann : X

n>1

1

n^α converge si, et seulement si,α >1.

ª Séries exponentielles :∀x∈R, X

n>0

xⁿ

n! converge et

+∞

X

n=0

xⁿ n! =e^x. ª Séries géométriques :

X

n>0

qⁿ, X

n>1

nqⁿ⁻¹ et X

n>2

n(n−1)qⁿ⁻² convergent si, et seulement si,|q|<1.

Si|q|<1,

+∞

X

n=0

qⁿ= 1 1−q,

+∞

X

n=1

nqⁿ⁻¹= 1 (1−q)² et

+∞

X

n=2

n(n−1)qⁿ⁻²= 2 (1−q)³. - Lorsqu’elles convergent, ces séries sont absolument convergentes.

3 - Étude d’une série.

Soit(un)n>n₀ une suite réelle. On s’intéresse à la sérieP un. On ne commence jamais l’étude en écrivant

+∞

X

n=n₀

u_n =. . . ! ! ! !

car ceci suppose que la série converge, mais on raisonne sur la somme partielle ou sur le terme général.

¶ On commence par étudier lim

n→+∞un, car si lim

n→+∞un6= 0, alorsPun diverge.

· Siun = P(n)qⁿ ouun= P(n)xⁿ/(n!)avec Pun polynôme de bas degré,on peut faire apparaître des séries de référence

å soit en décomposantPà l’aide de1, n,n(n−1),n(n−1)(n−2),. . .

å soit en s’appuyant sur les moments des lois géométriques et de loi de Poisson.

¸ Siu_n est toujours positif,on peut tenter de montrer å queun ∼

n→+∞vnoùvnest le terme général d’une série de référence : alorsP un

etPvn sont de même nature (mais pas de même somme a priori) ; å qu’il existe α > 1 tel que lim

n→+∞n^αun = 0, donc tel que un = o

n→+∞(1/n^α) : alorsP

un converge ;

å qu’il existeα61tel que lim

n→+∞n^αu_n = +∞, donc tel que1/n^α= o

n→+∞(u_n): alorsP

un diverge ;

å queu_n6v_n avecPv_n convergente : alorsPu_n converge ; å quevn6un avecPvn divergente : alorsPun diverge ;

¹ Siu_n est toujours négatif, on peut appliquer¸à la série de termes général −u_n ou

». Les sériesPu_n etP(−u_n)sont de même nature.

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Memento sur les séries numériques.

º Si un est de signe alternant suivant la parité de n,du type un = (−1)ⁿvn ouun = (−1)ⁿ⁺¹vn où v est une suite positive décroissante tendant vers0, on peut montrer que les suites (S2n)et (S2n+1)sont adjacentes, et alors la suite(Sn) converge, donc Pun est convergente.

» Si u_n est de signe variable,on peut appliquer ¸à la série de terme général |u_n|. Si P|un|converge, alorsPun est absolument convergente, donc convergente.

-On ne peut rien dire dePu_n siP|u_n|diverge.

¼ S’il existe une suite v telle que un =vn+1−vn,alors par un téléscopage immédiat Sn=vn+1−vn₀. AlorsP

unconverge si, et seulement si, la suitevconverge, et dans ce cas, on a

+∞

X

n=n₀

un= lim

n→+∞vn−vn₀.

½ Si un =f(n) oùf continue décroissante positive et où la nature de R+∞

n₁ f(t)dt est connue,alorsP

un et R+∞

n₁ f(t)dtsont de même nature.

¾ Si un= f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ

n! pour une fonction adéquate,on peut utiliser l’inégalité de Taylor- Lagrange ou la formule de Taylor avec reste intégral pour majorer|f(x)−Sn|.

4 - Illustrations.

1. Soit, pour toutn>1,u_n = 1

n(n+ 1). On étudie la série de terme généralu_n:X

n>1

u_n.

¶ lim

n→+∞u_n= 0doncPu_n PEUT converger.

¸un est positif pour toutn>1.

å u_n ∼

n→+∞

1 n²etX

n>1

1

n² est une série de Riemann convergente donc⁽²⁾ Pu_n converge å ∀n>1, u_n 6 1

n² et X

n>1

1

n² est une série⁽³⁾ convergente donc⁽⁴⁾ Pu_n converge å lim

n→+∞n^αun = lim

n→+∞n^α−2 = 0 si α < 2. Pour α = 3 2, lim

n→+∞n^3/2un = 0 donc un= o

n→+∞

1 n^2/3

, etX

n>1

1

n^3/2 est une série⁽⁵⁾convergente, donc⁽⁶⁾ P

un converge

(2). Règle des équivalences.

(3). ... de Riemann avecα= 2>1.

(4). Règle des comparaisons.

(5). ... de Riemann (si !) avecα=³₂ >1.

(6). Règle des négligeabilités.

¼∀n>1, un= 1 n− 1

n+ 1 donc⁽⁷⁾ Sn= 1− 1

n+ 1 et puisque(Sn)_n∈1converge avec

n→+∞lim S_n= 1, Pu_n converge et

+∞

X

n=1

u_n= 1

½∀n>1, un =f(n)oùf :t7→1/(t(t+ 1))est continue, décroissante sur[ 1 ; +∞[ etR+∞

1 f(t)dtconverge⁽⁸⁾, donc⁽⁹⁾ P

un converge 2. Soit, pour toutn>0,vn= (n²+n+ 1)2ⁿ

n!. Étudions la série X

n>0

vn.

·En posantP(n) =n²+n+ 1, å P(k) =k(k−1) + 2k+ 1donc

Sn=

n

X

k=0

(k(k−1) + 2k+ 1)2^k

k! = 2²

n

X

k=2

2^k−2

(k−2)!+ 2×2

n

X

k=1

2^k−1 (k−1)! +

n

X

k=0

2^k k!

Sn= 4

n−2

X

j=0

2^j j!+4

n−1

X

j=0

2^j j!+

n

X

k=0

2^k

k!, chacune de ces trois sommes tendant vers e²lorsque ntend vers+∞. Par conséquent, Pvn converge, sa somme vaut9e².

å e⁻²2ⁿ

n! = P(X = n)pour X une v.a.r. suivant la loi de Poisson de paramètre 2. Or E(X)et E(X²) existent donc par linéarité E(X²+ X + 1) existe. Par transfert, cela signifie que

+∞

X

n=0

(n²+n+ 1)e⁻²2ⁿ

n! existe et vaut, toujours par linéarité,

E(X²+ X + 1) =E(X²) +E(X) + 1 =V(X) + (E(X))²+E(X) + 1 = 2 + 2²+ 2 + 1 = 9.

En multipliant par e², on obtient que

+∞

X

n=0

v_n existe et vaut9e².

3. Soit, pour toutn>1,w_n= (−1)ⁿ

√n . ºS_2n+2−S_2n= ^{√ 1}

2n+2−^√_2n+1¹ <0,S_2n+3−S_2n+1=−^√_2n+3¹ +^{√ 1}

2n+2 >0.

S2n+1−S2n=−^√_2n+1¹ −−−−−→

n→+∞ 0.(S2n)et (S2n+1)sont adjacentes, donc convergent vers une même limite. Ainsi (Sn)donc aussi Pwn convergent

-Pw_n n’est pas absolument convergente :X

|w_n|=X 1

n^1/2 diverge⁽¹⁰⁾.

(7). Par un heureux téléscopage.

(8). Carf(t) ∼

t→+∞

1

t² ou encore carF :t7→ln_t+1^t est une primitive def.

(9). Par le théorème de comparaison séries/intégrales.

(10). ... encore une série de Riemann avecα=¹₂ 61cette fois.

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