MPSI B 24 avril 2020
Énoncé
Partie 1. Suite de Sturm.
SoitP ∈R[X]sans racine multiple.
On noteP0 =P, P1 =P0, P2,· · ·, Pm6= 0R[X], Pm+1 = 0R[X] les polynômes obtenus par l'algorithme d'Euclide. On dénit des polynômesf0, f1, f2,· · · , fm par :
f0=P0=P, f1=P1=P0, f2=−P2, f3=−P3, f4=P4, f5=P5, · · · et ainsi de suite en alternant les signes par groupes de 2.
Ces polynômes constituent la suite de Sturm deP. 1. Justier quedeg(Pm) = 0.
2. Montrer qu'il existe des fonctions polynomialesg1,· · · , gm telles que
∀i∈J1, m−1K, fi−1=gifi−fi+1.
Comment s'expriment lesgiavec les quotients des divisions euclidiennes de l'algorithme d'Euclide ?
3. Montrer que∀x∈R, ∀i∈J0, m−1K: fi(x)6= 0oufi+1(x)6= 0.
4. Soitξ∈Reti∈J1, m−1Ktels quefi(ξ) = 0. Montrer quefi−1(ξ)fi+1(ξ)<0.
Partie 2. Nombre de changements de signe.
On noteZ0 l'ensemble des racines réelles def0et Z l'ensemble des racines réelles de tous lesfi.
∀x∈R, x∈ Z ⇔ ∃i∈J0, mKtqfi(x) = 0.
Pour x∈R\ Z, la suite (f0(x), f1(x),· · · , fm(x))ne prend pas la valeur0. On noteV(x) son nombre de changements de signe c'est à dire
V(x) = Card{i∈J0, m−1Ktqfi(x)fi+1(x)<0}. 1. Montrer que
∀x∈R\ Z, V(x) =1 2
m−1
X
i=0
fi+1(x)
|fi+1(x)| − fi(x)
|fi(x)|
.
En déduire que la fonctionV est constante dans chacun des intervalles qui constituent R\ Z et que, pour toutξ∈ Z, elle admet des limites strictement à gauche et à droite deξ. On les note
V−(ξ) = lim
x→ξ x<ξ
V(x), V+(ξ) = lim
x→ξ ξ<x
V(x).
2. a. Soitξ∈ Z0. Montrer que V+(ξ) =V−(ξ)−1. b. Soitξ∈ Z \ Z0. Montrer queV+(ξ) =V−(ξ).
c. Soit aet b dans R\ Z avec a < b. Montrer que V(a)−V(b) est le nombre de racines réelles deP dans[a, b].
3. Justier queV admet des limites nies (notées V(+∞) et V(−∞)) en +∞ et −∞. Comment peut-on exprimer ces limites avec la liste des coecients dominants desfi? 4. Dans cette question seulement on suppose queP peut admettre des racines multiples.
On dénit les polynômesf0, f1, f2,· · · comme dans la partie 1.
Montrer quefmdivise tous les fi.
On noteφi le polynôme quotient tel quefi=φifmet, pourx∈R\ Z, on désigne par W(x)le nombre de changement de signe dans la famille(φ0(x), φ1(x),· · ·, φm(x)). Montrer que les résultats des questions 1, 2.a, 2.b restent valables avecW. Que devient le résultat de 2.c ?
Partie 3. Application.
SoitP=X4+X3−X−1.
1. Eectuer les divisions euclidiennes suivantes : a. X4+X3−X−1par4X3+ 3X2−1. b. 4X3+ 3X2−1parX2+ 4X+ 5. c. X2+ 4X+ 5parX+ 2.
2. Appliquer l'algorithme d'Euclide à(P, P0). En déduire que les racines deP sont simples et former sa suite de Sturm.
3. En utilisant la suite de Sturm, calculer le nombre de racines dans[0,2], dansR.
4. Vérier les résultats de la question précédente en factorisantP après avoir trouvé des racines évidentes.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai Asuitesturm
MPSI B 24 avril 2020
Corrigé
Partie 1. Suites de Sturm.
1. Le polynômePmest le dernier reste non nul de la suite fournie par l'algorithme d'Eu- clide donc Pm est le pgcd de P et P0. CommeP est sans racine multiple,P n'a pas de racine en commun avec P0 donc P et P0 sont premiers entre eux c'est à dire que deg(Pm) = 0.
2. Exprimons les divisions euclidiennes de l'algorithme d'Euclide avec les notations de l'énoncéf0, f1, f2,· · · , fmégaux àP0=P, P1=P0,−P2,−P3, P4, P5,− · · ·.
P0=Q1P1+P2 ⇒ f0=Q1f1−f2
P1=Q2P2+P3 ⇒ f1=−Q2f2−f3
P2=Q3P3+P4 ⇒ −f2=−Q3f3+f4 ⇒ f2=Q3f3−f4
P3=Q4P4+P5 ⇒ −f3=Q4f4+f5 ⇒ f3=−Q4f4−f5
... ...
En posantgi= (−1)i+1Qi la suite de Sturm vérie bien fi−1=gifi−fi+1.
3. Pour un polynômeM quelconque, notonsR(M)l'ensemble de ses racines. L'ensemble des racines communes à deux polynômes consécutifs est un invariant de l'algorithme d'Euclide :
∅=R(P)∩ R(P0) =R(P1)∩ R(P2) =· · ·=R(Pi)∩ R(Pi+1).
Pour tout i et tout x, Pi(x) = 0 et Pi+1(x) = 0 est faux donc fi(x) 6= 0 ou fi+1(x)6= 0.
4. En prenant la valeur enξdans la relationfi−1=gifi−fi+1, on obtient fi−1(ξ) =−fi+1(ξ)⇒fi−1(ξ)fi+1(ξ) =−fi−1(ξ)2<0 carfi(ξ) = 0et fi−1(ξ)6= 0 d'après la question précédente.
Partie 2. Nombre de changements de signe.
1. Pour toutxqui n'est pas une racine d'unfi :
fi(x)
|fi(x)| =
( 1sifi(x)>0
−1sifi(x)<0 ⇒
fi+1(x)
|fi+1(x)| − fi(x)
|fi(x)|
=
(0 sifi(x)fi+1(x)>0 2 sifi(x)fi+1(x)<0.
La somme de l'énoncé compte donc bien les changements de signe :
∀x∈R\ Z, V(x) = 1 2
m−1
X
i=0
fi+1(x)
|fi+1(x)|− fi(x)
|fi(x)|
.
Cette expression montre queV est continue dansR\ Z. Comme elle est à valeurs en- tières, le théorème des valeurs intermédiaires prouve qu'elle est constante dans chacun des intervalles qui constituentR\ Z.
Soitξ∈ Z. Ce réel ξest l'extrémité droite d'un des intervalles constituantR\ Z. La fonctionV admet donc une limite strictement à gauche deξet cette limiteV−(ξ)est la valeur deV sur cet intervalle. De même de l'autre côté,ξ est l'extrémité gauche d'un des intervalles constituantR\ Z. La fonctionV admet donc une limite strictement à droite deξet cette limiteV+(ξ)est la valeur deV sur cet intervalle.
2. Soitξ∈ Z. CommeZ est ni (moins d'éléments que la somme des degrés des fi), il existeα >0 tel queξsoit le seul élément de Z dans[ξ−α, ξ+α]. On en déduit :
∀x∈[ξ−α, ξ[,∀i∈J0, mK, fi(x)6= 0.
Pour tous ces x, la suite des signes de (f0(x), f1(x),· · ·, fm(x))est la même donc la valeur deV(x)est la même et c'estV−(ξ). De même de l'autre côté,
∀y∈]ξ, ξ+α],∀i∈J0, mK, fi(y)6= 0.
Pour tous ces y, la suite des signes de (f0(y), f1(y),· · ·, fm(y)) est la même donc la valeur deV(y)est la même et c'estV+(ξ).
De plus, les signes de (f0(x), f1(x),· · · , fm(x)) et (f0(y), f1(y),· · ·, fm(y)) sont les mêmes sauf (éventuellement) pourfi(x)etfi(y)avecitel quefi(ξ) = 0.
On se place dans un tel intervalle pour les deux questions suivantes et on utilise les mêmes notations.
a. Iciξ∈ Z0, leidéni au dessus est0.
Supposonsf1(ξ) >0. Par continuité f1(x) >0, f1(y) >0 et la fonctionf0 est localement strictement croissante. Alors f0(x)<0 et f0(y)>0. Le changement de signe entre les deux premiers termes de(f0(x), f1(x),· · ·, fm(x))n'existe plus pour(f0(y), f1(y),· · · , fm(y)).
De même f1(ξ) < 0 entraine f1(x) < 0, f1(y) < 0, f0(x) > 0, f0(y) < 0. Ici encore, un changement de signe est perdu dexày. Ceci prouve
V+(ξ) =V−(ξ)−1.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
2 Rémy Nicolai Asuitesturm
MPSI B 24 avril 2020
b. Ici leitel quefi(ξ) = 0est≥1. D'après 1.4., on sait quefi−1(ξ)fi+1(ξ)<0. Supposonsfi−1(ξ)<0et fi+1(ξ)>0. Par continuité,
fi−1(x)<0, fi+1(x)>0, fi−1(y)<0, fi+1(y)>0.
Quel que soit le signe de fi(x), le triplet (fi−1(x), fi(x), fi+1(x)) ne change de signe qu'une fois (entrei−1 et iou entreiet i+ 1). De même, quel que soit le signe de fi(y), le triplet (fi−1(y), fi(y), fi+1(y))ne change de signe qu'une fois.
Le nombre total de changements de signe reste le même : V+(ξ) =V−(ξ).
c. Quand xvarie de a à b, V(x) ne varie qu'en traversant une racine de P. Il est décrémenté de1 en traversant une telle racine. On en déduit
V(b) =V(a)−nb racines dans[a, b]⇒nb racines dans[a, b] =V(a)−V(b).
3. Soit u = minZ et v = maxZ. La fonction V est constante dans ]−∞, u[ et dans ]v,+∞[. Elle admet une limiteV(−∞) en−∞égale à sa valeur dans]−∞, u[et une limiteV(+∞)en+∞égale à sa valeur dans]v,+∞[.
Pour touti∈J0, mK, notons di le coecient dominant de fi etδi son degré.
Présentons dans un tableau des réels de même signe quefi(x)dans ces intervalles ]−∞, u[ ]v,+∞[
signe defi(x) (−1)δidi di On en déduit
V(−∞) = nb de chgts de signes de (−1)δ0d0,· · ·,(−1)δmdm
, V(+∞) = nb de chgts de signes de (d0,· · · , dm).
4. Dans cette question,P peut admettre des racines multiples. Le dernier polynôme non nulPm de l'algorithme d'Euclide est le pgcd deP et deP0. Il n'est pas forcément de degré0.
L'ensemble des diviseurs communs àPietPi+1est le même pour tous lesi∈J0, m−1K.
Donc le pgcdPmdeP0etP1 divise tous lesPi. De même,φmdivise tous lesφi car on passe dePi àφi en multipliant par1ou−1.
Lorsquedeg(Pm)≥1, ses racines sont les racines multiples deP. Notonsz1,· · · , zsces racines multiples etp1,· · · , psleurs multiplicités. Tous lespi sont≥2. À un coecient multiplicatif prèsPmest
(X−z1)p1−1· · ·(X−zs)ps−1.
Donc les racines deφ0 sont celles deP mais elles sont toutes simples.
Reprenons les notations de la question 2 pour l'ensembleZ des racines, les intervalles constituantR\Z, une racineξet leαdénissant un peitit intervalle sans racine autour deξ.
Supposonsξ racine deφ0.
Partie 3. Application.
1. Présentons dans un tableau les résultats des divisions euclidiennes demandées
division quotient reste
a X4+X3−X−1 par4X3+ 3X2−1 14X+161 −163(X2+ 4X+ 5) b 4X3+ 3X2−1 parX2+ 4X+ 5 4X−13 32(X+ 2)
c X2+ 4X+ 5 parX+ 2 X+ 2 1
2. Le tableau précédent permet de former l'algorithme d'Euclide et la suite de Sturm associée. On trouve
P0=P =X4+X3−X−1 f0=X4+X3−X−1 P1=P0= 4X3+ 3X2−1 f1= 4X3+ 3X2−1 P2=−3
16(X2+ 4X+ 5) f2= 3
16(X2+ 4X+ 5) P3= 32(X+ 2) f3=−32(X+ 2) P4=−3
16 f4=−3
16
Le fait queP4 soit de degré non nul signie queP et P0 sont premiers entre eux c'est à dire que toutes les racines deP sont simples.
3. D'après la partie 3, le nombre de racines deP entre0 est2 estV(0)−V(2) avec
V(0) = nb chgts de signe dans
−1,−1,15
16,−64,−3 16
= 2
V(2) = nb chgts de signe dans
21,43,13×17
16 ,−32×4,−3 16
= 1.
Il existe donc une seule racine entre0et 2.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
3 Rémy Nicolai Asuitesturm
MPSI B 24 avril 2020
Le nombre de racines réelles estV(−∞)−V(+∞)avec
V(−∞) = nb chgts de signe dans
1,−4, 3
16,32,−3 16
= 3
V(+∞) = nb chgts de signe dans 1,4, 3
16,−32,−3 16
= 1.
Il existe exactement 2 racines réelles.
4. En fait1 et−1sont des racines évidentes deP qui se factorise
P = (X4−1) + (X3−X) = (X2−1)(X2+ 1) + (X2−1)X= (X2−1)(X2+X+ 1).
Il admet bien deux racines réelles1et−1 et deux racines non réellesj etj2 ce qui est conforme aux résultats de la question précédente.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
4 Rémy Nicolai Asuitesturm
