1. Montrer que ζ 2

L3 – Alg` ebre 2 2013–2014 : DM 1

Devoir Maison I

Exercice 1. (Constructibilit´ e de polygones r´ eguliers)

Pour tout entier n ≥ 2, on note ζ _n = e ^2iπ/n . On s’int´ eresse ici ` a la constructibilit´ e ` a la r` egle et au compas du nombre ζ <sub>n</sub> ou plus g´ eom´ etriquement ` a celle de l’angle 2π/n ou encore ` a celle du n-gone r´ egulier.

1. Montrer que ζ ₂

est constructible pour tout k ∈ N.

2. Soient m, n ∈ N premiers entre eux. Montrer que ζ m et ζ n sont constructibles si et seulement si ζ mn l’est.

3. Un nombre premier de Fermat est un nombre premier p tel que p − 1 est une puissance de 2. Montrer que tout nombre premier de Fermat est de la forme 2 ²

+ 1. Exhiber les permiers nombres de Fermat.

4. Soit p un nombre premier impair. Montrer que si ζ _p est constructible, alors p est de Fermat.

5. Soit p un nombre premier de Fermat. Le but de cette question est de montrer la r´ eciproque de la question pr´ ec´ edente.

(a) Soit n un entier premier avec p.

i. Montrer qu’il existe un unique automorphisme Q-lin´ eaire du corps Q[ζ _p ] qui envoie ζ _p sur ζ _p ⁿ . On note σ _n cet automorphisme.

ii. Montrer que σ _n ne d´ epend que de la classe de congruence de n modulo p.

iii. Montrer que l’ensemble des points fixes de σ _n dans Q[ζ _p ] forme un sous-corps de Q[ζ p ].

(b) Soit u un g´ en´ erateur du groupe cyclique (Z/pZ) ^∗ . Pour tout entier naturel m, on note τ m = σ _u

et K m le sous-corps de Q[ζ p ] form´ e des points fixes de τ m .

i. Montrer que K 0 = Q.

ii. Montrer que pour tout m ∈ N, τ m+1 = τ m ◦ τ m . En d´ eduire que K m+1 est une extension de K _m de degr´ e au plus 2.

iii. Montrer que ζ _p est constructible.

Il nous reste ` a ´ etudier la constructibilit´ e du nombre ζ _p

o` u p est un nombre premier impair et i ≥ 2. Soit n ∈ N. Rappelons que le n-i` eme polynˆ ome cyclotomique est d´ efini par

Φ _n (X) = Y

k∈(Z/nZ)

(X − ζ _n ^k )

et c’est un polynˆ ome ` a coefficients entiers.

6. Dans cette question seulement on suppose connu le fait que les polynˆ omes cyclotomiques Φ n sont irr´ edctibles dans Q[X]. Montrer que le nombre ζ _p

n’est pas constructible, o` u p est un nombre premier impair et i ≥ 2.

7. Maintenant on se propose de montrer le mˆ eme r´ esultat sans rien admettre sur les po- lynˆ omes cyclotomiques. Soit p un nombre premier impair.

(a) Ecrire explicitement les polynˆ omes Φ _p et Φ _p

, et montrer que Φ _p est irr´ eductible.

(b) Montrer que pour tout m, n ∈ N, la constructibilit´ e de ζ _mn entraˆıne celle de ζ _n . En d´ eduire que la non-constructibilit´ e de ζ _p

entraˆıne celle de tous les ζ _p

, i ≥ 2.

(c) Montrer que le polynˆ ome Φ _p

(X + 1) est irr´ eductible dans Q[X] et conclure.

8. Trouver tous les entiers n ∈ N tels que ζ _n soit constructible.

9. Observer que ζ ₅ ² + ζ ₅ + 1 + ζ ₅ ⁻¹ + ζ ₅ ⁻² = 0. En d´ eduire le polynˆ ome minimal de cos( ^2π ₅ )

sur Q et une m´ ethode de construction du pentagone r´ egulier ` a la r` egle et au compas.