Montrer que siP(X)Q(X

Université Bordeaux 1 Algèbre 4 – Licence 3

Mathématiques Année 2013–2014

FEUILLE D’EXERCICES n^o4 Polynômes, anneaux nœthériens

Exercice 1– SoitAun anneau (commutatif unitaire). On considère le polynôme P(X) =Pn

i=0a_iXⁱ deA[X].

1) Montrer que P(X) est nilpotent dans A[X] si et seulement si tous les a_i (06i6n) sont nilpotents dansA.

2)Dans cette question on supposeran >1. SoitQ(X) = Pm

i=0b_iXⁱ un polynôme deA[X]. Montrer que siP(X)Q(X) = 1, alorsaⁱ⁺¹_n bm−i = 0 pour tout06i6m et que a_n est nilpotent.

3)En déduire queP(X)∈A[X]^× si et seulement sia₀ ∈A^× eta₁, a₂, . . . , a_nsont nilpotents.

Exercice 2 – Soient P(X) ∈ Z[X] et m ∈ Z. On note P(X) le polynôme de Z/mZ[X] obtenu par réduction modulo m des coefficients de P(X).

1) Montrer qu’on a un isomorphisme d’anneaux Z[X]

(m, P(X)) ' Z/mZ[X]

(P(X)) .

2) Supposons que m soit premier et que P(X) soit irréductible. Montrer que (m, P(X))est maximal dans Z[X].

Exercice 3 – On rappelle qu’un anneau nœthérien est un anneau dans lequel toute suite croissante d’idéaux est stationnaire. On a vu dans la feuille 3 que tout anneau principal est nœthérien.

1) Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (i) A est nœthérien ;

(ii) tout idéal de A est de type fini ;

(iii) tout ensemble non vide d’idéaux de A a un élément maximal pour l’in- clusion.

2) Montrer que si A est nœthérien et si I est un idéal de A, alors A/I est nœthérien.

3) On se propose de montrer que si A est nœthérien, A[X] l’est aussi (théorème de transfert de Hilbert).

a) Soit I un idéal de A[X] Pour tout n ∈ N, on note dn(I) l’ensemble des coefficients dominants des éléments deI de degrén auquel on adjoint0. Montrer que :

(1) d_n(I) est un idéal de A;

(2) si I ⊆J, dn(I)⊆dn(J) pour toutn; (3) d_n(I)⊆d_n+1(I);

(4) si I ⊆J, alors I =J ⇔d_n(I) =d_n(J) pour toutn.

b) Soit (I_n)_n>0 une suite croissante d’idéaux deA[X]. Montrer que l’ensemble des d_n(I_k) (n, k ∈ N) admet un élément maximal d_l(I_m) et que pour tout k 6l, il existe n_k tel que pour tout n>n_k on a d_k(I_n) =d_k(I_nk).

c) SoitN = max{m, n₀, n₁, . . . , n_l}. Montrer que pour toutn >N on aI_n=I_N et conclure.

4) On a vu que principal implique nœthérien. Donner un exemple d’anneau nœ- thérien non principal.

5) Montrer que si A est intègre nœthérien, la propriété d’existence de la décom- position de la factorialité est vérifiée par A. On pourra considérer l’ensemble des idéaux (a) oùa ∈A\ {0} eta ne se décompose pas comme produit d’une unité et d’un produit d’irréductibles.

6)Montrer par un contre-exemple que l’on n’a pas nécessairement l’unicité (à as- sociation et ordre près) de cette décomposition¹. On pourra considérerA=Z[i√

5]

et monter que dans A, l’élément 9admet deux décompositions incompatibles, ou encore que dans A, les éléments 6et 2 + 2i√

5 n’ont pas de pgcd.

7) Montrer² que factoriel n’implique pas nécessairement nœthérien. Pour cela, considérer K[X₁, X₂, . . . , X_n, . . .] l’anneau des polynômes à une infinité dénom- brable d’indéterminées sur un corps K.

1Ainsi nœthérien + intègre 6=⇒ factoriel, alors que principal + intègre =⇒ factoriel (voir cours).

2On pourra utiliser le théorème de transfert de Gauss qui sera vu prochainement en cours : siAest factoriel, A[X]l’est aussi.