MPSI B 2010-2011 DS 10 (Commun 2) 29 juin 2019
Problème 1.
Ce problème porte sur le nombre ζ(2) 1 . Pour p ∈ C, lorsque la suite
1 + 1 2 p + 1
3 p + · · · + + 1 n p
n∈ N
∗converge, sa limite est notée ζ(p) (fonction zeta de Riemann).
L'objet de ce problème est de montrer que ζ(2) = π 2
6 et que ce nombre est irrationnel.
Partie I - Convergence de la suite
Dans cette partie, pour tous entiers naturels non nuls p et n , on pose :
S n (p) =
n
X
k=1
1 k p .
1. Montrer que, pour tout entier k ≥ 1 , 1 (k + 1) p ≤
Z k+1 k
dx x p ≤ 1
k p . 2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 2 ,
S n (p) − 1 ≤ Z n
1
dx
x p ≤ S n−1 (p).
3. Montrer qu'une primitive de la fonction
[1, +∞[ −→ R t 7−→ 1 t p est majorée si et seulement si p ≥ 2 .
4. Montrer que la suite (S n (p)) n∈
N
∗converge si et seulement si p ≥ 2 .
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d'après Concours commun mines Albi-Alès-Douai-Nantes, 2002, MPSI
Partie II - Calcul de la limite
Dans cette partie, on dénit une fonction h dans R et une fonction ϕ dans [0, π] par :
∀t ∈ R , h(t) = 1
2π t 2 − t, ϕ(t) =
− 1 si t = 0 h(t)
2 sin t 2
si t ∈]0, π]
1. Montrer que ϕ ∈ C 1 ([0, π]) . 2. Calculer Z π
0
h(t) cos(kt) dt pour tout k entier naturel non nul.
3. Pour t ∈ ]0, π] , donner une expression factorisée de
n
X
k=1
cos(kt) . En déduire une constante λ (à préciser) telle que :
∀t ∈ ]0, π] ,
n
X
k=1
cos(kt) = sin
n + 1
2
t
2 sin t
2
− λ.
4. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour toute fonction ψ ∈ C 1 ([0, π]) , la suite Z π
0
ψ(t) sin
n + 1 2
t
dt
n∈ N
converge vers 0 . 5. Montrer que
ζ(2) = π 2 6 .
Partie III - Irrationalité
Dans cette partie, on veut montrer que π 2 est irationnel. On va raisonner par l'absurde en supposant que π 2 = a
b avec a et b naturels non nuls. On pose aussi :
∀n ∈ N ∗ , ∀x ∈ R , f n (x) = 1
n! x n (1 − x) n . 1. Dans cette question, n ∈ N ∗ .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1010EMPSI B 2010-2011 DS 10 (Commun 2) 29 juin 2019
a. Montrer qu'il existe n + 1 entiers e n , e n+1 , · · · , e 2n tels que
f n (x) = 1 n!
2n
X
i=n
e i x i .
b. Montrer que pour tout k ∈ N, f (k) (0) et f (k) (1) sont des entiers.
(On pourra remarquer que f n (x) = f n (1 − x) ).
2. Pour tout n entier naturel non nul, on dénit une fonction F n et une fonction g n dans R par :
F n (x) = b n
π 2n f n (x) − π 2n−2 f n (2) (x) + π 2n−4 f n (4) (x) − · · · + (−1) n f (2n) (x) , g n (x) = F n 0 (x) sin(πx) − πF n (x) cos(πx).
a. Montrer que F n (0) et F n (1) sont entiers.
b. Montrer que g 0 n (x) = π 2 a n f n (x) sin(πx) et que A n est entier, où A n = π
Z 1 0
a n f n (x) sin(πx) dx.
3. a. Montrer qu'il existe un entier naturel n 0 tel que pour tout entier n ≥ n 0 , on ait a n
n! < 1 2 . b. Montrer que 0 ≤ f n (x) ≤ 1
n! pour tout x ∈ [0, 1] . c. Que peut-on dire de A n lorsque n ≥ n 0 ?
En déduire que π 2 est irrationnel.
d. Comment peut-on en déduire que π est irrationnel ? Pour information.
On sait depuis le 18ème siècle que ζ(p) est irrationnel pour p pair ( p ≥ 2 ). On a démontré seulement en 1979 (Apéry) que ζ(3) est irrationnel. Pour les autres entiers impairs, la conjecture reste non démontrée.
Problème 2.
Ce problème porte sur le résultant de deux polynômes 2
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d'après Concours communs Polytechniques, 2009, MP
Partie I - Dénition et propriétés
Soient p et q deux entiers naturels non nuls. Soient
P =
p
X
k=0
a k X k et Q =
q
X
k=0
b k X k
deux polynômes de C [X] avec a p 6= 0 , b q 6= 0 .
Le résultant des polynômes P et Q est le nombre complexe noté Res (P, Q) :
Res (P, Q) =
a 0 b 0
a 1 ... b 1 ...
... a 0 ... b 0
a p a 1 a 0 ... b 1
... ... a 1 b q ...
a p ... ... ...
a p b q
C'est un déterminant de q + p colonnes, dont les q premières colonnes représentent les coecients du polynôme P et les p suivantes représentent les coecients du polynôme Q : les positions non remplies étant des zéros.
Par exemple, si P = 1 + 2X + 3X 2 et Q = 4 + 5X + 6X 2 + 7X 3 ,
Res (P, Q) =
1 0 0 4 0
2 1 0 5 4
3 2 1 6 5
0 3 2 7 6
0 0 3 0 7
La matrice servant à dénir Res (P, Q) pourra être notée M P,Q :
Res (P, Q) = det(M P,Q ) On note E = C q−1 [X] × C p−1 [X] et F = C p+q−1 [X] .
Soit u l'application de E vers F dénie pour (A, B) ∈ E par : u(A, B) = P A + QB
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Rémy Nicolai S1010EMPSI B 2010-2011 DS 10 (Commun 2) 29 juin 2019
1. Cas où u est bijective.
a. Montrer que u est une application linéaire.
b. Montrer que u bijective entraine P et Q premiers entre eux.
c. On suppose P et Q premiers entre eux. Déterminer Ker(u) et en déduire que u est bijective.
2. Matrice de u . On note
B = ((1, 0), (X, 0), . . . , (X q−1 , 0), (0, 1), (0, X ), . . . , (0, X p−1 )) une base de E et B 0 la base canonique de F
B 0 = (1, X, . . . , X p+q−1 ) a. Déterminer la matrice de u dans les bases B et B 0 .
b. Démontrer que Res (P, Q) 6= 0 si et seulement si P et Q sont premiers entre eux (donc Res (P, Q) = 0 si et seulement si P et Q ont au moins une racine commune complexe).
3. Racine multiple.
a. Démontrer qu'un polynôme P de C [X ] admet une racine multiple dans C si et seulement si Res (P, P 0 ) = 0 .
b. Application : déterminer une condition nécessaire et susante pour que le poly- nôme X 3 + aX + b admette une racine multiple.
Partie II - Applications
1. Équation de Bezout
Dans cette question, on note P = X 4 + X 3 + 1 et Q = X 3 − X + 1 .
a. Démontrer, en utilisant la première partie, que les polynômes P et Q sont premiers entre eux.
b. On cherche un couple (A 0 , B 0 ) de polynômes de C [X] tel que P A 0 + QB 0 = 1.
Expliquer comment on peut trouver un tel couple en utilisant la matrice de u puis donner un couple solution.
c. Déterminer tous les couples (A, B) de polynômes de C [X ] vériant P A + QB = 1.
On pourra commencer par remarquer que, si (A, B) est un couple solution, alors P(A − A 0 ) = Q(B 0 − B) .
2. Nombre algébrique.
En utilisant les polynômes
P = X 2 − 3 et Q y = (y − X) 2 − 7,
déterminer un polynôme à coecients entiers de degré 4 ayant comme racine √ 3 + √
7 . Quelles sont les autres racines de ce polynôme ?
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