FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

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FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE

Révisions de première année 8

PSI 2020 – 2021 Lycée Descartes

Tours

Plan du cours

I. Limites

²

I. 1. Définitions . . . 2

I. 2. Limites à gauche et à droite . . . 3

I. 3. Opérations sur les limites . . . 4

I. 4. Limites et inégalités. . . 4

I. 5. Caractérisation séquentielle de la limite . . . 5

I. 6. Limite monotone . . . 5

I. 7. Extension aux fonctions complexes. . . 5

II. Continuité

⁶ II. 1. Définition. . . 6

II. 2. Continuité à gauche et à droite . . . 6

II. 3. Opérations sur la continuité. . . 6

II. 4. Prolongement par continuité en un point . . . 7

II. 5. Caractérisation séquentielle de la continuité . . . 7

II. 6. Théorème des valeurs intermédiaires. . . 7

II. 7. Fonctions continues sur un segment . . . 7

II. 8. Théorème de la bijection . . . 7

II. 9. Extension aux fonctions complexes. . . 8

III. Dérivabilité

8 III. 1. Définition. . . 8

III. 2. Dérivabilité à gauche et à droite . . . 9

III. 3. Opérations sur la dérivabilité . . . 9

III. 4. Extrema et dérivabilité . . . 10

III. 5. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis. . . 10

III. 6. Monotonie et dérivabilité . . . 10

III. 7. Théorème de la limite de la dérivée. . . 11

III. 8. Dérivées d’ordre supérieur . . . 11

III. 9. Extension aux fonctions complexes . . . 12

IV. Analyse asymptotique

12 IV. 1. Relations de comparaison . . . 12

IV. 2. Manipulation des équivalents . . . 13

IV. 3. Développements limités . . . 14

IV. 4. Lien entre régularité et développements limités . . . 14

IV. 5. Obtention de développements limités . . . 14

IV. 6. Applications des développements limités . . . 14

(2)

V. Intégration sur un segment

15

V. 1. Propriétés de l’intégrale . . . 15

V. 2. Sommes de Riemann . . . 15

V. 3. Primitives d’une fonction continue . . . 16

V. 4. Calcul d’intégrales . . . 16

V. 5. Formules de Taylor . . . 16

V. 6. Extension aux fonctions complexes. . . 17

L’ensemble de définition des fonctions considérées dans la suite sera soit unepartieDquelconquedeRsoit uninter- valleI deRnon vide et non réduit à un point.

On rappelle que l’on appelleintervalle de Rtoute partie I deRtelle que pour tout (x,y)∈I²avecxÉyl’on a£ x,y¤

⊂I.

Dans la suite, on noteraRl’ensembleR∪{−∞,+∞} sur lequel on a prolongé la relation d’ordre deRainsi que les opérations+et×deRlorsque cela est possible.

Pour rappel, les trois cas non définis sont « (+∞)+(−∞) », « 0×(+∞) » et « 0×(−∞) ».

Notion de voisinage Sia∈R, on appellevoisinage de a:

■ sia∈R, tout intervalle de la forme ]a−r,a+r[ avecr>0 ;

■ sia= −∞, tout intervalle de la forme ]−∞, M [ avec M∈R;

■ sia= +∞, tout intervalle de la forme ] M ,+∞[ avec M∈R.

Notion de point adhérent Si D⊂R, on dit quea∈Restadhérent àD si tout voisinage V_adeavérifie V_a∩D6= ;. Par exemple, 0 est adhérent à [ 0 , 1 ], 0 est adhérent à ] 0 , 1 ] et+∞est adhérent à [ 1 ,+∞[. En d’autres termes,aest adhérent à D s’il appartient à D ou s’il est « au bord de D ».

On notera D l’ensemble des points adhérents à D, ce qui est cohérent avec la notationR.

Notion de point intérieur Si D⊂R, on dit quea∈D est un pointintérieur àD s’il existe un voisinage Vadu point atel que Va⊂D.

Par exemple, 1 est intérieur à ] 0 , 2 ] mais 0 et 2 ne le sont pas. En d’autres termes,aest un point intérieur à D s’il n’est pas « au bord de D ».

On notera ˚D l’ensemble des points intérieurs à D.

Propriété vraie au voisinage d’un point On dira quef : D→Rvérifie une propriétéP au voisinage dea∈D s’il existe un voisinage Vadeatel queP soit vérifiée sur Va∩D.

I. Limites

I. 1. Définitions

Définition 1 –

Limite

Soientf : D→Rune fonction,a∈D un point adhérent à D et`∈R. Cas d’une limite finie

■ Si`∈Reta∈R, on dit quef(x)tend vers`quand x tend vers asi :

∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈D, |x−a| Éη=⇒ ¯

¯f(x)−`¯

¯Éε

■ Si`∈Reta= −∞, on dit quef(x)tend vers`quand x tend vers−∞si :

∀ε>0, ∃M∈R, ∀x∈D, xÉM=⇒ ¯

¯f(x)−`¯

¯Éε

■ Si`∈Reta= +∞, on dit quef(x)tend vers`quand x tend vers+∞si :

∀ε>0, ∃M∈R, ∀x∈D, xÊM=⇒ ¯

¯f(x)−`¯

¯Éε

(3)

Cas d’une limite infinie

■ Si`= +∞eta∈R, on dit quef(x)tend vers`quand x tend vers asi :

∀M∈R, ∃η>0, ∀x∈D, |x−a| Éη =⇒ f(x)ÊM

■ Si`= +∞eta= −∞, on dit quef(x)tend vers`quand x tend vers−∞si :

∀M∈R, ∃N∈R, ∀x∈D, xÉN =⇒ f(x)ÊM

■ Si`= +∞eta= +∞, on dit quef(x)tend vers`quand x tend vers+∞si :

∀M∈R, ∃N∈R, ∀x∈D, xÊN =⇒ f(x)ÊM

■ Les définitions dans le cas`= −∞se déduisent en travaillant sur−f.

Notation Dans le cas où f admet`pour limite ena, on utilisera les notations`=lim

x→af(x) ou`=lim

a f ou encore f(x)_x→a−→`ouf −→_a `.

Remarque

–

Unicité de la limite

Sif : D→Radmet une limite ena∈D alors cette limite est unique.

Proposition 1 –

Limite finie et caractère localement borné Soientf : D→Rune fonction eta∈D un point adhérent à D.

Sif admet une limite finie enaalorsf est bornée au voisinage dea.

I. 2. Limites à gauche et à droite Définition 2 –

Limite à gauche et à droite

Soientf : D→Rune fonction,a∈D un point adhérent à D et`∈R. On suppose quef est définie à gauche et à droite au voisinage dea.

■ On dit quef admet `pour limite à gauche en asif_|_{D∩]−∞,a[}admet`pour limite ena.

■ On dit quef admet `pour limite à droite en asif_|_D∩]a,+∞[admet`pour limite ena.

Notation Dans le cas où f admet`pour limite à gauche (resp. à droite) au point a, on utilisera les notations

`= lim

x→a⁻f(x) ou`=lim

a⁻ f (resp.`= lim

x→a⁺f(x) ou`=lim

a⁺ f).

Proposition 2 –

Lien entre limite et limites à gauche et à droite

Soientf : D→Rune fonction,a∈D un point adhérent à D et`∈R. On suppose quef est définie à gauche et à droite au voisinage dea.

■ Sia∈D, alors lim

a f =`si et seulement si lim

a⁻ f =lim

a⁺ f =`et`=f(a).

■ Sia∉D, alors lim

a f =`si et seulement si lim

a⁻ f =lim

a⁺ f =`.

Exemple La fonctionf définie surRparf(x)=0 six6=0 etf(0)=1 vérifie lim

0⁻ f =lim

0⁺ f =06=f(0).

De fait,f n’admet pas de limite en 0.

(4)

I. 3. Opérations sur les limites

Soientf : D→Retg: D→Rdeux fonctions,a∈D, (`,`⁰)∈R²etλ ∈R.

■ Combinaison linéaire Si lim

a f =`et lim

a g=`⁰alors lim

a (λf +g)=λ`+`⁰.

■ Produit Si lim

a f =`et lim

a g=`⁰alors lim

a f g=``⁰.

■ Inverse

Sif 6=0 sur D et lim

a f =`alors : si`6=0, lim

a

1 f =1

` et si`=0⁺(resp.`=0⁻), lim

a

1

f = +∞(resp.−∞).

Soientf : D→E etg: E→Rdeux fonctions,a∈D etb∈E.

■ Composition Si lim

a f =bet lim

b g=`alors lim

a (g◦f)=`. Remarque

–

Forme indéterminée

Dans le cas des opérations algébriques, le résultat n’est valable que si les opérations dansRqui apparaissent, à savoirλ`+`⁰,``⁰ou 1/`(avec la convention 1/(+∞)=1/(−∞)=0), ont un sens. Si ce n’est pas le cas, on parle alors deforme indéterminéeet il faut approfondir l’étude de la limite.

Pour rappel, les cas problématiques sont « (+∞)+(−∞) », « 0×(+∞) » et « 0×(−∞) ».

I. 4. Limites et inégalités Proposition 3 –

Limite et signe

Soientf : D→Rune fonction,a∈D un point adhérent à D et`∈R. On suppose que lim

a f =`. Si`>0 ou`= +∞alorsf est strictement positive au voisinage dea.

Proposition 4 –

Passage à la limite dans une inégalité

Soientf : D→Retg: D→Rdeux fonctions eta∈D un point adhérent à D. On suppose quef etgadmettent des limites finies ena.

Sif(x)Ég(x) au voisinage deaalors lim

a f Élim

a g.

Remarque Cela ne fonctionne pas avec des inégalités strictes.

Par exemple,e^−x>0 pour toutx∈Rmais lim

x→+∞e^−x=0.

Proposition 5 –

Limite par encadrement

Soientf : D→R,g: D→Reth: D→Rtrois fonctions,a∈D un point adhérent à D et`∈R. Sif(x)Ég(x)Éh(x) au voisinage deaet si lim

a f =lim

a h=`alorsgadmet une limite enaet lim

a g=`.

Proposition 6 –

Limite par minoration ou majoration

Soientf : D→R,g: D→Rdeux fonctions eta∈D un point adhérent à D.

■ Sif(x)Ég(x) au voisinage deaet si lim

a f = +∞alors lim

a g= +∞.

(5)

■ Sif(x)Ég(x) au voisinage deaet si lim

a g= −∞alors lim

a f = −∞.

I. 5. Caractérisation séquentielle de la limite Proposition 7 –

Caractérisation séquentielle

Soientf : D→Rune fonction,a∈D un point adhérent à D et`∈R. Les deux assertions suivantes sont équivalentes :

(1) lim

a f =`

(2) Pour toute suite (xn)_n_∈Nà valeurs dans D de limitea, la suite (f(xn))n∈Na pour limite`.

Exemple La fonction sin n’admet pas de limite en+∞puisque :

n→+∞lim sin(2nπ)=0 et lim

n→+∞sin³ 2nπ+π

2

´

=1

I. 6. Limite monotone

Théorème 1 –

Théorème de la limite monotone

Soitf : [a,b[→Raveca∈R,b∈R∪{+∞} eta<bune fonction croissante.

Alorsf admet une limite dansRenb. Sif est majorée alors lim

b f est finie et vaut sup

[a,b[

f, sinon lim

b f = +∞.

Remarque Des énoncés similaires peuvent être écrits dans le cas où l’intervalle de définition est de la forme ]a,b] et/ou dans le cas oùf est décroissante.

I. 7. Extension aux fonctions complexes

Il est possible d’étendre la notion de limitefinieaux fonctions à valeurs dansC. En effet, il suffit de reprendre les assertions pour le cas d’une limite finie de laDéfinition 1et de remplacer les valeurs absolues par des modules.

Les inégalités n’ayant pas de sens dansC, on ne peut plus parler de limite infinie, de fonction majorée, minorée ou monotone. En revanche, il est possible de définir la notion de fonction complexe bornée : une fonctionf : D→Cest ditebornées’il existe un réel KÊ0 tel que pour toutx∈D on a¯

¯f(x)¯

¯ÉK.

Ainsi, parmi les énoncés précédents, lesProposition 1, Définition 2, Proposition 2, les opérations sur les limites tant que±∞n’apparaissent pas et laProposition 7restent valables dans le cas complexe. Les autres n’ont plus de sens car ils reposent sur la relation d’ordre deR.

Enfin, l’étude de la limite d’une fonction complexef peut se ramener à l’étude de la limite des deux fonctions réelles Re(f) et Im(f) comme le précise le résultat suivant.

Théorème 2 –

Limite d’une fonction complexe et de ses parties réelle et imaginaire Soientf : D→Cune fonction,a∈D un point adhérent à D et`∈C.

Les deux assertions suivantes sont équivalentes : (1) lim

a f =` (2) lim

a Re(f)=Re(`) et lim

a Im(f)=Im(`)

(6)

II. Continuité

II. 1. Définition

Définition 3 –

Continuité Soitf : D→Rune fonction.

■ Soita∈D. On dit quef est continue en asi lim

a f existe. Dans ce cas, on a nécessairement lim

a f =f(a).

Ainsi,f est continue enasi :

∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈D, |x−a| Éη =⇒ ¯

¯f(x)−f(a)¯

¯Éε

■ On dit quef est continue surD si elle est continue en tout point de D.

Notation On noteraC(D,R) l’ensemble des fonctions à valeurs réelles continues sur D.

II. 2. Continuité à gauche et à droite Définition 4 –

Continuité à gauche et à droite

Soientf : D→Rune fonction eta∈D. On suppose quef est définie à gauche et à droite au voisinage dea.

■ On dit quef est continue à gauche en asif_|_D∩]−∞_,a]est continue ena.

■ On dit quef est continue à droite en asif_|_D∩[a,+∞[est continue ena.

Proposition 8 –

Lien entre limite à gauche et à droite et continuité à gauche et à droite

Alors :

■ f est continue à gauche enasi et seulement si lim

a⁻ f =f(a).

■ f est continue à droite enasi et seulement si lim

a⁺ f =f(a).

■ f est continue enasi et seulement si lim

a⁻ f =lim

a⁺ f =f(a).

Exemple La fonction partie entièreb·cest continue surR\Zmais seulement continue à droite en tout point deZ. En effet, sin∈Z, lim

x→n⁻bxc =n−16=n= bncet lim

x→n⁺bxc =n= bnc.

II. 3. Opérations sur la continuité

La notion de continuité reposant sur celle de limite finie, elle hérite des propriétés relatives aux opérations. Les résul- tats qui suivent sont indifféremment valables pour la continuité en un point ou sur une partie.

■ Combinaison linéaire

Toute combinaison linéaire de fonctions continues est continue.

■ Produit

Tout produit de fonctions continues est continue.

■ Quotient

Tout quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas est continue.

■ Composition

Toute composée de fonctions continues est continue.

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II. 4. Prolongement par continuité en un point Théorème 3 –

Théorème de prolongement par continuité Soient D⊂Reta∈D. Soitf : D\ {a}→Rune fonction continue.

Il existe une fonctionfe: D→Rcontinue sur D prolongeantf sur D si et seulement si lim

a f existe et est finie.

Dans ce cas, un tel prolongement est unique et vérifiefe(a)=lim

a f. On l’appellele prolongement par continuité de f en a.

Remarque Même sifeetf sont en toute rigueur différentes (feest définie sur D et f sur D\ {a}), il est courant de continuer à noterf le prolongement par continuité def ena.

Exemple La fonctionf définie surR^∗par f(x)=sinx/xest prolongeable par continuité en 0 en posant f(0)=1 puisque lim

0 f =1.

II. 5. Caractérisation séquentielle de la continuité Proposition 9 –

Caractérisation séquentielle

Soientf : D→Rune fonction eta∈D.

Les deux assertions suivantes sont équivalentes : (1) f est continue ena.

(2) Pour toute suite (x_n)_n_∈Nà valeurs dans D de limitea, la suite (f(x_n))_n∈Na pour limitef(a).

Remarque Ce résultat n’est qu’une réécriture du résultat de caractérisation séquentielle de la limite.

II. 6. Théorème des valeurs intermédiaires Théorème 4 –

Théorème des valeurs intermédiaires

Soientf : I→Rune fonction continue sur un intervalle I et (a,b)∈I². Alors toutes les valeurs entref(a) etf(b) sont atteintes parf.

II. 7. Fonctions continues sur un segment Théorème 5 –

Fonction continue sur un segment

Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

II. 8. Théorème de la bijection Théorème 6 –

Théorème de la bijection Soitf : I→Rune fonction définie sur un intervalle I.

Sif est continue et strictement monotone sur I alorsf est bijective de I sur J=f(I).

Dans ce cas,f⁻¹est continue et strictement monotone de même sens de variation quef sur J.

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Exemple La fonctionf définie surRpar f(x)=x³+x+1 est continue surRen tant que fonction polynomiale et strictement croissante surRpuisque dérivable avec, pour tout réelx,f⁰(x)=3x²+1>0.

Ainsi, par application du théorème de la bijection,f est bijective deRsurf(R)=i

lim−∞f, lim

+∞fh

=R.

II. 9. Extension aux fonctions complexes

De façon similaire au cas des limites, il est possible d’étendre la notion de continuité aux fonctions à valeurs dansC en prenant comme définition celle de laDéfinition 3.

LesDéfinition 4,Proposition 8, les opérations sur la continuité, lesThéorème 3etProposition 9restent valables dans le cas complexe.

L’étude de la continuité d’une fonction complexe peut se ramener à l’étude de la continuité des deux fonctions réelles Re(f) et Im(f) comme le précise le résultat suivant.

Théorème 7 –

Continuité d’une fonction complexe et de ses parties réelle et imaginaire Soientf : D→Cune fonction eta∈D.

Alorsf est continue ena(resp. sur D) si et seulement si Re(f) et Im(f) sont continues ena(resp. sur D).

III. Dérivabilité

III. 1. Définition

Définition 5 –

Dérivabilité Soitf : D→Rune fonction.

■ Soita∈D. On dit quef est dérivable en asi le taux d’accroissementτadef enadéfini sur D\ {a} par : τa(x)=f(x)−f(a)

x−a admet une limite finie lorsquextend versa.

Le cas échéant, cette limite est alors appeléenombre dérivé de f en aet est notéef⁰(a).

■ On dit quef est dérivable surD si elle est dérivable en tout point de D.

Dans ce cas, la fonctionx7→f⁰(x) définie sur D est appelée ladérivée de f.

Notation On noteraD(D,R) l’ensemble des fonctions à valeurs réelles dérivables sur D.

Remarque

–

Interprétation géométrique

Sif est dérivable enaalors la courbe représentative def admet au point (a,f(a)) une tangente d’équation : y=f⁰(a)(x−a)+f(a)

Le nombre dérivé f⁰(a) est la pente de cette tangente et s’obtient par définition comme la limite quandxtend versades pentesτa(x) des cordes reliant les points (a,f(a)) et (x,f(x)).

Proposition 10 –

Dérivabilité implique continuité Soientf : D→Rune fonction eta∈D.

Sif est dérivable enaalorsf est continue ena.

Remarque La réciproque est fausse comme le montre l’exemple de la fonctionx7→ |x|en 0.

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III. 2. Dérivabilité à gauche et à droite Définition 6 –

Dérivabilité à gauche et à droite

■ On dit quef est dérivable à gauche en asif_|_{D∩]−∞,a]}est dérivable ena.

■ On dit quef est dérivable à droite en asif_|_D∩[a,+∞[est dérivable ena.

Notation Dans le cas oùf est dérivable à gauche (resp. à droite) au pointa, on noteraf_g⁰(a) (resp.f_d⁰(a)) le nombre dérivé associé.

Proposition 11 –

Lien entre dérivabilité et dérivabilité à gauche et à droite

Alorsf est dérivable enasi et seulement sif est dérivable à gauche et à droite enaavecf_g⁰(a)=f_d⁰(a).

Dans ce cas, on a alorsf⁰(a)=f_g⁰(a)=f_d⁰(a).

III. 3. Opérations sur la dérivabilité

La notion de dérivabilité reposant sur celle de limite finie, elle hérite des propriétés relatives aux opérations. Les ré- sultats qui suivent sont indifféremment valables pour la dérivabilité en un point ou sur une partie.

Soientf : D→Retg: D→Rdeux fonctions etλ ∈R.

Sif etgsont dérivables alorsλf +gest dérivable et :

(λf+g)⁰=λf⁰+g⁰

■ Produit

Sif etgsont dérivables alorsf gest dérivable et :

(f g)⁰=f⁰g+f g⁰

■ Quotient

Sig6=0 et sif etgsont dérivables alors f

g est dérivable et : µf

g

¶₀

= f⁰g−f g⁰ g²

Soientf : D→E etg: E→Rdeux fonctions.

■ Composition

Sif etgsont dérivables alorsg◦f est dérivable et :

(g◦f)⁰=f⁰·(g⁰◦f)

En ce qui concerne la dérivabilité d’une fonction réciproque, le résultat est le suivant.

Théorème 8 –

Dérivabilité d’une fonction réciproque Soitf : I→Rune fonction bijective d’un intervalle I sur J=f(I).

Sif est dérivable sur I et sif⁰ne s’annule pas sur I alorsf⁻¹est dérivable sur J et : (f⁻¹)⁰= 1

f⁰◦f⁻¹

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III. 4. Extrema et dérivabilité

Théorème 9 –

Condition nécessaire pour un extremum local en un point intérieur Soientf : D→Rune fonction eta∈D un point intérieur à D.

Sif est dérivable enaet possède un extremum local alorsf⁰(a)=0.

Remarques

■ Le pointadoit être intérieur à D. En effet, par exemple, la fonction dérivablef :x∈[ 0 , 1 ]7→xpossède un extremum (global) en 1 malgré le fait quef⁰(1)6=0.

■ La réciproque est fausse comme le montre l’exemple de la fonction dérivablef :x∈R7→x³qui ne possède pas d’extremum local en 0 bien quef⁰(0)=0.

III. 5. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis Théorème 10 –

Théorème de Rolle

Soitf : [a,b]→Rune fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ vérifiantf(a)=f(b).

Alors il existe un réelc∈]a,b[ tel quef⁰(c)=0.

Théorème 11 –

Théorème des accroissements finis

Soitf : [a,b]→Rune fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

Alors il existe un réelc∈]a,b[ tel que :

f(b)−f(a) b−a =f⁰(c)

Remarque Géométriquement, cette identité traduit le fait que la tangente au graphe def au point d’abscissecest parallèle à la corde joignant les points d’abscissesaetb.

Théorème 12 –

Inégalité des accroissements finis

Soitf : I→Rune fonction continue sur un intervalle I et dérivable sur ˚I.

S’il existe KÊ0 tel que pour tout réelx∈˚I l’on a¯

¯f⁰(x)¯

¯ÉK alors :

∀(x,y)∈I², ¯

¯f(x)−f(y)¯

¯ÉK¯

¯x−y¯

¯

Remarque Autrement dit,f est K−lipschitzienne sur I.

III. 6. Monotonie et dérivabilité

Théorème 13 –

Lien entre monotonie et dérivabilité

Soitf : I→Rune fonction continue sur un intervalle I et dérivable sur ˚I. Alors :

■ f est croissante sur I si et seulement sif⁰Ê0 sur ˚I.

■ f est constante sur I si et seulement sif⁰=0 sur ˚I.

■ Sif⁰Ê0 sur ˚I et ne s’annule qu’en un nombre fini de points alorsf est strictement croissante.

Des résultats analogues peuvent être énoncés pour les fonctions décroissantes.

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Remarque Pour ce résultat, le fait que I soit unintervalleest crucial. Par exemple, la fonction inverse définie surR^∗ est dérivable et vérifief⁰É0 surR^∗sans être décroissante surR^∗. En revanche, elle l’est surR^∗₋et surR^∗₊qui, eux, sont bien des intervalles.

III. 7. Théorème de la limite de la dérivée Théorème 14 –

Théorème de la limite de la dérivée

Soitf : I→Rune fonction continue sur un intervalle I et dérivable sur I\ {a} poura∈I. Soit`∈R. Sif⁰, définie sur I\ {a}, admet`pour limite ena, alors le taux d’accroissement def enadéfini sur I\ {a} :

f(x)−f(a) x−a admet`pour limite ena.

En particulier, si`est finie,f est donc dérivable enaavecf⁰(a)=`.

Remarques

■ Dans le cas où`est finie, on a également quef⁰est continue enapuisque lim

a f⁰=`=f⁰(a).

■ On se sert souvent de ce résultat sous la forme suivante : sif : I→Rest continue sur I et de classeC¹^sur I\ {a} et sif⁰admet une limite finie`enaalorsf est de classeC¹^{sur I avec}^f⁰^(a)=`.

III. 8. Dérivées d’ordre supérieur Définition 7 –

Dérivéen−ème Soientf : D→Rune fonction etn∈N.

Par récurrence, on posef⁽⁰⁾=f et, sinÊ1, on dit quef estn fois dérivable surD sif⁽ⁿ⁻¹⁾est dérivable sur D et on notef⁽ⁿ⁾=(f⁽ⁿ⁻¹⁾)⁰.

Notation On noteraDⁿ(D,R) l’ensemble des fonctions à valeurs réellesnfois dérivables sur D.

Définition 8 –

ClassesCⁿetC^∞ Soientf : D→Rune fonction etn∈N.

On dit que la fonctionf est de classeCⁿsur D lorsqu’elle estnfois dérivable et quef⁽ⁿ⁾est continue sur D.

On dit que la fonctionf est de classeC^∞sur D lorsqu’elle est de classeCⁿsur D pour tout entiern∈N.

Notation On noteraCⁿ(D,R) etC^∞(D,R) l’ensemble des fonctions à valeurs réelles de classesCⁿ^etC^∞^{sur D.}

On se donnen∈N∪{+∞}.

De façon analogue au cas de la dérivabilité, la classeCⁿse comporte bien vis-à-vis des opérations usuelles.

Soientf : D→Retg: D→Rdeux fonctions etλ ∈R.

Sif etgsont de classeCⁿ^alorsλf +gest de classeCⁿ^et

(λf+g)⁽ⁿ⁾=λf⁽ⁿ⁾+g⁽ⁿ⁾

■ Produit – Formule de Leibniz

Sif etgsont de classeCⁿ^alors^{f g}est de classeCⁿ^{et :} (f g)⁽ⁿ⁾=

n

X

k=0

µn k

¶

f^(k)g⁽ⁿ⁻^k)

(12)

■ Quotient

Sig6=0 et sif etgsont de classeCⁿ^alors ^f

g est de classeCⁿ^. Soitf : I→Rune fonction bijective d’un intervalle I sur J=f(I).

■ Réciproque

Sif est de classeCⁿ^{et si}^f⁰ne s’annule pas sur I alorsf⁻¹est de classeCⁿ^{sur J.}

Soientf : D→E etg: E→Rdeux fonctions.

■ Composition

Sif etgsont de classeCⁿ^alors^g◦f est de classeCⁿ^.

III. 9. Extension aux fonctions complexes

De façon similaire au cas de la continuité, il est possible d’étendre la notion de dérivabilité aux fonctions à valeurs dansCen prenant comme définition celle de laDéfinition 5.

LesProposition 10,Définition 6,Proposition 11, les opérations sur la dérivabilité et leThéorème 12restent valables dans le cas complexe.

Remarque Le théorème de Rolle n’est plus valable pour les fonctions complexes comme le montre la fonction f :t∈[ 0 , 2π]7→e^{i t}∈Cqui est bien continue sur [ 0 , 2π], dérivable sur ] 0 , 2π[ avecf(0)=f(2π) mais qui ne peut satisfairef⁰(c)=0 pour un réelc∈] 0 , 2π[ puisquef⁰(t)=i e^{i t}6=0 pour toutt∈] 0 , 2π[.

En particulier, le théorème des accroissements finis ne l’est plus non plus.

L’étude de la dérivabilité d’une fonction complexe peut se ramener à l’étude de la dérivabilité des deux fonctions réelles Re(f) et Im(f) comme le précise le résultat suivant.

Théorème 15 –

Dérivabilité d’une fonction complexe et de ses parties réelle et imaginaire Soientf : D→Cune fonction eta∈D.

Alorsf est dérivable enasi et seulement si Re(f) et Im(f) sont dérivables ena.

Le cas échéant, on a : f⁰(a)=Re(f)⁰(a)+iIm(f)⁰(a)

IV. Analyse asymptotique

IV. 1. Relations de comparaison Définition 9 –

Relations de comparaison

Soientf : D→Retg: D→Rdeux fonctions eta∈D un point adhérent à D. On suppose quegne s’annule pas sur un voisinage deasauf peut-être enaet que sig(a)=0 alorsf(a)=0.

■ On dit quef estdominée par g au voisinage de aet l’on écritf =O

a(g) si : f

g est bornée au voisinage dea

■ On dit quef estnégligeable devant g au voisinage de aet l’on écritf =o

a(g) si : lima

f g =0

■ On dit quef estéquivalente à g au voisinage de aet l’on écritf ∼_agsi : lima

f g =1

(13)

Remarques

■ On peut démontrer que la relation∼est une relation d’équivalence.

■ On af ∼_a gsi et seulement sif −g=o

a(g).

■ On af est bornée au voisinage deasi et seulement sif =O

a(1) etf tend vers 0 enasi et seulement sif =o

a(1).

IV. 2. Manipulation des équivalents Proposition 12 –

Limite et équivalent

Soientf : D→Retg : D→Rdeux fonctions,a∈D un point adhérent à D et`∈R. On suppose queg ne s’annule pas sur un voisinage deasauf peut-être enaet que sig(a)=0 alorsf(a)=0.

■ Sif ∼_a get si lim

a g=`alors lim

a f =`.

■ Si lim

a f =`avec`6=0 alorsf ∼_a `.

Proposition 13 –

Signe et équivalent

Soientf : D→Retg: D→Rdeux fonctions eta∈D un point adhérent à D. On suppose quegne s’annule pas sur un voisinage deasauf peut-être enaet que sig(a)=0 alorsf(a)=0.

Sif ∼_a get sigest positive sur un voisinage deaalorsf est également positive sur un voisinage dea.

Proposition 14 –

Opérations sur les équivalents

Pouri∈{1, 2}, soientf_i: D→Retg_i: D→Rdes fonctions eta∈D un point adhérent à D. On suppose queg_i ne s’annule pas sur un voisinage deasauf peut-être enaet que sig_i(a)=0 alorsf_i(a)=0. Soient également ϕ: E→Retb∈E.

■ Produit : Sif1 ∼_a g1etf2 ∼_a g2alors :

f₁f₂∼_a g₁g₂

■ Puissance : Sik∈Net sif1 ∼_a g1alors :

f₁^k ∼_a g₁^k

■ Quotient : Sif1 ∼_a g1etf2 ∼_a g2alors :

f₁ f₂ ∼_a g₁

g₂

■ Substitution : Si lim

b ϕ=aetf1 ∼_a g1alors : f₁◦ϕ∼

b g₁◦ϕ

Remarques

■ On ne peut pas sommer les équivalents.

Par exemple,x+1 ∼

+∞ xet−x+2 ∼

+∞ −x+1 mais l’on a pas 3 ∼

+∞ 1.

■ On ne peut pas composer à gauche dans les équivalents.

Par exemple,x+1 ∼ xmais l’on a pase^x+1 ∼ e^x.

(14)

IV. 3. Développements limités Définition 10 –

Développement limité Soitf : D→Rune fonction eta∈D.

On dit que la fonctionf admet un développement limité à l’ordre n∈Nen a(abrégé en DL_n(a)) si il existe des réelsa₀,a₁, ...,a_ntels que :

f(x)=a0+a1(x−a)+a2(x−a)²+. . .+an(x−a)ⁿ+o

a((x−a)ⁿ)

Le polynôme de degréndéfini par P(x)=a₀+a₁(x−a)+a₂(x−a)²+. . .+a_n(x−a)ⁿest appeléla partie régulière du développement limité à l’ordrenenadef.

Remarque

–

Unicité du développement limité

Si une fonction admet un développement limité à l’ordren∈Nenaalors les coefficientsa₀,a₁, ...,ande la partie régulière sont uniques.

IV. 4. Lien entre régularité et développements limités

Proposition 15 –

Lien entre continuité, dérivabilité et développements limités Soitf : D→Rune fonction eta∈D.

■ La fonctionf admet un DL0(a) si et seulement sif est continue enaet dans ce cas : f(x)=f(a)+o

a(1)

■ La fonctionf admet un DL₁(a) si et seulement sif est dérivable enaet dans ce cas : f(x)=f(a)+f⁰(a)(x−a)+o

a(x−a)

Théorème 16 –

Théorème de Taylor-Young

Soientf : I→Rune fonction définie sur un intervalle I aveca∈I etn∈N. Sif est de classeCⁿsur I alorsf admet un DL_n(a) donné par :

f(x)=

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+o

a((x−a)ⁿ)

Remarque La réciproque est fausse en général. Par exemple, on pourra vérifier que la fonctionf définie surRpar f(x)=x+x³sin(x⁻²) pourx6=0 etf(0)=0 admet un DL₂(0) mais n’est pas deux fois dérivable en 0.

IV. 5. Obtention de développements limités

En pratique, à partir des développements limités usuels, les opérations sur les développement limités permettent d’obtenir le développement limité de nombreuses fonctions réelles.

IV. 6. Applications des développements limités Proposition 16 –

Équivalent et développement limité Soientf : D→Rune fonction,a∈D et 0ÉpÉn.

On suppose quef admet un DLn(a) de la formef(x)=ap(x−a)^p+. . .+an(x−a)ⁿ+o

a((x−a)ⁿ) avecap6=0.

Alors on a l’équivalent : f(x) ∼_a ap(x−a)^p

(15)

Proposition 17 –

Position relative d’une courbe et de sa tangente Soientf : D→Rune fonction,a∈D etpÊ2.

On suppose quef admet un DL_p(a) de la formef(x)=a₀+a₁(x−a)+a_p(x−a)^p+o

a((x−a)^p) aveca_p6=0.

Alors la courbe représentative def admet une tangente au pointad’équationy=a₀+a₁(x−a) et la position de la courbe par rapport à cette tangente est donnée par le signe dea_p(x−a)^pau voisinage dea.

V. Intégration sur un segment

En première année a été introduite l’intégrale de toute fonctionf continue sur un segment [a,b] et à valeurs réelles.

V. 1. Propriétés de l’intégrale

Proposition 18 –

Propriétés de l’intégrale

Soientf : [a,b]→Retg: [a,b]→Rdeux fonctions continues sur [a,b].

■ Linéarité : Pour toutλ∈R, Z _b

a

(λf +g)=λ Z _b

a

f+ Z _b

a

g.

■ Inégalité triangulaire : SiaÉb,

¯

¯ Z b

a

f

¯

¯É Zb

a

¯¯f¯

¯.

■ Relation de Chasles : Sic∈[a,b], Z b

a

f = Z c

a

f + Zb

c

f.

Proposition 19 –

Positivité, croissance et nullité

Soientf : [a,b]→Retg: [a,b]→Rdeux fonctions continues sur [a,b].

■ Positivité : Sif Ê0 sur [a,b] et siaÉbalors Z b

a

f Ê0.

■ Croissance : Sif Égsur [a,b] et siaÉbalors Z b

a

f É Z b

a

g.

■ Nullité : Sif Ê0 sur [a,b] et si Zb

a

f =0 alorsf est nulle sur [a,b].

Remarque Pour la positivité et la croissance, l’ordre des bornes d’intégration est importante. Ainsi, si jamaisaÊb, l’inégalité du résultat est inversée.

V. 2. Sommes de Riemann

Théorème 17 –

Convergence des sommes de Riemann Soitf : [a,b]→Rune fonction continue sur [a,b]. Alors :

n→+∞lim b−a

n

X

k=1

f µ

a+kb−a n

¶

= Z b

a

f(t) dt et lim

n→+∞

b−a n

n−1X

k=0

f µ

a+kb−a n

¶

= Zb

a

f(t) dt

(16)

V. 3. Primitives d’une fonction continue Définition 11 –

Primitive d’une fonction Soitf : I→Rune fonction définie sur un intervalle I.

On appelleprimitive de f toute fonction F : I→Rdérivable vérifiant F⁰=f.

Proposition 20 –

Description des primitives Soitf : I→Rune fonction définie sur un intervalle I.

Sif possède une primitive F₀alors les primitives def sont toutes les fonctions F₀+C pour C∈R.

Théorème 18 –

Théorème fondamental de l’analyse Soientf : I→Rune fonction continue sur un intervalle I eta∈I.

■ La fonctionf admet une unique primitive sur I qui s’annule enadonnée par la fonction F_asuivante :

∀x∈ I, Fa(x)= Z x

a

f(t) dt La fonction F_aest de classeC¹sur I avec F⁰_a=f.

■ Pour toute primitive F def sur I on a :

∀x∈I, Z x

a

f(t) dt=[ F(t) ]^x_a=F(x)−F(a)

Remarque En particulier, sif : I→Rest de classeC¹sur I on a :

∀(a,x)∈I², f(x)−f(a)= Z x

a

f⁰(t) dt

V. 4. Calcul d’intégrales

Proposition 21 –

Intégration par parties

Soientu: I→Retv: I→Rdeux fonctions de classeC¹sur un intervalle I et (a,b)∈I². Alors : Z b

a

u⁰(t)v(t) dt=[u(t)v(t) ]^b_a− Z b

a

u(t)v⁰(t) dt

Proposition 22 –

Changement de variable

Soientf : I→Rune fonction continue sur un intervalle I,ϕ: [a,b]→Rune fonction de classeC¹^{sur un} segment [a,b] avecϕ([a,b])⊂I. Alors :

Z _ϕ(b) ϕ(a)

f(x) dx= Z b

a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t) dt On dit que l’on a effectué le changement de variablex=ϕ(t).

V. 5. Formules de Taylor

La formule de Taylor-Young, qui est une formule locale, a été énoncée dans la partie d’analyse asymptotique. La formule de Taylor avec reste intégral, qui est une formule globale, est énoncée ci-après.

(17)

Théorème 19 –

Formule de Taylor avec reste intégral

Soientf : I→Rune fonction de classeCⁿ⁺¹sur un intervalle I et (a,x)∈I². Alors : f(x)=

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+ Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt

Remarque La formule de Taylor avec reste intégral explicite sous forme intégrale l’erreur commise en approximant f par la partie régulière de son développement limité à l’ordrenena, moyennant l’hypothèsef de classeCⁿ⁺¹^. Avec une hypothèse plus faible —f de classeCⁿ—, la formule de Taylor-Young stipule que cette erreur tend vers 0 plus vite que (x−a)ⁿ.

V. 6. Extension aux fonctions complexes

On peut aisément définir l’intégrale d’une fonction f continue sur un segment [a,b] et à valeurs complexes grâce à l’intégrale des fonctions réelles en posant :

Z _b

a

f = Z _b

a

Re(f)+i Z _b

a

Im(f)

Dès lors, tous les résultats précédentsexceptélaProposition 19concernant la positivité, croissante et nullité de l’intégrale restent valables dans le cas complexe.