��� CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS RÉELLES D’UNE VARIABLE RÉELLE. EXEMPLES ET APPLICATIONS.
SoitIun intervalle deRetf :I≠æRune application.
I. Généralités autour de la continuité et de la dérivabilité
[Gou��, §�.�, p��]I. A. Définitions et exemples
[Gou��, §�.�/�.�, p��/��]Continuité, dérivabilité, exemple de fonctions continue, dérivable, continue non dérivable (va- leur absolue), de dérivée non continue (x‘≠æx2sin(1/x))
Dérivabilité implique continuité Lien avec les développements limités
Fonctions lipschitziennes, notion d’uniforme continuité Fonctions convexes
I. B. Propriétés de stabilité et dérivations successives
Stabilité par composition, somme, produit, formules de la dérivée associée ...
Dérivée de la fonction réciproque lorsquefÕne s’annule pas ...
Formule deL������
II. Résultats autour de la continuité et de la dérivabilité
[Gou��, §�.�, p��]II. A. Théorème des valeurs intermédiaires
[Gou��, §�.�/�.�, p��/��]TVI, applications basiques : il existe un zéros entreaetbsif(a)f(b)<0, un polynôme de degré impair admet une racine
Une fonction continue sur un intervalle compact[a, b]est bornée et atteint ses bornes Cas d’une fonction continue coercive surR
II. B. Théorème de H����
[Gou��, §�.�, p��]Théorème deH����.
Exemples : fonctions continues périodiques, ou continues avec une limite finie en ±Œ, deuxième théorème deD���
II. C. Théorème de R���� et accroissement finis
Théorème deR����, inégalité des accroissements finis, règle de l’Hospital
II. D. Densité des polynômes
[QZ��, §XIII.II.�, p���–���]T��������. [�������� ��W����������]
R[X]est dense dansC([a, b],C,Î.ÎŒ)poura < bœR. Cas oùI=R: cela ne fonctionne plus
Sisb
af(x)xndx= 0pour toutnalorsf = 0sifest continue
Plus généralement théorème deS����-W���������� ædensité des polynômes trigonomé- triques
II. E. Formules de T�����
[Rou��, Ch�, p���]Formule deT�����avec reste intégral, formule deT�����-Y����
Formule deT�����pour un polynôme ...
Application : méthode deN�����
III. Théorèmes de passage à la limite
III. A. Suites de fonctions
[AF��,El��]Soient(fn)nœNetfdes fonctions deIdansR. Prolongement par continuité def.
E�������. [Hau��, p���] Pourfn:xœ[0,1]‘≠æxn, on alimnæ+Œlimxæ1≠fn(x) = 1”= 0 = limxæ1≠limnæ+Œfn(x).
T��������. SoitaœItel quefn(x) x≠æ
æa ¸n œRetfn u
næ+Œ≠æ fsur un voisinage dea.
Alorslimnæ+Œ¸netlimxæaf(x)existent et sont égales. Autrement dit :
næ+Œlim lim
xæafn(x) = lim
xæa lim
næ+Œfn(x)
T��������. Dans le même contexte, si les(fn)nœNsont continues enaet sifn
≠æu næ+Œ f sur un voisinage dea, alorsfest continue ena.
E�������. ’:x >1≠æq
nØ1 1
nx est continue et’(x) xæ+Œ≠æ 1.
A�����������. Une série entière de rayon de convergenceR >0est continue surDR(O).
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
Agrégation – Leçons ���– Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
R������� �. On ne peut rien dire sur le cercle de convergence : par exemple avec q
nØ0(≠1)nzn= 1+z1 définie pour|z|<1, on a1+z1 ≠æzæ1 1/2maisq(≠1)ndiverge.
P�����������. SoitIun intervalle deR, on suppose les(fn)nœNdansC1(I,R)telles que fnÕ næ+Œ≠æu getfn
≠æs
næ+Œ f. Alorsf œC1(I,R),fn
≠æu
næ+Œ fetfÕ=g.
C����������. Si les(fn)nœNsontCk([a, b],R)et telles quefn(p) s
næ+Œ≠æ gppourp Æk avecfn(k) u
n≠ææ+Œ gk, alorsg0œCk([a, b],R),fn u
n≠ææ+Œ g0etg(p)0 =gppourpÆk.
E��������. Soitfu:t‘≠æexp(tu)(uœR). AlorsfuestCŒetfu(p):t‘≠æq
nœN tn≠p (n≠p)!un. E��������. [Hau��, p���] Importance de la convergence uniforme de(fnÕ)nœN: considérer fn(x) =
x2+ 1/n.
III. B. Intégrales dépendant d’un paramètre
[BP��, §�.�, p���–���] [Far��, §VII.�, p��]
Soit(E,A, µ)un espace mesuré.
T���������. [���������� ���� �� ����� ���������]
SoientIun intervalle deRetf :I◊E≠æKtelles que :
• pour touttœI,x‘≠æf(t, x)est mesurable,
• pourµ-presque toutx,t‘≠æf(t, x)est continue ent0œI,
• il existegintégrable telle que pour touttœI,|f(t, x)|Æg(x)µ- p.p..
Alorst‘≠æs
Ef(t, x)dµ(x)est bien définie surIet est continue ent0. A������������. La fonction est continue surRú+.
T���������. [���������� ���� �� ����� ���������]
SoientIun intervalle deRetf :I◊E≠æKtelles que :
• pour touttœI,x‘≠æf(t, x)est intégrable surE,
• pourµ-presque toutx,t‘≠æf(t, x)est dérivable surI,
• il existegintégrable telle que pour touttœI,---ˆfˆt(t, x)---Æg(x)µ- p.p..
AlorsF :t‘≠æs
Ef(t, x)dµ(x)est définie, dérivable surIetFÕ:t‘≠æs
E ˆf
ˆt(t, x)dµ(x).
A������������. Prenantf : (t, x)‘≠æ sin(x)x e≠tx, on montre ques+Œ 0 sin(x)
x dx= fi2.
������������
Faire un dessin de la continuité et de la dérivabilité lors du speech.
La di�iculté de la leçon est d’aller plus loin que le programme du lycée voire de sup. C’est une leçon vague qui peut aller jusqu’aux distributions si on est à l’aise dessus. Le plan continuité puis dérivabilité n’est pas forcément le plus palpitant : plutôt essayer de trouver des liens, faire un plan par thèmes.
Il est important de mettre beaucoup d’exemples et de contre-exemples.
On peut également parler du théorème deD���, du théorème fondamental de l’analyse (avec la formule deT�����avec reste intégral!) ou du théorème d’A�����.
���������
Q Continuité au sens deC�����: que peut-on dire deftelle que pour toute suite(xn)ntelle quexn næ+Œ≠æ xau sens deC�����, alorsf(xn) næ+Œ≠æ f(x)au sens deC�����?
R On montre qu’une telle application conserve les barycentres ...
�������������
[AF��] J.M.A��������et H.F������:Cours de mathématiques, Tome�, Analyse. Dunod,����.
[BP��] M.B�����et G.P����:Théorie de l’intégration. Vuibert,�èmeédition,����.
[El��] M.E�A�����:Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions. Ellipses,����.
[Far��] J.F�����:Calcul intégral. Belin,����.
[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�èmeédition,����.
[Hau��] D.H����������:Les contre-exemples en Mathématiques. Ellipses,�èmeédition,����.
[QZ��] H.Q��������et C.Z����:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�èmeédition,����.
[Rou��] F.R�������:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,����.
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
