1 Dérivabilité des fonctions d’une variable réelle à valeurs com- plexes.

Lycée Pierre de Fermat 2020/2021

MPSI 1 TD

Équations différentielles linéaires

Kdésigne, lorsqu’il apparaît, le corpsRouC.I désigne toujours un intervalle réel non vide et non réduit à un singleton.D¹(I,K) désigne l’espace vectoriel des fonctions d’une variable réelle définies surI, à valeurs dansK et (une fois) dérivables en tout point deI.

1 Dérivabilité des fonctions d’une variable réelle à valeurs com- plexes.

⊲ Exercice 1.1. Soient f ∈ D¹(I,C) etp∈N^∗. Montrer que la fonction

I → C

t 7→ f(t)^p est dérivable surI et exprimer la fonction dérivée en fonction dep,f et f^′.

Montrer que, si pour toutt∈I,f(t)6= 0 alors le résultat reste vrai pour p∈Z^∗.

⊲ Exercice 1.2. Soient (f, g)∈ D¹(I,C)² et supposons que l’image de g est incluse dansC^∗. Montrer que la fonction





q : I → C

t 7→ f(t) g(t)

est dérivable surI et calculer sa dérivée (pour le calcul de la dérivée de q, on pourra dériver l’égalitég(t)q(t) =f(t)).

⊲ Exercice 1.3. Soient (f, g)∈ D¹(I,C)². Montrer que la fonctionψ :

I → C

t 7→ expC g(t) expC(2 +if(t)) est dérivable surI et calculer sa dérivée.

⊲ Exercice 1.4. Dérivabilité de f et de |f|. Soitf ∈ D¹(I,C).

1. Montrer que la fonction

f : I → C

t 7→ f(t) est dérivable sur I et montrer que sa dérivée vérifie :

∀t∈I, f^′(t) =f^′(t).

2. Montrer que la fonction

|f|² : I → C

t 7→ |f(t)|² est dérivable surI et montrer que sa dérivée vérifie :

∀t∈I,|f|^2′(t) = 2Re(f(t)f^′(t)).

3. Montrer que la fonction

|f| : I → C

t 7→ |f(t)| est dérivable en tout pointt deI tel que f(t)6= 0 et montrer qu’en ces points, sa dérivée vérifie :|f|^′(t) = Re(f(t)f^′(t))

|f(t)| .

4. Application :soient (f, g)∈ D¹(I,C)² et supposons que l’image de g est incluse dansC^∗. Montrer, en se ramenant au quotient d’une fonction à valeurs complexes par une fonction à valeurs réelles, que la fonction





I → C

t 7→ f(t) g(t)

est dérivable surIet calculer sa dérivée (la méthode proposée dans un exercice précédent est plus directe !).

2 Équations différentielles linéaires d’ordre 1.

⊲ Exercice 2.1. Résoudre les équations différentielles suivantes dans les fonctions à valeurs complexes.

1) y^′= sin 3t+t 2) y^′ = 1

√1 +t 3) y^′= 1

(t+ 1)² 4) y^′=√ 3t+ 6 5) y^′= sin²t 6) y^′ = lnt 7) y^′= 1 +t

√1−4t² 8) y^′= e^t e^2t+ 1

⊲ Exercice 2.2. Résoudre les équations différentielles suivantes dans les fonctions à valeurs complexes.

1) y^′ = sin 2t+ sin(t)e^{i(cos(t)−1)} 2) y^′=t+ie^−2t+it+te^it2 3) y^′=tln(1 +t²) 4) y^′ =it⁴− 1 +i

t²+ 1 + e^t

(1 +ie^t)² 5) y^′= 1

√1−4t²+ 1

4 +t² 6) y^′=|t|

⊲ Exercice 2.3. Résoudre les équations différentielles suivantes dans les fonctions à valeurs réelles.

1) y^′+y= 1

1 +e^t 2) y^′+y= 4cht 3) (t²+ 1)y^′+ty= 4t²−t+ 2 4) ty^′+y= lnt 5) y^′+ytht=ttht 6) y^′+2

ty= 1 t²+ 1 7) y^′+ysint= sin 2t 8) t²y^′−y= (t²−1)e^t 9) ty^′−2y= t²

lnt

⊲ Exercice2.4. Utilisation des fonctions complexes pour chercher des solutions réelles particulières.

Résoudre les équations différentielles suivantes dans les fonctions à valeurs réelles.

1) y^′+y= cost 2) y^′+y= 2 sint 3) y^′+y= 5 cost+ 3 sint 4) y^′+ 3t²y=t²cos(t³) 5) 2y^′−3y= sin(3t) 6) 2y^′−3y=−2 sin³t

⊲ Exercice 2.5. RecollementsRésoudre les équations différentielles non résolues suivantes dans les fonctions à valeurs réelles.

1) t²y^′+y= 0 2) t(t−4)y^′+ (t−2)y= 0 3) ty^′−2y=t⁴.

⊲ Exercice 2.6. Une équation linéaire sans solution sur son domaine de définition.

Trouver les solutions réelles définies surRde l’équation :

ty^′(t) +y(t) =|t| (E)

⊲ Exercice 2.7. Recollement

Trouver les solutions réelles définies surRde l’équation :

(1 +t³)y^′(t) + 3t²y(t) = 2t (E)

⊲ Exercice 2.8. Trouver les solutions réelles définies sur Rde l’équation : y^′(t) + min(0, t)y(t) = 0.

On pourra soit appliquer la théorie, soit procéder par recollement des solutions surR^∗

+ etR^∗

−.

3 Équations différentielles linéaires d’ordre 2.

⊲ Exercice 3.1. Déterminer les solutions réelles des équations différentielles suivantes :

1) y^′′+ 9y=t²+ 1 2) y^′′−3y^′+ 2y=te^t 3) 4y^′′+ 4y^′+y=e^−t2 4) y^′′−2y^′+ 2y=e^tsint 5) y^′′−2y^′+ 2y=e^tsin(2t) cos(3t) 6) y^′′−y=t²sht

⊲ Exercice 3.2. Déterminer les solutions réelles de l’équation différentielle y^′′−2ay^′ +y = e^t en discutant suivant les valeurs du paramètre réela.

⊲ Exercice 3.3. Recherche de solutions particulières par abaissement du degré

Déterminer les solutions réelles des équations différentielles suivantes. On pourra utiliser la technique d’abaisse- ment du degré pour déterminer une solution particulière.

1. y” + 4y^′+ 4y= e^−2t 1 +t². 2. y” +y=cos(2t)

cos(t) à résoudre suri

−π 2,π

2 h.

⊲ Exercice 3.4. Résultats pour la physique. Un classique des épreuves de physique de l’X.Consi- dérons l’équation différentielle linéaire du second ordre

y^′′+µy=h(t) (E) oùµ∈Reth∈ C⁰(R,R).

1. Supposons que l’on dispose, pour toute valeur deµ, d’une solution particulièrefµ:R→Rde l’équation différentielle (E). Pour tout (y0, y^′₀)∈R², résoudre le problème de Cauchy





y^′′+µy=h(t) y(0) =y0

y^′(0) =y^′₀

dans les cas suivants :

(a) siµ∈R^∗₊ (on poseraµ=ω²₀),

(b) siµ= 0, (c) siµ∈R^∗

− (on poseraµ=−λ²).

(d) Dans chacun des cas précédents, préciser la solution obtenue lorsquehest la fonction nulle.

2. Soitg:R→Rune solution du problème de Cauchy ci-dessus etδ∈R^∗ tel queδ² =µ >0. Définissons la fonctionz:R→Cpour toutt∈Rparz(t) =g(t) + i

δg^′(t).

(a) Montrer que g est solution du problème de Cauchy ci-dessus si et seulement si z est solution du problème de Cauchy







y^′+iδy= i δh(t) y(0) =y0+ i

δy^′₀

(b) En déduire l’expression explicite dez(t). Montrer que la détermination dezpermet de trouverg(t) ce qui fournit une nouvelle preuve de certains résultats établis dans la première partie.

(c) Résoudre, avec ce changement de variable le problème de Cauchyy^′′+ 2y= 3t,y(0) = 1,y^′(0) = 0.

⊲ Exercice 3.5. Problème de Dirichlet.

1. Notonsf :R→R, x7→Acos(ωx) +Bsin(ωx) etg:R→R, x7→Cch(λx) +Dsh(λx) où (ω, λ)∈R^∗₊². Soientaet bdeux réels distincts. Résoudre, les systèmes dont les inconnues sont respectivement (A, B)

et (C, D) :

f(a) = 0 f(b) = 0 et

g(a) = 0 g(b) = 0 2. En déduire la résolution du problème différentiel suivant

y^′′+µy=h(t) y(0) = 0 , y(1) = 0

dans lequelµ∈R,h: [0,1]→Rest une fonction fixée et sachant que l’on dispose d’une solution pariculière f(t) de l’équation différentielle vérifiantf(0) = 0 et f(1) = 0. Ce type d’équation peut représenter un régime stationnaire pour une densité d’insectes (dans un modèle unidimensionnel) qui sont confinés au dessus d’un segment [0, 1] et qui détestent se trouver aux extrémités. Le problème proposé n’est pas un problème de Cauchy car il ne fixe pas des conditions initiales habituelles mais des conditions de bord, on le nomme problème de Dirichlet. Cette étude illustre le fait que si, pour un problème de Cauchy associé à une équation différentielle linéaire, il y a existence et unicité d’une solution définie sur tout l’intervalle où l’équation a un sens, il n’en va pas de même pour les problèmes du type Dirichlet qui peuvent ne pas avoir de solution.

4 Problèmes de prolongement et de recollement de solutions.

⊲ Exercice 4.1. Équation différentielle linéaire d’ordre 2 non résolue à coefficients non constants.

Considérons l’équation différentiellet³y” +ty^′−y= 0.

1. Montrer qu’il existeα0∈N^∗ tel quefα0 :t7→t^α est une solution de l’équation définie surR.

2. En utilisant la technique d’abaissement du degré qui consiste à chercher les solutions sous la forme t7→λ(t)t^α0, résoudre l’équation sur ]− ∞,0[ et sur ]0,+∞[.

3. Résoudre l’équation différentielle surR.

⊲ Exercice 4.2. Soit (E) l’équation différentielle :at²y^′′+bty^′+cy= 0 avec (a, b, c)∈R^∗×R². 1. En posantz(s) =f(e^s), montrer que quef est une solution de (E) définie sur R^∗

+ si, et seulement si, z est solution d’une équation du second ordre à coefficients constants que l’on donnera.

2. Établir une équivalence analogue se la formef est une solution de (E) définie surR^∗

− si, et seulement si, . . .

3. Résoudre surRl’équation :

t²y^′′−ty^′+y= 0 (E0).

5 Équations fonctionnelles

⊲ Exercice 5.1. Caractérisation des « fonctions puissances » et des « fonctions logarithmes » 1. Déterminer l’ensemble des fonctions réelles, définies surR^∗₊, dérivables surR^∗₊, satisfaisant

∀(x, y)∈R^∗₊², f(xy) =f(x)f(y)

2. Déterminer l’ensemble des fonctions réelles, définies surR^∗₊, dérivables surR^∗₊, satisfaisant

∀(x, y)∈R^∗₊² , f(xy) =f(x) +f(y)

⊲ Exercice 5.2. Équations fonctionnelles.Déterminer

1. toutes les fonctions à valeurs réelles défines sur R et continues sur R telles que ∀x ∈ R, 2f(x) = 3x

Z x 0

f(t)dt.

2. toutes les fonctions à valeurs réelles définies surRet dérivables telles que∀x∈R, f^′(x) =f(−x).

3. toutes les fonctions à valeurs réelles définies surRet deux fois dérivables telles que

∀(x, y)∈R², f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)f(y),

4. toutes les fonctions à valeurs réelles définies surRet dérivables telles que∀x∈R, f^′(1−x) =f(1 +x).

5. toutes les fonctions à valeurs réelles définies sur R^∗ et dérivables telles que ∀x∈ R^∗, f^′(x) = f(1/x) (plus délicat, obtenir une équation différentielle linéaire à coefficients non constants qui, par changement de variable du typex=e^t, se ramène à une équation linéaire)

6 Quelques équations différentielles non linéaires.

⊲ Exercice 6.1. Résoudre (=Intégrer) les équations différentielles suivantes y^′y=t², y^′=e^t(1 +y²), yy^′=t²(1 +y²), y^′= e^3t

p1 +y², y^′= e^3t

p1 + 7y², yy^′ = 3tp 1 +y².

⊲ Exercice 6.2. Résoudre les équations différentielles non linéaires

t²+y(t)²+ 2ty(t)y^′(t) = 0 (H1) et t²+y(t)²−2ty(t)y^′(t) = 0 (H2).

7 Complétez, démontrez ou infirmez les assertions suivantes.

1. Donner les primitives de 1 +t

2 + 8t² et de 1 +t

√2−3t².

2. Donner le domaine de définition maximal de l’expression suivantef(t) = tan(t) expC(p

t²−1 +icos(3t)), ainsi que son domaine de dérivabilité, puis calculer sa dérivée. Quelle information peut-on tirer de l’étude du signe de la dérivée ?

3. Soit f ∈ C⁰(R,C). Calculer les dérivées premières des fonctions t 7−→

Z t 1

f(u)du, t 7−→

Z 3 t

f(u)du, t7−→

Z 3t²+t t

f(u)du,t 7−→

Z cos(t) e^−t

f(u)du (on pourra introduire une primitive F fixée quelconque def après avoir justifié son existence).

4. Quelles est/sont la/les solutions définies sur R du problème

y^′+a(t)y= 0

y(7) = 0 (a(·) est une fonction définie et continue surR) ?

5. Quel lien existe-t-il entre les solutions respectivesf etg des problèmes de Cauchy suivants y^′+a(t)y= 0

y(1) = 2 et

y^′+a(t)y= 0 y(1) =√

π (a(·) est une fonction définie et continue surR) ?

6. Quel lien existe-t-il entre les solutions respectivesf etgdéfinies surRdes problèmes de Cauchy suivants y^′+a(t)y=h(t)

y(0) = 2 et

y^′+a(t)y=h(t) y(0) =√

π

(a(·) eth(·) sont deux fonctions définies et continues surR) ? On pourra exprimer les solutions en fonction deuet v, fonctions définies surR, et solutions respectives de

y^′+a(t)y= 0 y(0) = 1 et

y^′+a(t)y=h(t) y(0) = 0

7. Quelles est/sont la/les solutions définies surRà valeurs dans Kdu problème





y^′′+ay^′+by= 0 y(7) = 0

y^′(7) = 0 où (a, b)∈K² sont fixées quelconques.

8. Sif et gsont respectivement les solutions, définies surRà valeurs dansC, des problèmes suivants





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) = 1 y^′(3) = 0

et





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) = 0 y^′(3) = 1

comment s’exprime(ent ?) la/les solution(s) définie(s) surRde





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =α y^′(3) =β

pour (α, β)∈C² fixés quelconques.

Peut-on affirmer que le plan vectoriel des solutions définies surRà valeurs dansCdey^′′+2e^i√2y^′−7y= 0 est{λ·f+µ·g |(λ, µ)∈C²}?

9. Reprendre la question précédente avecuetv solutions de





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) = 1 y^′(3) = 2

et





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =−1 y^′(3) =−1 puis avecwet zsolutions de





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) = 2 y^′(3) = 4

et





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =−1 y^′(3) =−2 Que se passe-t-il ?

1. Donner les primitives de 1 +t

2 + 8t² et de 1 +t

√2−3t². 1 +t

2 + 8t² = 1 2×2

2

1 + (2t)²+1 16

16t

2 + 8t²donc les primitives sont





R → R

t 7→ Arctan(2t)

4 +ln(2 + 8t²)

16 +λ

λ∈R



. 1 +t

√2−3t² =

√2

√3

√2

√3

√2

r 1−

t√

√3 2

2 −1

3 × −6t 2√

2−3t²

donc les primitives sont











−

√6 3 ,

√6 3

→ R

t 7→

√3Arcsin

t√ 6 2

3 −

√2−3t²

3 +λ

λ∈R









 .

2. Donner le domaine de définition maximal de l’expression suivantef(t) = tan(t) expC(p

t²−1 +icos(3t)), ainsi que son domaine de dérivabilité, puis calculer sa dérivée. Quelle information peut-on tirer de l’étude du signe de la dérivée ?

L’expression est bien définie si et seulement si tanp t est défini

t²−1 est défini ⇐⇒

( t6≡ π 2[π]

t²−1>0 ⇐⇒

( t6≡ π 2[π]

t∈]− ∞,−1]∪[1,+∞[ Le domaine de définition est doncDf =

+[∞ k=0

π

2 +kπ,3π 2 +kπ

∪

+[∞ k=0

−3π

2 −kπ,−π 2 −kπ

∪i

−π 2,1i

∪ h1,π

2 h.

Le théorème de dévabilité d’une composée permet de prouver la dérivabilité surDf\ {−1,1}. f^′(t) =

1 + tan²(t) + ttan(t)

√t²−1−3itan(t) sin(3t)

expC(p

t²−1 +icos(3t))

L’étude du signe de la dérivée n’a aucun sens pour une fonction à valeurs complexes.

3. Soit f ∈ C⁰(R,C). Calculer les dérivées premières des fonctions t 7−→

Z t 1

f(u)du, t 7−→

Z 3 t

f(u)du, t7−→

Z 3t²+t t

f(u)du,t 7−→

Z cos(t) e^−t

f(u)du (on pourra introduire une primitive F fixée quelconque def après avoir justifié son existence).

SoitF une primitive def surRfixée quelconque.

• ∀t∈R,Z t 1

f(u)du=F(t)−F(1). La dérivée det7−→

Z t 1

f(u)duest t7−→f(t).

• ∀t∈R, Z 3

t

f(u)du=F(3)−F(t). La dérivée de t7−→

Z 3 t

f(u)duestt7−→ −f(t).

• ∀t∈R, Z 3t²+t

t

f(u)du=F(3t²+t)−F(t). La dérivée det7−→

Z 3t²+t t

f(u)duestt7−→(6t+ 1)f(3t²+ 1)−f(t).

• ∀t∈R, Z cos(t)

e^−t

f(u)du=F(cos(t))−F(e^−t). La dérivée de t7−→

Z cos(t) e^−t

f(u)duest t7−→f(cos(t))× (−sin(t))−f(e^−t)×(−e^−t) soitt7−→ −sin(t)f(cos(t)) +e^−tf(e^−t).

4. Quelles est/sont la/les solutions définies sur R du problème

y^′+a(t)y= 0

y(7) = 0 (a(·) est une fonction définie et continue surR) ?

Il s’agit d’un problème de Cauchy associé à unEDLH1résolue donc il admet une unique solution définie surR. Par ailleurs, la fonction identiquement nulle est solution du problème donc c’est LAsolution du problème de Cauchy.

5. Quel lien existe-t-il entre les solutions respectivesf etg des problèmes de Cauchy suivants y^′+a(t)y= 0

y(1) = 2 et

y^′+a(t)y= 0 y(1) =√

π (a(·) est une fonction définie et continue surR) ?

Il s’agit de deux problèmes de Cauchy associés à la mêmeEDL1 résolue donc ils admettent une unique solution définie surR. Par ailleurs, la fonction

√π

2 ·f est solution du second problème de Cauchy donc c’estLAsolution du second problème de Cauchy si bien queg=

√π 2 ·f.

6. Quel lien existe-t-il entre les solutions respectivesf etgdéfinies surRdes problèmes de Cauchy suivants y^′+a(t)y=h(t)

y(0) = 2 et

y^′+a(t)y=h(t) y(0) =√

π

(a(·) eth(·) sont deux fonctions définies et continues surR) ? On pourra exprimer les solutions en fonction deuet v, fonctions définies surR, et solutions respectives de

y^′+a(t)y= 0 y(0) = 1 et

y^′+a(t)y=h(t) y(0) = 0

Tous ces problèmes de Cauchy sont associés à uneEDL1résolue donc ils admettent une unique solution définie surR. On observe quev+ 2·uest la solution du problème de Cauchy

y^′+a(t)y=h(t) y(0) = 2 donc f =v+ 2·u. On observe quev+√

π·uest la solution du problème de Cauchy

y^′+a(t)y=h(t) y(0) =√

π donc

f =v+√ π·u.

7. Quelles est/sont la/les solutions définies surRà valeurs dans Kdu problème





y^′′+ay^′+by= 0 y(7) = 0 y^′(7) = 0

où (a, b)∈K² sont fixées quelconques.

Il s’agit d’un problème de Cauchy associé à unEDLH2résolue à coefficients constants donc il admet une unique solution définie surR. Par ailleurs, la fonction identiquement nulle est solution du problème donc c’estLAsolution du problème de Cauchy.

8. Sif et gsont respectivement les solutions, définies surRà valeurs dansC, des problèmes suivants





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) = 1 y^′(3) = 0

et





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) = 0 y^′(3) = 1

comment s’exprime(ent ?) la/les solution(s) définie(s) surRde





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =α y^′(3) =β

pour (α, β)∈R² fixés quelconques. Peut-on affirmer que le plan vectoriel des solutions définies surRà valeurs dansKde y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 est{λ·f+µ·g |(λ, µ)∈K²}?

Tous ces problèmes de Cauchy sont associés à uneEDL2résolue donc ils admettent une unique solution définie surR. On observe queα·f+β·gest la solution du problème de Cauchy





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =α y^′(3) =β donc, par unicité de la solution à un problème ce Cauchy, c’est la solution du problème





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =α y^′(3) =β Montrons que{λ·f +µ·g| (λ, µ)∈K²}est le le plan vectorielP des solutions définies surRà valeurs dansKdey^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0

— Soient (λ, µ)∈K² fixés quelconque. Posonsh=λ·f+µ·g. D’après le principe de superposition,h est une solution de l’équation différentielley^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 donch∈ P.

— Soitu∈ Pfixée quelconque.

Alorsuest la solution du problème de Cauchy





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =u(3) y^′(3) =u^′(3)

si bien qu’en reprenant la technique précédente,u=u(3)·f+u^′(3)·gdoncu∈ {λ·f+µ·g| (λ, µ)∈K²}.

AinsiP ⊆ {λ·f +µ·g |(λ, µ)∈K²}.

9. Reprendre la question précédente avecuetv solutions de





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) = 1 y^′(3) = 2

et





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =−1 y^′(3) =−1

puis avecwet zsolutions de





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) = 2 y^′(3) = 4

et





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =−1 y^′(3) =−2 Que se passe-t-il ?

• Cherchons (a, b)∈K²tels quefa,b=a·u+b·vsoit solution du problème de Cauchy





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =α y^′(3) =β D’après le principe de superposition,fa,best une solution de l’équation différentielley^′′+2e^i√2y^′−7y= 0. De plus, fa,b satisfait les conditions initiales si et seulement si

fa,b(3) = α f_a,b^′ (3) = β ⇐⇒

a−b = α 2a−b = β ⇐⇒

a = −α+β b = −2α+β

Par conséquent, la solution du problème de Cauchy





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =α y^′(3) =β

est (β−α)·u+β−2α)·v.

On montrerait, comme dans la question précédente que le plan vectoriel des des solutions définies sur Rà valeurs dansKdey^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 est{λ·u+µ·v |(λ, µ)∈K²}.

• Reprenons la technique ci-dessus, cherchons (a, b) ∈K² tels que ga,b =a·w+b·z soit solution du problème de Cauchy





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) =α y^′(3) =β

D’après le principe de superposition,ga,best une solution de l’équation différentielley^′′+2e^i√2y^′−7y= 0. De plus, ga,b satisfait les conditions initiales si et seulement si

ga,b(3) = α g^′_a,b(3) = β ⇐⇒

2a−b = α 4a−2b = β ⇐⇒

2a−b = α 0 = −2α+β

et ce système admet au moins une solution si et seulement si −2α+β. En particulier pour α = 1 et β = 0, la solution du problème de Cauchy





y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0 y(3) = 1 y^′(3) = 0

ne s’exprime pas comme combinaison linéaire des fonctionswet z!

En fait, on remarque quew=−2·z (toujours par unicité de la solution à un problème de Cauchy) si bien que l’ensemble des combinaisons linéaires des fonctionsw etz se réduit aux mutiples de wce qui forme une droite vectorielle mais c’est insuffisant pour décrire l’intégralité du plan vectoriel des solutions de l’EDLH2 y^′′+ 2e^i√2y^′−7y= 0.

Correction des exercices

⊲ Corrigé de l’exercice 1.1

• Supposons quep∈N^∗.

Notonsfr= Re(f) etfi= Im(f).

En utilisant la formule du binôme de Newton,

f^p= (f_r+ifi)^p= (if_i+fr)^p= Xp k=0

p k

i^kf_i^kf_r^p−k

si bien que

Re(f^p) = Xp

k=0 k≡0[2]

p k

(−1)^k2f_i^kf_r^p−k= Xp

k=0 k≡0[2]

p k

i^kf_i^kf_r^p−k

et

Im(f^p) = Xp

k=0 k≡1[2]

p k

i^k−1f_i^kf_r^p−k= Xp

k=0 k≡1[2]

p k

(−1)^k−12 f_i^kf_r^p−k

Par hypothèse,f ∈ D¹(I,C) donc (fi, fr)∈ D¹(I,R)². Pour toutk∈N,

⋆ f_i^k =

R → R x 7→ x^k

| {z }

∈ D¹(R,R)

◦ fi

|{z}

∈ D¹(I,R)

doncf_i^k ∈ D¹(I,R) par stabilité de la dérivabilité par composition,

⋆ f_r^p−k =

R → R x 7→ x^p−k

| {z }

∈ D¹(R,R)

◦ fr

|{z}

∈ D¹(I,R)

donc f_r^p−k ∈ D¹(I,R) par stabilité de la dérivabilité par

composition,

si bien que la stabilité de la dérivabilité par produit permet de conclure quef_i^kf_r^p−k∈ D¹(I,R).

Enfin, la la stabilité de la dérivabilité par combinaison linéaire permet d’affirmer d’une part que Xp

k=0 k≡0[2]

p k

(−1)^k2f_i^kf_r^p−k∈ D¹(I,R)

et d’autre part que

Xp

k=0 k≡1[2]

p k

(−1)^k−12 f_i^kf_r^p−kD¹(I,R)

si bien que Re(f^p)∈ D¹(I,R) et Im(f^p)∈ D¹(I,R) d’où f ∈ D¹(I,C).

De plus,

f^′ = f_r^′+if_i^′

=



 Xp

k=0 k≡0[2]

p k

(−1)^k2f_i^kf_r^p−k





′

+i



 Xp

k=0 k≡1[2]

p k

(−1)^k−12 f_i^kf_r^p−k





′

= Xp

k=0 k≡0[2]

p k

(−1)^k2kf_i^k−1f_r^p−kf_i^′+ Xp

k=0 k≡0[2]

p k

(−1)^k2(p−k)f_i^kf_r^p−k−1f_r^′

+i Xp

k=0 k≡1[2]

p k

(−1)^k−12 kf_i^k−1f_r^p−kf_i^′+i Xp

k=0 k≡1[2]

p k

(−1)^k−12 (p−k)f_i^kf_r^p−k−1f_r^′

=











 Xp

k=1 k≡0[2]

k p

k

| {z }

=p p−1

k−1

i^kf_i^k−1f_r^p−k+i Xp

k=1 k≡1[2]

k p

k

| {z }

=p p−1

k−1

i^k−1kf_i^k−1f_r^p−k











 f_i^′

+













p−1

X

k=0 k≡0[2]

(p−k) p

k

| {z }

=p p−1

k−1

i^kf_i^kf_r^p−k−1+i

p−1

X

k=0 k≡1[2]

(p−k) p

k

| {z }

=p p−1

k−1

i^k−1f_i^kf_r^p−k−1











 f_r^′

= p



 Xp

k=1 k≡0[2]

p−1 k−1

i^k−1f_i^k−1f_r^{(p−1)−(k−1)}+ Xp

k=1 k≡1[2]

p−1 k−1

i^k−1f_i^k−1f_r^{(p−1)−(k−1)}



if_i^′

+p





p−1

X

k=0 k≡0[2]

p−1 k−1

i^kf_i^kf_r^(p−1)−k+

p−1

X

k=0 k≡1[2]

p k

i^kf_i^kf_r^(p−1)−k



f_r^′

= p

Xp k=1

p−1 k−1

i^k−1f_i^k−1f_r^{(p−1)−(k−1)}

!

| {z }

=

p−1

X

j=0

p−1 j

i^jf_i^jf_r^(p−1)−j en posantj =k−1

= (fr+ifi)^p−1

if_i^′+p

p−1

X

k=0

p−1 k−1

i^kf_i^kf_r^(p−1)−k

!

| {z }

= (f r+ifi)^p−1

f_r^′

= p(f_r+ifi)^p−1(f_r^′ +if_i^′)

= pf^p−1f^′

• Supposons quep∈Z^∗\N^∗. Observons alors quef^p=

1 f

−p

. Orf ∈ D¹(I,C^∗) donc 1

f ∈ D¹(I,C) (stabilité de la dérivabilité pour le quotient d’une fonction dérivable par une fonction dérivable ne s’annulant pas) ce qui permet d’appliquer le résultat du premier point pour f ← 1

f ∈ D¹(I,C) et p← −p∈N^∗:

⋆ 1

f −p

∈ D¹(I,C) doncf^p∈ D¹(I,C),

⋆

(f^p)^′ =

"1 f

₋p#′

= (−p) 1

f

−p−11 f

′

= (−p)f^p+1

−f^′ f²

= pf^p−1f^′

⊲ Corrigé de l’exercice 1.2

Notonsfr= Re(f),gr= Re(g),fi= Im(f) etgi= Im(g).

Observons que

f g = f g

|g|² =frgr+figi+i(f_igr−frgi) g_r²+g²_i

donc Re f

g

= frgr+figi

g²_r+g_i² et Im f

g

=figr−frgi

g_r²+g²_i .

Par hypothèse, (f, g)∈ D¹(I,C)² donc (fr, fi, gr, gi)∈ D¹(I,R)⁴.

⋆ Par stabilité de la dérivabilité par produit, (frgr, figi, g_r², g_i²)∈ D¹(I,R)⁴.

⋆ Par stabilité de la dérivabilité par combinaison linéaire, (frgr+figi, g²_r+g_i²)∈ D¹(I,R)².

⋆ Le quotient d’une fonction dérivable surI par une fonction dérivable surI qui ne s’annule pas surI est dérivable surI donc frgr+figi

g_r²+g_i² ∈ D¹(I,R) (g(I)⊂C^∗⇒ ∀t∈I, g(t)6= 0⇒ ∀t∈I,|g(t)|²6= 0).

Par conséquent, Re f

g

∈ D¹(I,R).

On montre de même que Im f

g

∈ D¹(I,R) donc f

g ∈ D¹(I,C).

De plus, en posantq=f

g, on a d’une partq∈ D¹(I,C) et d’autre part la relationqg=f. Les deux fonction du produitqg étant dérivables, la formule donnant la dérivée d’un produit de fonctions devient ici

f^′ =q^′g+qg^′ doncq^′= f^′−qg^′

g = f^′g−f g^′ g² . Ainsi, f

g ∈ D¹(I,C) et f

g ′

=f^′g−f g^′ g² .

⊲ Corrigé de l’exercice 1.3 f ∈ D¹(I,C)

I → C

t 7→ 1 ∈ D¹(I,C)



donc, parstabilité de la dérivation par combinaison linéaire,

I → C

t 7→ 2 +if(t) ∈ D¹(I,C).

Parstabilité de la dérivation par composition avec expC, on obtient I → C

t 7→ expC(2 +if(t)) ∈ D¹(I,C).

De plus,g∈ D¹(I,C) donc, lastabilité de la dérivation par produit de fonctionsdonne I → C

t 7→ g(t) expC(2 +if(t)) ∈ D¹(I,C).

Enfin, en évoquant une seconde fois lastabilité de la dérivation par composition avecexpC, ψ∈ D¹(I,C) . De plus, compte tenu de la formule de dérivation de l’exponentielle complexe,

∀t∈I , ψ^′(t) = ψ(t)×[t7→g(t) expC(2 +if(t))]^′

= ψ(t)× g^′(t) expC(2 +if(t)) +g(t)×[t7→expC(2 +if(t))]^′

= ψ(t)×(g^′(t) expC(2 +if(t)) +g(t) expC(2 +if(t))×if^′(t))

= ψ(t) expC(2 +if(t)) (g^′(t) +ig(t)f^′(t)) Ainsi,∀t∈I , ψ^′(t) =ψ(t) expC(2 +if(t)) (g^′(t) +ig(t)f^′(t)).

⊲ Corrigé de l’exercice 1.4 Notonsfr= Re(f) etfi= Im(f).

1. Observons que

Re(f) =fr et Im(f) =−fi

Par hypothèse,f ∈ D¹(I,C) donc (f_r, fi)∈ D¹(I,R)² si bien que Re(f)∈ D¹(I,R) et, par stabilité de la dérivabilité par combinaison linéaire, Im(f)∈ D¹(I,R).

Par conséquent,f ∈ D¹(I,C).

De plus, pour toutt∈I,

f^′(t) = Re(f)^′(t) +iIm(f)^′(t) =f_r^′(t) +i(−fi)^′(t) =f_r^′(r)−if_i^′(t) =f^′(t) =f^′(t) Ainsi,f ∈ D¹(I,C) et (f)^′=f^′.

2. • Méthode 1. Expliciter |f|² en remarquant que c’est une fonction réelle dépendant d’une variable réelle.

Observons que|f|²=f_r²+f_i².

Par hypothèse,f ∈ D¹(I,C) donc (f_r, fi)∈ D¹(I,R)² si bien que, par stabilité de la dérivabilité par produit,f_r²∈ D¹(I,R) etf_i²∈ D¹(I,R), d’où, par stabilité de la dérivabilité par combinaison linéaire, f_r²+f_i²∈ D¹(I,R) et donc|f|²∈ D¹(I,C).

• Méthode 2. Utiliser la stabilité de D¹(I,C) par produit, en considérant |f|² comme une fonction complexe dépendant d’une variable réelle obtenue par produit de deux fonctions complexes dépendant d’une variable réelle.

|f|²=f×f.

⋆ f ∈ D¹(I,C) par hypothèse,

⋆ f ∈ D¹(I,C) d’après la question précédente,

donc, par stabilité de la dérivabilité par produit, |f|²∈ D¹(I,C).

De plus,

• Méthode 1. Utiliser les formules de dérivation des fonctions réelles d’une variable réelle.

(|f|²)^′= (f_r²+f_i²)^′ = (f_r²)^′+ (f_i²)^′ = 2frf_r^′+ 2fif_i^′ Par ailleurs,

Re(f×f^′) = Re((fr−ifi)(f_r^′ +if_i^′)) = Re(frf_r^′+fif_i^′+ifrf_i^′−if_r^′fi) =frf_r^′ +fif_i^′ d’où (|f|²)^′= 2Re(f×f^′).

• Méthode 2. Utiliser la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions complexes d’une variable réelle.

(|f|²)^′ = (f×f)^′

= f^′×f+f×(f)^′ formule de dérivation d’un produit

= f^′×f+f×f^′ en utilisant la question 1

= f^′×f+f×f^′

= 2Re(f×f^′) Ainsi,|f|²∈ D¹(I,C) et (|f|²)^′= 2Re(f×f^′).

3. Observons que|f|=p

|f|² (la « fonction module » est la composée de la « fonction racine carrée » et de la « fonction carré du module »).

Soitt0∈I tel quef(t0)6= 0.

Or

⋆ |f|²∈ D¹(I,R) d’après la question précédente donc|f|²est dérivable ent0,

⋆ √

· ∈ D¹(R^∗₊,R), orf(t0)6= 0⇒f(t0)∈R^∗₊ donc√

·est dérivable enf(t0), donc, par stabilité de la dérivabilité par composition,|f|est dérivable ent0et

|f|^′(t0) = √

·^′(|f(t0)|²)×(|f|²)^′(t0)

= 1

2√

·

(|f(t0)|²)×(2Re(f×f^′))(t0)

= Re(f(t0)f^′(t0)) 2|f(t0)|